多线性算子有界性的研究

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1、摘 要设7 = ( -Y 1 , Y 2 , . . . , 7 “ ) ， 这里、 ( i =1 , 2 , “ , 哟是 非负的 整数 记川=艺 鑫 1 y ; ,砂=7 1 ! Y 2 ! 、!，X 7 =x 7 ,1 考 二 x 黔 ，一S !7 1U 了= I 了 r , X I C d r z X 2 口ro x “设A是R ” 上的 一 个函 数 记凡( 浅x ， 功是A在二 点 关 于y 的m阶， C a y lo r 展式的余项， 即 P - ( A ; 二 ， ， ) 一 A (二 ) 一 Y-典 D “ A (y ) (二 一 。 )， ， m : 1带有粗糙核的分数次积

2、分算子定义为T n ,+ (f )(x ) 一 ， 一 I nS t ( 二 一 y ) 二 一y 卜“f ( y ) d y ,相应的多线性算子及其极大算子分别定义为 T SA . (f )(X ) 一 二 ， P (A ; . , y )百 (x - y ) f (y )d y ,Jsn (x - Y 1, + - - ,sa ,. ( f ) 间一 s u p o1r ” 。 + 仍- 1众 I P , (A ; x , y )Q (x 一 ， )f (y ) ld y .本文研究多线性算子的有界性， 并主要对端点情形进行刻划 本文共分四章:在第一章中， 作者介绍了多线性算子的背景和一些

3、常用的符号及空间的定义.在第二 章中， 作者 讨 论了L ip s c h i t z 类积分 交换子 在某些H a r d y空间 及H e r z 型H a r d y 空间 上的 有界 性问 题， 并在 端点 得到了 该算 子的 弱有界 性.对L i p s c h i t z 类积分 交换子的 研究 很少， 原因是 这类算子可以 被分数次积分控 制， 从而其有界性是分数次积分算子有界性的显然推论， 但它在端点处却表现出了 很好的性质， 因此对这类算子的研究同样有着重要的意义本章的主要结果如下:定理2 . 1设。 可( 二 一 。 一 句 ， 且0 满 足L s - D in i 条 件

4、若，AE 与( 川一。- 1 ) ， 则 对 V f E H I ( R 7 ) ， 我 们有11峨 X) L 二 (R - ) $ Z E L I ( 6 “ a 0 勺 ， 其中 n / (n 一、 一且 。 满 足 刃 黔as 、 (几 一 16 ) ， 且 。 满 足 刃S 2 任L S ( S - - ) ， 其中则下面的两个命题等价: ( 1 ) (b , 2 , i,. ) 将H n + 9 ( R n ) 连 续 的 映 入L R ( R - ) ; ( 2 ) S 2 三 0 或 者 对 于 任 意 的( 命， 0 0 , 0 ) 原 子 有几 ” b ( y ) Q ( y

5、 ) 勿= 0 成 立 但有一个替代的结果:定 理2 一 设。 n (、 一 。 一 0 ， 二 。 满 足厂 嘿 d d 。 及 任 意 的了 任 H ;i-7 1 ( R “ ) ， 我 们 有 Ix E ? :ITn .(f)(x)I AI ! llf llH tnA“ 在价 习中 ， 吴 得 到 了。 满 足L i p s c h it z 条 件 时 ， 多 线 性 算 子斌。 在x 二型 H ar d y 空 间 上的 有 界 性 在 这 里， 作 者 将 吴睁 司中 的 条 件 减 弱 得 到了 如 下 结 论:定 理2 .5设。 4 2 ) 且 满足 _ _ v s (S )

6、_ . , d S . 而办王 + 母 一 叭上 一上 厂 价少则T ASd,。 是 从H K 4 3, ,P ( W ) 到 R ,P ( R -K “4 a ) 的 有 界 算 子对于刀 的 右端点 情形， 有定理 2 . 60 0 , 1 动 且 满足f 1 - s(S ) 九夕- d- t id S - a x 4 k , Q 2 ) 且 A 足H lf i vi ,vcvt A ,7 “ 到 W If rs - 3 + a + (R 7 ) 的 有界算子.在上面的结论中， S 2 是L 2 0 0 1 年， 丁同讨 论了当 D Y A E L I ( R “ ) ( 1 。 ， 如

7、果0 : L s ( S n - i ) , 。 ( 二 ) 一 ， 。 则存在与f无关的常数C， 使得并 且 “ + ,0 丸十一n ( ” 一 a 一Q ) ， 且S 2 满 足L I - D i n i 条 件， w n s / (n s - n - s u - s p ) E A , , 若 R I A R ( I川= 。一 1 ) , 那 么 存 在 与f 无 关 的 常 数C ， 使 得Ile a .f ) ilL w q n / ( n 一a 一M， 且Q满足0 。 /( 。 一 。 一 刃 ， 若，A E A p ( 同= 。一 1 ) ， 则 存 在 一 个 与f 无 关 的

