《2019版高考数学(江苏版)一轮配套讲义：§13.3垂直的判定与性质》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考数学(江苏版)一轮配套讲义：§13.3垂直的判定与性质（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、WtuWgifWtuWgif113.3 垂直的判定与性质考纲解读五年高考统计来源:学科网考点来源:Zmn;nl;mn.答案 2.(2015 江苏,16,14 分)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,已知 ACBC,BC=CC1,设 AB1的中点为 D,B1CBC1=E.求证:(1)DE平面 AA1C1C;(2)BC1AB1.证明 (1)由题意知,E 为 B1C 的中点,又 D 为 AB1的中点,因此 DEAC.又因为 DE平面 AA1C1C,AC平面 AA1C1C,所以 DE平面 AA1C1C.WtuWgifWtuWgif2(2)因为棱柱 ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以 CC1平面
2、 ABC.因为 AC平面 ABC,所以 ACCC1.又因为 ACBC,CC1平面 BCC1B1,BC平面 BCC1B1,BCCC1=C,所以 AC平面 BCC1B1.又因为 BC1平面 BCC1B1,所以 BC1AC.因为 BC=CC1,所以矩形 BCC1B1是正方形,因此 BC1B1C.因为 AC,B1C平面 B1AC,ACB1C=C,所以 BC1平面 B1AC.又因为 AB1平面 B1AC,所以 BC1AB1.3.(2015 安徽,19,13 分)如图,三棱锥 P-ABC 中,PA平面 ABC,PA=1,AB=1,AC=2,BAC=60.(1)求三棱锥 P-ABC 的体积;(2)证明:在线
3、段 PC 上存在点 M,使得 ACBM,并求的值. 解析 (1)由题设 AB=1,AC=2,BAC=60,可得 SABC= ABACsin 60=.1 232由 PA平面 ABC,可知 PA 是三棱锥 P-ABC 的高,又 PA=1,所以三棱锥 P-ABC 的体积V= SABCPA=.1 336WtuWgifWtuWgif3(2)在平面 ABC 内,过点 B 作 BNAC,垂足为 N.在平面 PAC 内,过点 N 作 MNPA 交 PC 于点 M,连结 BM.由 PA平面 ABC 知 PAAC,所以 MNAC.由于 BNMN=N,故 AC平面 MBN.又 BM平面 MBN,所以 ACBM.在直
4、角BAN 中,AN=ABcosBAC= ,从而 NC=AC-AN= .由 MNPA,得= .1 23 2 1 34.(2015 重庆,20,12 分)如图,三棱锥 P-ABC 中,平面 PAC平面 ABC,ABC= ,点 D,E 在线段 AC 上,且 AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点 2F 在线段 AB 上,且 EFBC.(1)证明:AB平面 PFE;(2)若四棱锥 P-DFBC 的体积为 7,求线段 BC 的长.解析 (1)证明:如图,由 DE=EC,PD=PC 知,E 为等腰PDC 中 DC 边的中点,故 PEAC.又平面 PAC平面 ABC,平面 PAC平面 ABC=AC,PE平
5、面 PAC,PEAC,所以 PE平面 ABC,从而 PEAB.因ABC= ,EFBC,故 ABEF. 2从而 AB 与平面 PFE 内两条相交直线 PE,EF 都垂直,所以 AB平面 PFE.(2)设 BC=x,则在直角ABC 中,AB=,2 236 2从而 SABC= ABBC= x.1 21 236 2由 EFBC 知,= ,得AFEABC, 2 3WtuWgifWtuWgif4故= ,即 SAFE= SABC. (2 3)24 94 9由 AD= AE,SAFD= SAFE= SABC= SABC1 21 21 24 92 9= x,1 936 2从而四边形 DFBC 的面积为 SDFB
6、C=SABC-SAFD= x- x1 236 21 936 2=x.7 1836 2由(1)知,PE平面 ABC,所以 PE 为四棱锥 P-DFBC 的高.在直角PEC 中,PE=2.2 242 223体积 VP-DFBC= SDFBCPE= x2=7,1 31 37 1836 23故得 x4-3 6x2+243=0,解得 x2=9 或 x2=27,由于 x0,可得 x=3 或 x=3,3所以,BC=3 或 BC=3.35.(2014 湖北,20,13 分)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N 分别是棱 AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中点.求证
7、:(1)直线 BC1平面 EFPQ;(2)直线 AC1平面 PQMN.证明 (1)连结 AD1,由 ABCD-A1B1C1D1是正方体,知 AD1BC1,因为 F,P 分别是 AD,DD1的中点,所以 FPAD1.从而 BC1FP.而 FP平面 EFPQ,且 BC1平面 EFPQ,故直线 BC1平面 EFPQ.(2)如图,连结 AC,BD,则 ACBD.由 CC1平面 ABCD,BD平面 ABCD,可得 CC1BD.WtuWgifWtuWgif5又 ACCC1=C,所以 BD平面 ACC1.而 AC1平面 ACC1,所以 BDAC1.因为 M,N 分别是 A1B1,A1D1的中点,所以 MNB
