《2017-2018年高中数学 第三章 导数及其应用 3.2.2 导数的运算法则课件 新人教a版选修1-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018年高中数学 第三章 导数及其应用 3.2.2 导数的运算法则课件 新人教a版选修1-1（65页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2课时导数的运算法则主题题 导导数的运算法则则1.试试根据导导数的定义义,写出下列函数的导导数.(1)若F(x)=x+x2,则则F(x)=_.(2)若F(x)=x-x2,则则F(x)=_.(3)若F(x)=x3,则则F(x)=_.提示:(1)F(x)= 答案:1+2x(2)F(x)= (1-2x-x)=1-2x.答案:1-2x(3)F(x)= 3xx+3x2+(x)2=3x2.答案:3x22.问题问题 1中,若令f(x)=x,g(x)=x2,则则F(x)的导导数与f(x),g(x)的导导数各有什么关系?提示:因为f(x)=1,g(x)=2x,故(1)中F(x)=f(x)+g(x),(2)中F
2、(x)=f(x)-g(x),(3)中F(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x).结论结论 :(1)f(x)g(x)=_.(2)f(x)g(x)=_.(3) =_.(4)cf(x)=_.f(x)g(x)f(x)g(x)+f(x)g(x)cf(x)【微思考】1.在导导数运算法则则中,函数f(x),g(x)一定有导导函数吗吗?提示:一定有导函数,否则法则不成立.2.根据两个函数和差的导导数运算法则则,试试着推广到任意有限个可导导函数的和差.提示:f1(x)f2(x)fn(x)=f1(x) f2(x)fn(x).af(x)bg(x)=af(x)bg(x)(a,b为常数).3.根据乘法的导导数法则则,
3、试试着推广f(x)g(x)= f(x)g(x)+f(x)g(x)到有限个函数的积积的情形:提示:若y=f1(x)f2(x)fn(x),则有y=f1(x)f2(x)fn(x)+f1(x)f2(x)fn(x)+f1(x)f2(x)fn(x).【预习预习 自测测】1.函数y=xlnx的导导数是 ( )A.x B. C.lnx+1 D.lnx+x【解析】选C.y=xlnx+x(lnx)=lnx+x =lnx+1.2.已知函数f(x)=ax2+c,且f(1)=2,则则a的值为值为 ( )A.1 B. C.-1 D.0【解析】选A.因为f(x)=ax2+c,所以f(x)=2ax,又因为f(1)=2a,所以
4、2a=2,所以a=1.3.曲线线y= x3+x在点 处处的切线线与坐标轴围标轴围 成的三角形面积为积为 ( )【解析】选A.对函数y= x3+x求导得y=x2+1,将x=1代入得曲线y= x3+x在点 处的切线斜率为k=2,故切线方程是y- =2(x-1),该切线与坐标轴的交点是 故围成的三角形面积为 .4.函数y= 的导导数是 ( )【解析】选A.y=5.求函数y=(2x2+3)(3x-2)的导导数y=_.【解析】y=(2x2+3)(3x-2)+(2x2+3)(3x-2) =4x(3x-2)+(2x2+3)3=18x2-8x+9.答案:18x2-8x+9【一题多解】因为y=(2x2+3)(3
5、x-2)=6x3-4x2+9x-6,所以y=18x2-8x+9.答案:18x2-8x+96.求函数y=x5-x3+x-5的导导数.(仿照教材P84例2的解析过过程)【解析】因为y=(x5)-(x3)+(x)-(5)=5x4-3x2+1,所以函数y=x5-x3+x-5的导数是y=5x4-3x2+1.类类型一 导导数的运算法则则【典例1】求下列函数的导导数:(1)y=(x+1)2(x-1).(2)y=x2sinx.(3)y=【解析】(1)方法一:y=(x+1)2(x-1)+(x+1)2(x-1)=2(x+1)(x-1)+(x+1)2=3x2+2x-1.方法二:y=(x2+2x+1)(x-1)=x3
