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1、 圆锥曲线的方程与性质圆锥曲线的方程与性质1椭圆 （1）椭圆概念 平面内与两个定点、的距离的和等于常数 2（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆1F2Fa21|FF的焦点，两焦点的距离 2c 叫椭圆的焦距。若为椭圆上任意一点，则有。M21| 2MFMFa椭圆的标准方程为：（） （焦点在 x 轴上）或（） （焦点在 y22221xy ab0ab12222 bx ay0ab轴上） 。注：以上方程中的大小，其中；, a b0ab222bac在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的22221xy ab22221yx ab0ab2x2y分母的大小。例如椭圆（，）当时表示焦点在轴上的
2、椭圆；当22 1xy mn0m 0n mnmnx时表示焦点在轴上的椭圆。mny （2）椭圆的性质范围：由标准方程知，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里；22221xy ab|xa|ybxa yb 对称性：在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点也在曲线上，yy( , )x y( ,)xy 所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线关于轴对称。若同时以代替，代替xxxyxxy 方程也不变，则曲线关于原点对称。y 所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中xy 心叫椭圆的中心； 顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的
3、交点坐标。在椭圆的标准方程中，xy 令，得，则，是椭圆与轴的两个交点。同理令得，即，0x yb 1(0,)Bb2(0, )Bby0y xa 1(,0)Aa是椭圆与轴的两个交点。2( ,0)A ax 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。 同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长21A A21B B2a2bab半轴长和短半轴长。 由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，a22Rt OB F2|OBb2|OFc，且，即；22|B Fa222 2222|OFB FOB222cab离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。，且越接近
4、 ，就cea0ac01ee1c越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时abe0c0ba椭圆越接近于圆。当且仅当时，两焦点重合，图形变为圆，方程为。ab0c 222xya 2双曲线 （1）双曲线的概念 平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（） 。12| 2PFPFa注意：式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支；1202|aFF12| 2PFPFa时为双曲线的另一支（含的一支） ；当时，表示两条射21| 2PFPFa1F122|aFF12| 2PFPFa线；当时，不表示任何图形；两定点叫做双曲线的焦点，叫122|aFF12| 2P
5、FPFa12,F F12|FF 做焦距。椭圆和双曲线比较： 椭 圆双 曲 线定义1212| 2 (2|)PFPFaaFF1212| 2 (2|)PFPFaaFF方程22221xy ab22221xy ba22221xy ab22221yx ab焦点(,0)Fc(0,)Fc(,0)Fc(0,)Fc 注意：如何用方程确定焦点的位置！ （2）双曲线的性质范围：从标准方程，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线的外侧。即12222 by axax，即双曲线在两条直线的外侧。22ax ax ax对称性：双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点12222 by ax是双
6、曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。12222 by ax顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线的方程里，对称轴是轴，所12222 by ax, x y以令得，因此双曲线和轴有两个交点，他们是双曲线的顶点。0yaxx)0 ,()0 ,(2aAaA 12222 by ax令，没有实根，因此双曲线和 y 轴没有交点。0x 1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点） ，双曲线的顶点分别是实轴的两 个端点。 2）实轴：线段叫做双曲线的实轴，它的长等于叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段叫做2AA2 , a a2BB双曲线的虚轴，它的长等于叫做双曲线的虚半
7、轴长。2 , b b 渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。12222 by ax等轴双曲线： 1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：；ab 2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为： ；（2）渐近线互相垂直。xy 注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时 其他几个亦成立。3）注意到等轴双曲线的特征，则等轴双曲线可以设为： ，当时交点在ab)0(22yx0轴，当时焦点在轴上。x0y注意与的区别：三个量中不同（互换）相同，
8、还有焦点所在的坐标191622 yx22 1916yx, ,a b c, a bc轴也变了。 3抛物线 （1）抛物线的概念 平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直线 l 上)。定点 F 叫做 抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。方程叫做抛物线的标准方程。022ppxy注意：它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，焦点坐标是 F（,0） ，它的准线方程是 ；2p 2px（2）抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：，.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及
9、准线方pxy22pyx22pyx22程如下表：标准方程22 (0)ypx p 22 (0)ypx p 22 (0)xpy p 22(0)xpyp 图形焦点坐标(,0)2p(,0)2p(0,)2p(0,)2p准线方程2px 2px 2py 2py 范围0x 0x 0y 0y 对称性轴x轴x轴y轴y 顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0) 离心率1e 1e 1e 1e 说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一 个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调的几何意义：是焦点p 到准线的距离。oFxyloxyFl xyoFl
