旋转与非旋转网球落点的确定

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1、摘要网球比赛中的“鹰眼”实际上是获取网球飞行时的三维坐标，速度大小，方向， 计算出其飞行轨迹从而确定其落点。本文根据“鹰眼”原理，设定上述数据，建立网 球在有旋转，无旋转，考虑空气阻力的情况下的飞行路线模型，判断网球落点，利用 MATLAB 软件作出直观的飞行轨迹图。 对问题一，我们根据所给数据，假定在无风且空气密度均匀，网球因击打所产生 的变形不计，精确作出网球飞行中所受到的重力，空气阻力，将网球的运动分解成为 竖直方向和水平方向，利用微积分的思想进行求解，从而得出网球的射程落地时间及 落点位置。主要结果由于未知量较多，公式较复杂，这里不做摘要，具体见下文。 对问题二，初始条件，三维坐标，速

2、度方向，大小都已给出具体数字，实际上就 是问题一建立的数学模型的应用，可定量表达出网球飞行轨迹，我们用坐标变换将飞 行轨迹先表达成二维图形，再在其基础上求解出三维图形，最后利用 MATLAB 软件制作 网球飞行轨迹，计算落点。主要结果，其飞行轨迹为： 13130. 0ln2298. 6tx13130. 0ln8381.49ty)4417. 00439. 0cos(arctan)0439. 0cos(arctanln226.501tz这便是网球上升至最高点之前的运动轨迹，之后的运动轨迹方程为： 13130. 0ln2298. 6tx13130. 0ln8381.49ty 14ln226.5005

3、03. 12)(4417. 0)(4417. 011tttteez网球落点为（1.5249，12.1991，0） 对问题三，这道题在第二个问题的基础上增加了网球的旋转，根据伯努利守恒公 式，压强差产生垂直于速度方向与角速度方向的马格努斯力。由于空气阻力在竖直方 向的分力很小，我们可以忽略不计，这里，由于网球旋转方向未知，所以我们大胆假 设其旋转轴平行于 z 轴，然后应用积分原理求解出马格努斯力的系数，通过在竖直方 向上网球上升高度所需时间的计算，证明假设正确。之后建立数学模型详细描述网球 旋转情况下的飞行轨迹及落点。主要结果，其轨迹为：)3495. 0sin3495. 0cos88(5896.

4、 5ttx)3495. 0cos13495. 0sin8(5896. 5ty1975. 09 . 42ttz落点为（1.9474，8.6042,0）11.问题重述网球运动风靡全球，是一项传统的高雅运动，集竞技性、观尝性于一体。在竞技 的过程中，除主裁外，需要多名司线员对接近边球进行落点裁决。既便如此，由于网 球在空中运行速度很快，在落地后，经常会有选手对其落在线内还是线外产生争议。 “鹰眼”被称为即时回放系统，利用高速摄像头从不同角度同时捕捉网球飞行轨 迹的基本数据；再将这些数据生成三维图像；最后利用即时成像技术，清晰地呈现出 网球的运动路线及落点。 “鹰眼”技术是对裁判判罚精确性的得力辅助工

5、具，通过它可 以有效地杜绝一些争议的产生。 “鹰眼”显示的落点是一个阴影，它不是拍出来的，而 是由飞行数据精确计算出来。 任务一 我们假定通过“鹰眼”系统已经能获得网球飞行中某点处的三维坐标、速度、速 度方向，请建立模型，计算出网球的落点图象。 任务二 以底线中点为坐标原点，x 轴平行于底线方向，y 轴平行于边线方向，z 轴竖直向 上，建立三维坐标系，单位长度为米。若网球在点（0,0,1）处获得（2,16,1）方向的 15.75 米/秒的速度，试判断网球的落点。 任务三 由于运动中的网球常带有旋转，由伯努利原理，运行轨迹呈一定方向的偏转。若 任务二中球还经过点（0.2215，1.5517，1.

6、0485） ，试判断网球的落点。2.问题分析网球属球类运动的一种，具有球类运动的通性。如果不考虑空气阻力，则在无旋 转情况条件下，只受重力影响，其轨迹为标准的抛物线。但网球浸润在空气中，空气 是具有粘滞性的，因此对运动物体有阻力作用，球类运动中，空气阻力对于球的水平 位移有很大影响，计算网球的射程及落点必须考虑空气阻力的作用。 根据流体力学的原理，空气阻力按作用机理可分为摩擦阻力和压差阻力。对于网 球，其表面非光滑，所以存在摩擦阻力。又因为其运动速度快，雷诺数较大，则必然 存在压差阻力1，这两项阻力合成为始终反向于网球运动速度的空气阻力。2 21Avcf空气阻力与速度息息相关，所以它的大小和方

7、向是刻变化的。这就造成了计算中 的不便。因此，必须对网球的运动进行分解，利用微积分的思想对其在某时刻的速度 大小，方向，水平位移，竖直位移进行求解，从而得出轨迹的数学表达式。对于第三2题，网球加入了旋转，网球表面是非光滑 的，在旋转时，球表面带动周围气体运动， 这样前两问中网球在前进时引起的气体分 离大大减少，造成压差阻力减小。同时球 周围空气速度产生变化，根据伯努利守恒公式，压强差产生垂直于速度方向与角速度 方向的马格努斯力。3/83vaFM由于系数中的 未知，所以要通过代入轨迹通过的坐标点 （0.2215,1.5517,1.0485）计算出其大小，才能确立轨迹方程，其轨迹方程相当于一 段竖