8、D,从而 MNAC1.同理可证 PNAC1.又 PNMN=N,所以直线 AC1平面 PQMN.教师用书专用(68)6.(2014 辽宁,19,12 分)如图,ABC 和BCD 所在平面互相垂直,且 AB=BC=BD=2,ABC=DBC=120,E,F,G 分别为 AC,DC,AD 的中点.(1)求证:EF平面 BCG;(2)求三棱锥 D-BCG 的体积.附:锥体的体积公式 V= Sh,其中 S 为底面面积,h 为高.1 3解析 (1)证明:由已知得ABCDBC.因此 AC=DC.又 G 为 AD 的中点,所以 CGAD.同理 BGAD,因此 AD平面 BGC.又 EFAD,所以 EF平面 BC
9、G.(2)在平面 ABC 内,作 AOCB,交 CB 延长线于 O,由平面 ABC平面 BCD,知 AO平面 BDC.又 G 为 AD 中点,因此 G 到平面 BDC 的距离 h 是 AO 长度的一半.在AOB 中,AO=ABsin 60=,所以 VD-BCG=VG-BCD= SDBCh= BDBCsin 120= .31 31 31 2321 2WtuWgifWtuWgif67.(2014 重庆,20,12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面是以 O 为中心的菱形,PO底面 ABCD,AB=2,BAD= ,M 为 BC 上一点,且 3BM= .1 2(1)证明:BC平面 POM;(2)
10、若 MPAP,求四棱锥 P-ABMO 的体积.解析 (1)证明:如图,连结 OB,因为 ABCD 为菱形,O 为菱形的中心,所以 AOOB.因为BAD= ,所以 OB=ABsinOAB=2sin =1, 3 6又因为 BM= ,且OBM= ,所以在OBM 中,OM2=OB2+BM2-2OBBMcosOBM=12+-21 cos = .所以 OB2=OM2+BM2,1 2 3(1 2)21 2 33 4故 OMBM.又 PO底面 ABCD,所以 POBC.从而 BC 与平面 POM 内两条相交直线 OM,PO 都垂直,所以 BC平面 POM.(2)由(1)可得,OA=ABcosOAB=2cos
11、=. 63设 PO=a,由 PO底面 ABCD 知,POA 为直角三角形,故 PA2=PO2+OA2=a2+3.又POM 也是直角三角形,故 PM2=PO2+OM2=a2+ .3 4连结 AM,在ABM 中,AM2=AB2+BM2-2ABBMcosABM=22+-22 cos=.(1 2)21 22 321 4由于 MPAP,故APM 为直角三角形,则 PA2+PM2=AM2,即 a2+3+a2+ =,得 a=或 a=-(舍去),即 PO=.3 421 4323232WtuWgifWtuWgif7此时 S四边形 ABMO=SAOB+SOMB= AOOB+ BMOM= 1+ =.1 21 21
12、231 21 2325 38所以 VP-ABMO= S四边形 ABMOPO= =.1 31 35 38325 168.(2013 安徽,18,12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,BAD=60.已知 PB=PD=2,PA=.6(1)证明:PCBD;(2)若 E 为 PA 的中点,求三棱锥 P-BCE 的体积.解析 (1)证明:连结 AC,交 BD 于 O 点,连结 PO.因为底面 ABCD 是菱形,所以 ACBD,BO=DO.由 PB=PD 知,POBD.再由 POAC=O 知,BD面 APC.因此 BDPC.(2)因为 E 是 PA 的中点,所以 VP
13、-BCE=VC-PEB= VC-PAB= VB-APC.1 21 2由 PB=PD=AB=AD=2 知,ABDPBD.因为BAD=60,所以 PO=AO=,AC=2,BO=1.又 PA=,PO2+AO2=PA2,即 POAC,336故 SAPC= POAC=3.1 2由(1)知,BO面 APC,因此 VP-BCE= VB-APC= BOSAPC= .1 21 21 31 2考点二 面面垂直的判定与性质1.(2017 江苏,15,14 分)如图,在三棱锥 A-BCD 中,ABAD,BCBD,平面 ABD平面 BCD,点 E,F(E 与 A,D 不重合)分别在棱 AD,BD 上,且 EFAD.求证
14、:(1)EF平面 ABC;(2)ADAC.WtuWgifWtuWgif8证明 (1)在平面 ABD 内,因为 ABAD,EFAD,所以 EFAB.又因为 EF平面 ABC,AB平面 ABC,所以 EF平面 ABC.(2)因为平面 ABD平面 BCD,平面 ABD平面 BCD=BD,BC平面 BCD,BCBD,所以 BC平面 ABD.因为 AD平面 ABD,所以 BCAD.又 ABAD,BCAB=B,AB平面 ABC,BC平面 ABC,所以 AD平面 ABC.又因为 AC平面ABC,所以 ADAC.2.(2017 山东文,18,12 分)由四棱柱 ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥 C1-B1
15、CD1后得到的几何体如图所示.四边形 ABCD 为正方形,O 为 AC 与 BD 的交点,E 为 AD 的中点,A1E平面 ABCD.(1)证明:A1O平面 B1CD1;(2)设 M 是 OD 的中点,证明:平面 A1EM平面 B1CD1.证明 本题考查线面平行与面面垂直.(1)取 B1D1的中点 O1,连结 CO1,A1O1,由于 ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,所以 A1O1OC,A1O1=OC,因此四边形 A1OCO1为平行四边形,所以 A1OO1C.又 O1C平面 B1CD1,A1O平面 B1CD1,所以 A1O平面 B1CD1.WtuWgifWtuWgif9(2)因为 ACBD,E,M 分别为 AD 和 OD 的中点,所以 EMBD,又 A1E平面 ABCD,BD平面 ABCD,所以 A1EBD,因为 B1D1BD,所以 EMB1D1,A1EB1D1,又 A1E,EM平面
