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1、第第 1 页页 共共 18 页页随随 机机 信信 号号 分分 析析习习 题题 参参 考考 答答 案案北京工业大学北京工业大学 电控学院电控学院2008.12.9第第 2 页页 共共 18 页页第一章第一章 随机信号基础随机信号基础1.2 设连续随机变量设连续随机变量 X 的概率分布函数为：的概率分布函数为：求：求：（1） 系数系数 A （2）X 取值在（取值在（0.5 ，1）内的概率）内的概率)15 . 0( xP（3） 求求 X 的概率密度函数的概率密度函数 解：解： （1）因为 X 为连续随机变量，所以其分布函数处处连续。即 )0()( 0FxFiml x 有： 解得：0)1(2sin5
2、. 0lim 0 xA x 21 A（2）根据分布函数的性质：)()()(1221xFxFxxxP 4222*5 . 05 . 05 . 0)5 . 0()1()15 . 0( FFxP（3）因为dxxdFxfX X)()( 当时， 20 x)1(2cos42*)1(2cos21)()( xxdxxdFxfX X 其他 0)()( dxxdFxfX XelsexfxxX 0)(20)1(2cos4 1.3 试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函数，如果是概率分布函数，求其概率密度试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函数，如果是概率分布函数，求其概率密度 。2120)1(2sin5
3、. 0)(00xxxAxFx 第第 3 页页 共共 18 页页解：解：如果一个函数它是概率分布函数则比须满足三个条件：（I）是 x 的单调非减函数)(xF（II）是非负函数，且满足：)(xF1)(0 xF（III）处处连续)(xF（1） 00)(012 xxFxex可证明满足以上三个条件，可知是一个概率分布函数。)(xF)(xF00)()(0212 xxFxfxeXx（2）0110)(002 xxAxxFx经过计算可知当时为分布函数。1 A则此时 0110)(002 xxxxFx102)()(0 xxxFxfelse（3） 0)()()( aaxuxuaxxF上式等价于： elsexFaxax
4、0)(0 第第 4 页页 共共 18 页页因为在点， 此函数在此点不连续。ax 1)( aF0)(lim 0 xF x所以该函数不是分布函数。1.5 设随机变量设随机变量 X 的概率密度为：的概率密度为：elsexfxX 0)(101 求：求：的概率密度。的概率密度。15 XY解：解：因为 所以 15 XY)(51YhYX 则：elseyhfyfyyXY0)(51)(61151051 1.7 设随机变量设随机变量 X 的数学期望和方差分别为的数学期望和方差分别为和和，求随机变量，求随机变量的数学期望和方差及的数学期望和方差及 Xm 23 XY和和 Y 的相关矩。的相关矩。解：解：232323m
5、XEXEYE 9923XDXDYDmmXEXEXDXEXEXXEXXEXYERXY2332)(32323)23(2222 1.11 随机变量随机变量 X、Y 的联合概率密度为：的联合概率密度为：2,0)sin(),( yxyxAyxfXY求：（求：（1）系数）系数 A （2）数学期望）数学期望 （3）方差）方差和和YXmm ,2 X 2 Y （4）相关矩）相关矩及相关系数及相关系数XYRXYr第第 5 页页 共共 18 页页解：解：（1）AdxdyyxAdxdyyxA2)sin()sin(2 02 0 有二位概率密度性质可知： 所以可得1)( dxdyyxfXY21 A（2）)cos(sin2
6、1)sin(),()(2 0xxdyyxdyyxfxfXYX 4)cos(sin21)cos(sin21*)(2 02 0 xxxddxxxxdxxxfmXX同理： 有 )cos(sin21),()(yydxyxfyfXYY 4 Ym（3）因为222XEXEX 可求228)sin(cos21)(2222 dxxxxdxxfxXEX22162 222 XEXEX同理可得：22162 222 YEYEY（4） 12)sin(21*),(2 02 0 dxdyyxxydxdyyxxyfXYERXYXY2)4(12 YXXYXYmmRC245. 03281682216)4(12 2222 YXXY X
7、YCr第第 6 页页 共共 18 页页第二章第二章 随机过程随机过程2.1 随机过程随机过程 ，其中其中，其中其中为常数，为常数，A、B 为互相独立的高斯变量，为互相独立的高斯变量，)sin()cos()(tBtAtX ，。求。求的数学期望和自相关函数。的数学期望和自相关函数。0 BEAE222 BEAE)(tX解：解：0)sin()cos()sin()cos()( BEtAEttBtAEtXE sinsinsincoscossincossincoscossinsinsincoscossincoscos)sincos)(sincos()()(),(2 212121212 21212 21212
8、1222112121BEttABEttttABEttAEttttBttABttABttAEtBtAtBtAEtXtXEttRX 因为 A、B 为互相独立的高斯变量 所以 代入上式0 BEAEABE)21(cos22)2sin1sin2cos1(cos2 2sin1sin2 2cos1cos)2,1(ttttttttttttXR 2.4 判断随机过程判断随机过程是否平稳？其中是否平稳？其中为常数，为常数，、A 分别是均匀分布和瑞利分布分别是均匀分布和瑞利分布)cos()( tAtX 的随机变量，且互相独立的随机变量，且互相独立 2021)( f0)(222/ 2 aeaafa A 解：解：（1）
9、0)cos(*)cos()cos()(202/ 2022 dtdaeaatEAEtAEtXEa所以，均值为常数。（2） 2daeaaAE222/a-0222/a-02222daeaaAE22 第第 7 页页 共共 18 页页2222221222 112222 11222XXR (t,t)E( Acos(t)( Acos(t)E A cos(t)A cosE A Ecos(t)E A cosE A coscos*R () （3） 2222222221)(2cos21212)(2cos1)(cos)( AEtEAEAEtAEtAEtXE或22)()(0RtXEX所以是平稳随机过程。)cos()(
10、tAtX 2.5 证明不相关的两个任意分布的随机变量证明不相关的两个任意分布的随机变量 A、B 构成的随机过程构成的随机过程)sin()cos()(00tBtAtX 是宽平稳的而不一定是严平稳的。其中是宽平稳的而不一定是严平稳的。其中为常数，为常数，A、B 的数学期望为的数学期望为 0，方差，方差相同。相同。0 2 证明：证明：首先证明是宽平稳的。)(tX（1）0)sin()cos()sin()cos()(0000 tEBEtEAEtBtAEtXE 均值为常数。（2）)cos()(cos)(sin()sin()(cos()cos()(sin()sin()(cos()cos()(sin()sin()(cos()cos()(sin()sin()(sin()cos()(cos()sin()(cos()cos()(sin()sin()(sin()cos()(cos()sin()(cos()cos()(sin()(cos()sin()cos(),(02 002000022 002 002 002 002 0000002 00002 00000020000