6、+x2-x-1,y=(x3+x2-x-1)=3x2+2x-1.(2)y=(x2sinx)=(x2)sinx+x2(sinx)=2xsinx+x2cosx.【方法总结总结 】应应用导导数运算法则则求函数的导导数的技巧(1)对对三角式求导导要先进进行化简简,然后再求导导,这样这样 既减少了计计算量,又可少出错错.(2)利用代数恒等变变形可以避开对对商的形式求导导.(3)在函数中有两个以上的因式相乘时时,要注意多次使用积积的求导导法则则,能展开的先展开成多项项式,再求导导.【巩固训练训练 】求下列函数的导导数:(1)y=2xcosx.(2)y=2x+lnx.【解析】(1)y=(2x)cosx+2x(
7、cosx)=2cosx-2xsinx.(2)y=(2x)+(lnx)=2+ .(3)方法一:方法二:因为所以(4)【补偿训练补偿训练 】求下列函数的导导数(1)y=excosx.(2)y=x2+tanx.(3)y=2x3+ +cosx.【解析】(1)y=excosx,所以y=(ex)cosx+ex(cosx)=excosx-exsinx.(2)因为y=x2+ ,所以y=(x2)+ (3)y=(2x3)+( )+(cosx)=6x2+ -sinx.类类型二 导导数运算法则则的应应用【典例2】(1)已知函数y=f(x)的图图象在点(1,f(1)处处的切线线方程是x-2y+1=0,若g(x)= ,则
8、则g(1)=( )(2)(2017烟台高二检测检测 )已知函数f(x)=x3+x-16.求曲线线y=f(x)在点(2,-6)处处的切线线方程.直线线l为为曲线线y=f(x)的切线线,且经过经过 原点,求直线线l的方程及切点坐标标.【解题指南】(1)由g(x)= 联想商的导数运算法则,利用条件“在点(1,f(1)处的切线方程为x-2y+1=0”求出f(1),f(1).(2)先求出函数f(x)的导数,由于点在曲线上,可将点的坐标代入求切线的斜率,进而得出切线方程.由于原点不在曲线上,可先设切点坐标,列方程解出切点坐标,再求切线方程.【解析】(1)选A.由切线方程得1-2f(1)+1=0,所以f(1
9、)=1,由导数的几何意义得f(1)= ,(2)因为f(x)=x3+x-16,所以f(x)=3x2+1.由已知f(x)=x3+x-16,且f(2)=23+2-16=-6,所以点(2,-6)在曲线y=f(x)上,所以在点(2,-6)处的切线的斜率为k= f(2)=322+1=13,所以切线方程为:y+6=13(x-2),即13x-y-32=0.方法一:设切点为(x0,y0),则直线l的斜率为f(x0)=3x02+1,所以直线l的方程为:y-y0=(3x02+1)(x-x0),即:y-x03-x0+16=(3x02+1)(x-x0),又因为切线l过原点,所以0-x03-x0+16=(3x02+1)(
10、-x0),整理得:x03=-8,所以x0=-2.所以y0=(-2)3+(-2)-16=-26,斜率k=3(-2)2+1=13,所以切线的方程为y+26=13(x+2),化简得:13x-y=0,切点坐标为(-2,-26).方法二:设直线l的方程为y=kx,切点为(x0,y0),则又因为k=f(x0)=3x02+1,所以 =3x02+1,解得x0=-2,所以y0=(-2)3+(-2)-16=-26,斜率k=3(-2)2+1=13,所以切线的方程为y+26=13(x+2),化简得:13x-y=0,切点坐标为(-2,-26).【延伸探究】1.若本例(2)条件不变变,试试判定函数图图象上哪一点处处的切线