8、 常 数C , 使 得当一 1 al dx c G a j n If (x )IIx ，一 )关 键词多 线性 算子， H a r d y 空间， L i p s c h i t z 函 数， H e r : 型H a r d y 空间 ， B M O 空间， A ( F ,9 ) 权， 幕权 Trie b e l- L iz a r k i n 空间Abs t r a c tL e t y =( -Y 1 -Y 2 ， 一， 、) ， a n d y , ( i 二1 , 2 ， 一， n ) b e n o n n e g a t i v e i n t e g e r s . D e n

9、 o t e 川=E 几 , ,y s a n d y ! 二- Y l ! - Y 2 !y!x 了 ， x 2甲 n : , x二 苏1工2口 P y l工 淤，D-Y=0 9 7 1 X I O M2 0 “ Y “S u p p o s e t h a t A i s a f u n c t io n d e fi n e d o n R “ . D e n o t e b y Pz ( A ; 二 ， y ) t h e m - t h o r d e r r e m a i n d e r o f t h e T a y l o r s e r i e s o f A a t x

10、a b o u t y , t h a t i s P m (A ;x ,y ) 一 A (x ， 一 ，霖 瑞 D “A (y)y j rl + 1 (一 y)7, rra ? T h e fr a c t i o n a l i n t e g r a l o p e r a t o r w i t h r o u g h k e r n e l i s d e fi n e d勿 T n ,. (f )(x ， 一 ， 。 1 “S E ( 二 一 ， ) I二 一 ， !“ 一 “f ( y ) d yT h e c o r r e s p o n d i n g m u l t i

11、l i n e a r o p e r a t o r a n d ma d m a l o p e r a t o r a r e d e fi n e d r e - s p e c t i v e l y b y “ 了 )( 卜 p .v 1 “ P (“4 ix ,y )I (x - y )x - y i- t m - lf (y )dy M OA,. (f )(、 一 S 0 rn- + m - 1 JR“ 、 、，、 (二 一 y )f (y )ldyI n t h i s d i s s e r t a t i o n , t h e a u t h o r s t u d i

12、 e d t h e b o u n d e d n e s s o f t h e m u l t i l i n e a r o p - e r a t o r , t h e p r o p e r t i e s o f t h e o p e r a t o r i n e n d p o i n t c a s e s a r e m a i n l y d i s c u s s e d . T h i s d i s s e r t a t i o n c o n s i s t s f o u r c h a p t e r s .C h a p t e r I i n t

13、r o d u c e d t h e b a c k g r o u n d o f m u l t i l i n e a r o p e r a t o r a n d g a v e o u t s o m e n e c e s s a r y n o t a t i o n s a s w e ll a s d e fi n i t i o n s o f s p a c e s .I n C h a p t e r 2 , t h e a u t h o r d i s c u s s e d t h e b o u n d e d n e s s o f m u l t i l

14、 i n e a r o p e r a t o r o n s o m e H a r d y s p a c e s a n d H e r z t y p e H a r d y s p a c e s , w h e r e D -t A E 与( 1Y 卜 。一1 , 0 ” / ( 。 一 。 一 0 ) t h e n f o r a n y 了E F l xL e t 0 耐( 。 一。 一,S ) a n d S 2 s a t i s f i e s /弓 二= d 5 (c o , i f D “ A E与( i,7 二M一1 ) ,一一 夕- - - - - - - 一

15、 - - - - 一 九 d + 0- - -一了 - -一 - -一 ，、 ， irz , F 。 / (” 一“ ) ， nd “ at 。 工 ia n d fl s a tisfi es 4d 6 o an d 娜 f 任 H 奇( “ ) , w e h a v e0 a n d a n y f E H ( !二 。 、 : 1T a (f )( ) ) 、 、 flf 1(H nI n 2 3 , W u g o t t h e b o u n d e d n e s s o f m u l t i l i n e a r o p e r a t o r I l a r 即 s p a c e s w h e nos a t i s fi e s L i p s c fi i t a c o n d i t i o n , h e r e , t h e c o n d i t io n i n 、 u 夕 司 ， a n d g a i n s t h e r e s u l t s a s fo l l o w s .联。 o n H e r s t y p e a u t h o r w e a k e n s t h eT h e o r e m 2 . 5 L e t 0 q ) a n d s a t i s fi e sr