8、直方向上的抛物线以一定弧度展开。通过建立微积分求解的数学模型，并利用 MATLAB 软件，分别作出其竖直方向上的抛物轨迹和水平方向上的偏移轨迹，就可以计 算出在有旋转情况下网球的落点。 3.模型假设1.假设空气静止且密度均匀，其密度Lg /2 . 12.假设网球为刚性球，即在运动中，始终没有变形。 3.假设网球落地点无面积。4.假设重力加速度恒定，为2/8 . 9sm5.假设网球运动时无球网的影响。4.符号约定（）：给定一点的坐标000,zyx（）：给定一点的速度方向1 ,qpm：网球质量（200g）k：数值上等于，为简化了的空气阻力的系数。Ac21t：时间 v：速度 c：空气摩擦阻力系数 A

9、：网球最大横截面积 ：空气密度（1.2g/L） h：初始高度g：重力加速度（）2/8 . 9sm30y t5.对于问题一的解答（模型建立）首先设定某点出的三维坐标为（） ，速度大小为，方向为（） ，为000,zyx0v1 ,qp计算简便，可以先规定这一点为新建坐标系的原点，以速度方向的水平投影为 x 轴方向，z 轴变为 y 轴，则速度方向为（，0，1） 。以新坐标轴为计算标准，则网22qp 球的运动轨迹变成了二维图形，即在 0-xz 平面内的图形，将速度分解，其中 f 的大小正比于速度 V 的二次方，可以简化为。有如下方程：2kvf x 方向： （1） y 方向： （2.1） （2.2）式中，

10、y 方程式由于抛体向上运动和向下运动时空气阻力方向与 y 正方向由逆向改为正 向，因此有空气阻力前符号的改变2。将代换式代入式（1）有txvx2 xxkvtvm（3） 对式（3）分离变量并且两边同时积分，并应用初始边界条件 ，可得到该偏 微分方程的解析解：tkvmmvvxx x 00 （4）继续采用分离变量法，并应用初始条件，可得：00tx0ln1xkv tmxkm （5）将代换式代入式（2.1）有tyvy222yymkmgtt222yymkmgtt 222xxmktt 0y t0y txtxvv0042y yvmkvmgt （6）同样采用分离变量法，并加入初始条件，可得：ytyvv00 mg

11、ktvmgk kmgvyy0arctantan（7） 由代换式，继续分离变量积分，并加入初始条件，可得到：tyvyhyt0 mgktvmgkvmgkkmhyyy00arctancosarctancosln（8）式（8）在式（7）中时，取得最大值，也即有0yvmaxy yvmgk gkmtt01arctan（9） yvmgk kmhy0maxarctancosln（10） 因为时刻方程式（8）取得最大值，即抛射体到达的最高点，所以方程式1t（8）中，时间变量 t 的范围为。1, 0 tt将代入式（2.2） ，并采用分离变量法，加入初始条件，可得：tyvy0 1ttyv 1111t tt tkg

12、mykg mmgek ve（11） 做以下变量代换：5 1t tkg mae0a （12）利用，以及式（12） ，方程式（11）可以变量代换为tyvy11kgayyaykgmatatama （13） 继续用分离变量法，并应用初始条件：，式（13）可以积分，并max1yytt11tta将变量带换回而得到：11max24ln1kgt tmkgt tmmeyyk e （14） 方程（11）和（14）的变量 t 的取值范围都是 。抛射体落地时有，将其,1tt0y代入式（14）即可算出抛射体在空气中运动的总时间 T（取其中的合理的根）：maxmaxmax122 1lnkkyymmkymmeeTtkge

13、（15） 将求得的 T 值代入式（5） ，即可得到射程。 最后可得落点坐标（x，y，z） 因为初始时已做了坐标变换，所以计算落点坐标时，还需把坐标变换回去，这时，落点坐标为（）zyxtt,， ， 。 2 02 00 0qppxxxt 2 02 00 0qpqxyyt 0z6.对于问题二的解答（模型求解）问题二实际上是问题一的具体化，将初始值的数据具体量化，也就能将落点的坐 标具体量化，同样，利用 MATLAB 软件可以精确描述出网球在空中的飞行轨迹。下面，6将已知量一一列出：smvsmvsmgAckgmmhyx/7198.15,/9749. 0,/8 . 9,10982. 32/1,200,1

14、0023代入式（5） ， （8） ，可得： 13130. 0ln226.50tx)4417. 00439. 0cos(arctan)0439. 0cos(arctanln226.501ty此即在区间上网球的飞行轨迹（此处的坐标依然是变换之后的坐标，所以图像1, 0 tt为二维图像，按原坐标为标准的图像为三维图像，需把坐标变换回去，具体见下文。 ）代入式（9） ，可得：st0993. 01代入式（10） ，可得：my0503. 1max代入式（5） （14） ，可得： 13130. 0ln226.50tx 14ln226.500503. 12)(4417. 0)(4417. 011tttteey此即在区间上网球的飞行轨迹。Ttt,1将两段区间图像结合起来，便如下图所示：71234567891011-3-2-101234XY现在需要把所标便换回原来的坐标，显然同问题一，2 02 00 0qppxxxt 2 02 00 0qpqx