11、线斜率最小.【解析】因为f(x)=x3+x-16,所以f(x)=3x2+11,即当x=0时,切线的斜率最小,此时点的纵坐标y=-16.因此,当切线的斜率最小时,切点的坐标为(0,-16).2.若过过本例(2)曲线线上某点处处的切线线平行于直线线4x-y+1=0,求切点的坐标标.【解析】因为f(x)=x3+x-16,所以f(x)=3x2+1,设切点为(x0,y0),则过切点处的切线的斜率为k=3x02+1,又此切线平行于直线4x-y+1=0,所以3x02+1=4,所以x0=1,当x0=1时,y0=-14,当x0=-1时,y0=-18.所以切点坐标为(1,-14)或(-1,-18).【方法总结总结
12、 】求曲线线在某一点处处切线线方程的一般步骤骤(1)先判断给给出的点(x0,y0)是否在曲线线上,如果在曲线线上,则则它是切点,否则则不是,此时设时设 切点坐标为标为 (x1,y1).(2)求切线线的斜率.如果点(x0,y0)是切点,则则切线线斜率为为f(x0),若(x0,y0)不是切点,则则切线线斜率k= f(x1)=(3)利用点斜式方程,求出切线线方程.【补偿训练补偿训练 】若曲线线y=xlnx上点P处处的切线线平行于直线线2x-y+1=0,则则点P的坐标标是_.【解析】由题意得y=lnx+x =1+lnx,直线2x-y+1=0的斜率为2.设P(m,n),则1+lnm=2,解得m=e,所以
13、n=elne=e,即点P的坐标为(e,e).答案:(e,e)类类型三 导导数公式及运算法则则的综综合应应用【典例3】(1)如图图是函数y= f(x)的图图象,直线线l:y=kx+2是图图象在x=3处处的切线线,令g(x)=xf(x),则则g(3)=( )A.-1 B.0 C.2 D.4(2)(2016天津高考)已知函数f(x)=(2x+1)ex,f(x)为为f(x)的导导函数,则则f(0)的值为值为 _.【解题指南】(1)先利用导数的几何意义求出y=f(x)在x=3处的导数,再利用导数公式求出g(3).(2)求出f(x),代入x=0即可.【解析】(1)选B.由题意直线l:y=kx+2是曲线y=
14、f(x)在x=3处的切线,由图象可知其切点为(3,1),代入直线方程得k=- ,所以f(3)=- ,故g(x)=(xf(x)=xf(x)+xf(x)=f(x)+xf(x),所以g(3)=f(3)+3f(3)=1+3 =0.(2)因为f(x)=(2x+3)ex,所以f(0)=3.答案:3【延伸探究】若本例(2)中的条件不变变,则则f(2)的值值是多少?【解析】由(2)的解析可知f(2)=(4+3)e2=7e2.【方法总结总结 】利用导导数几何意义义及运算法则则解决综综合问题问题 的策略(1)求某点处处的导导数值值,分清该该点是否为为切点,若为为切点利用导导数的几何意义义求值值.(2)求范围围:注
15、意导导数就是切线线斜率,切线线斜率与倾倾斜角的关系,求倾倾斜角的范围围可先求导导数的范围围.【巩固训练训练 】已知曲线线方程f(x)=sin2x+2ax(xR),若对对任意实实数m,直线线l:x+y+m=0都不是曲线线y=f(x)的切线线,则则a的取值值范围围是 ( )A.(-,-1)(-1,0) B.(-,-1)(0,+)C.(-1,0)(0,+) D.aR且a0,a-1【解析】选B.f(x)=2sinxcosx+2a=sin2x+2a,直线l的斜率为-1,由题知关于x的方程sin2x+2a=-1无解,所以|2a+1|1,所以a0.【补偿训练补偿训练 】已知点P在曲线线y= 上,为为曲线线在点P处处的切线线的倾倾斜角,则则的取值值范围围是 ( )【解析】选D.函数导数y= 因为ex+ 2,所以y-1，0),所以
