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1、Page - 1 - of 4第一章 函数、极限、连续 第三节 函数极限有关知识及方法：（1）最常用方法：洛必塔法则和泰勒公式 ，要注意和其它方法相结合，比如等价无穷小代换， 变量代换，恒等变形，因子分离，重要极限及微分学和积分学的各种知识。（2）两个重要极限：（或）exxxxxx 100)1 (lim, 1sinlimexxx )11 (lim（3）常用的等价无穷小和泰勒公式：时，有0x（ a）)()!12() 1( ! 3sin),(sin12123 nnn xoxnxxxxoxxL(b) ， )(2cos122 xoxx)()!2() 1( ! 21cos222 nnn xoxnxxL(
2、c) ，)(1xoxex)(! 212 nn xxonxxxeL(d) )() 1( 2)1ln(),()1ln(12 nnn xoxnxxxxoxx L(e) )(!) 1() 1( ! 2) 1(1)1 (),(1)1 (2nnxoxnnxxxxoxxLL(f) )(arcsin),(arctan),(tanxoxxxoxxxoxx(4) 存在都存在且相等)(limxf ax)(),(afaf例 1：设求) 111111(lim 1xxx分析：初一看该函数不简便,但作一变换 ,就简单了。xy11例：求（）， （） （）xxxxba10)2(limxxxxba1 )(lim 0, 0ba分析
3、：（）属于型的问题，一般可利用重要极限或利用指数、对数去解决， （）属于1 型的问题，可利用利用指数、对数或其它方法去解决。0解：（）xbabaxx xxxxxxxbaba22221 )221 ()2( 而)0( ln)ln(ln21)11(21 22xabbaxb xa xbaxxxxPage - 2 - of 4故 原式ab或 )0( )2(2lnln)2ln)(ln(11 xabeebababaxxxxxx（）)ln(11 )(xxbaxxxxeba若 ，则 ba )( ln)(1ln(1ln)ln(xaab xaxbaxxx从而 原式a若 ，同样可得 原式ba b总之 ),max()(
4、lim1 babaxxxx 注：题（）用夹逼定理更简便例：求20)1ln(1limxxxxx解：（用洛必塔法则）2002020)1ln()1 (lim 11lim)1 ()1ln()1 (lim)1ln(1limxxxx xxxxxx xxxxxxxx 21 2)1ln(lim 0 xxx或（用泰勒公式）)(21)(2()()1ln(12222 22xoxxoxxxoxxxxx注：用洛必塔法则时 （）要符合洛必塔法则的条件 （）注意与等价无穷小代换，01 变量代换，恒等变形，因子分离等方法相结合。：用泰勒公式时 （）当求的极限时，一定是在处展开成泰勒公式；当求020xx 0x的极限时，可作变换
5、，化为时的极限。 （）带皮亚诺余项。 xxt10t（3）下面解法错在哪里？由于当，)1ln(, 0xxx11lim)1ln(1lim2020xxxxxxxxxx例 3：求（1）， （2） )11 (limxxxex 32311)1sin(ln)11ln(lim xxxxxPage - 3 - of 4解：（1）令，则 xt1)11 (limxxxex ttett10)1 (lim （用洛必塔法则）)1ln(1)1 (lim)1 (lim21010tttttttetttt2)1ln(1lim)1 (lim2010e ttttt ttt 或（用泰勒公式）)(2)1 ()1 ()(2)(21)1ln
6、(1 toteeeeeeetetottot tt t（2）令 则 xt1tttttxxxxtxsin 2)1ln( )1ln(lim 1)1sin(ln)11ln(lim33303231 33303021 sin)1ln()1ln(lim 21lim ttttttt例 4：设满足，求。cba,1sin)()21ln(lim3320xcxbxaxxxcba,分析：由于分母与为等价无穷小，故分母可用代替，从而分子一定等于，x3sin3x3x)(33xox 由此也可以看出这种问题用泰勒公式去解决是方便的解：依题意知 )()()21ln(3332xoxcxbxaxx而 )()(3)2( 2)2(2)(
7、)21ln(33232 32xocxbxaxxxxcxbxaxx)()38()2()2(332xoxcxbxa比较可得 35, 2, 2cba例 5：设在的某个邻域内，且存在，并且，)(xf0x0)(xf)0(f 4)0( , 0)(lim 0 fxxfx求。xxxxf10)(1 (lim 分析：由题设可推出 0)0()(lim)0( , 0)(lim)0( 00 xfxffxff xx由泰勒公式 )(2)(! 2)0()0()0()(2222xoxxoxfxffxf Page - 4 - of 4因此 21010)(21 (lim)(1 (limexoxxxfxxxx 习题 1求下列极限(1
8、) （2） (3) (4)xxxx30tanarctanlim3sin0)(cos1limxxxx)1)2(lim61 23xexxxxx (5)xxeexxxsintanlimsintan0xxxex2)11 (lim(答案: （）用拉氏中值定理很简便)21 , 1 ,61,21,31e已知，则 （答案：）412)cos1)(1ln( lim 0xxxxf_)(lim30 xxfx2ln2已知，则(答案：2 )1 ()21ln()cos1 (tanlim20 xxecxxbxa_a)4设，存在，则 （答案：0,) 1(110, )( 22022xxexxxdttaxfxx)(lim 0xf x_a)41已知在的某个邻域内有连续导数，且，求)(xf0x2)(sin(lim20 xxf xxx)0(),0(ff（答案：）2 , 1设满足方程，则)(xy1)0(,) 1(2 yeyxyxyx_)(lim20xxxyx（答案：）已知具有二阶连续导数，且，求：)(xf310)(1 (limexxfxxx , （答案：，）)0(),0(),0(fff xxxxf10)(1 (lim 2e
