长方体和正方体(一)

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1、第第 2525 讲讲 长方体和正方体（一）长方体和正方体（一）我们已经学习了长方体和正方体的有关知识，如长方体和正方体的特征、长方体和正 方体的表面积、体积的计算。在我们学习与实际生活当中，有许多问题都离不开长方体与 正方体，这些相关的知识既有趣，又给人以启发。解决这些问题，不仅需要有扎实的基础 知识及较强的观察能力、画图能力和空间想象能力，还必须掌握一些解决问题的技巧。 通过本讲的学习，希望同学们能从中得到启迪，悟出一些道理，从而提高空间想象能 力和分析推理能力。 例题与方法例题与方法 例例 1 1、一个长方体，前面和上面的面积之和是 209 平方厘米，这个长方体的长、宽、 高是以厘米为单位

2、的质数。这个长方体的表面积和体积各是多少？ 思路点拨思路点拨 丁丁：要求出长方体的表面积和体积，就要求出这个长方体的长、宽、高，题中只告 诉前面和上面面积之和是 209 平方厘米这一信息，又该如何求呢？ 小麦斯：我们可以从长方体的长、宽、高这三个数量入手。因为： 前面的面积是“长高” ，上面的面积是“长宽” ，则可得下面的数量关系。长宽 长高长（宽高）209。 机灵猴：我知道，根据已知条件，长、宽、高都是质数，而 209 是两个数的积，其中 必有一个数是质数，而另一个数是两个质数的和。 丁丁：将 209 分解质因数得，2091119。11 和 19 中，哪个数能写成两个质数之和 呢？经试验，只

3、有 19217 符合条件。这样。我们可以在确定出长方体的长、宽、高了， 再根据公式分别求出它的表面积和体积。 我是这样解答的： 解：解：2091119， 19217 （1117112217）2486（平方厘米）长方体的表面 积11217374（立方厘米）长方体的体 积 答：答：这个长方体的表面积是 486 平方厘米，体积是 374 立方厘米。 小麦斯：充分利用问题中的数量关系，并将数量关系简化，再根据所提供的信息，确 定长、宽、高的相应的数值，这是解决这类问题的关键。 例例 2 2、一个长方体水池，底面是边长 2 米（从里面量）的正方形，水池的高是 2.5 米。 水池中水深 0.6 米。现有一

4、根长方体的铁柱，长、宽、高分别为 4 分米、4 分米、12 分米， 将铁柱放入水池中，使其一面紧贴池底，水面将升高多少分米？ 思路点拨思路点拨 丁丁：将铁柱放入水中，水面会升高。看怎样求出水面上升的高度呢？ 小麦斯：这道题中，由于没有限定铁柱的放法，只要求使其一面紧贴池底，而铁柱只 有“44” 、 “412”的两种面，均可以紧贴池底（2 米20 分米，2020） 。 机灵猴：这样，就要分成两种放法来考虑。 一是将铁柱横放着放入水池，铁柱完全浸没在水中，这时，上升的水的体积就等于铁 柱的体积，用铁柱的体积去除以水池的底面积就是上升水的高度。另一种是将铁柱竖着放入池底，铁柱有一部分浸没在水中，有一

5、部分露出水面，这种 情况是容易出错的。 丁丁：对于第二种情况，可以抓住水的体积不变来分析。先求出水的体积，铁柱放入水池中与底面紧贴，此时水的底面积是池底面积减去铁柱的底面积。此时水的高度水的 体积（池底面积铁柱的底面积） ，用原来的水的高度减去此时水的高度就是水上升的高 度。 解：解：分成两种情况讨论。 （1） 、将铁柱横着放入水中。 2 米20 分米 4412（2020）0.48（分米） （2） 、将铁柱竖着放入水中。20206（202044）6.25（分米） 6.2560.25（分米） 或设水面会升高 x 分米，列方程得：2020x44（6x）x0.25 答：答：水面会升高 0.48 分米

6、（横放）或 0.25 分米（竖放） 。 小麦斯：由于放法的不同，那么，解决问题的方法也会发生变化。因此，在出现多种 情况下，要学会分类的思路进行讨论，这是数学严密性的一种体现。 例例 3 3、三个正方体的棱长分别是 2 厘米、2 厘米、5 厘米，将它们粘在一起，可得到一 个新的几何体。问： （1） 、怎样粘才能使得到的新几何体的表面积最小？（画图表示） （2） 、这个最小表面积是多少平方厘米？ 思路点拨思路点拨 丁丁：我用动手操作的方法，并按下图那样，先将两个小正方体的两个面重合，一起 粘到大正方体的同一个面上，这样拼成的几何体的表面积最小。小麦斯：上面的拼法是正确的，要求表面积最小，只要三个

7、正方体重叠的面越大越好。 我们学习了规则立方体的表面积，对于上面几何体的表面积又怎样来计算呢？ 机灵猴：我可以这样算，先求出三个立方体的表面积的和，从中减去重叠部分所减少 的面积。 丁丁：还可以这样求，因为新的几何体与大正方体比较，表面积比大正方体增加了 6 个 22 的面，即前面和后面各 2 个面，左面和右面各 1 个面。所以，新的几何体的表面积 就是原来大正方体的表面积加上一个小正方体的表面积。 小麦斯：分析得很好！我们一起来计算这道题。 解：解：方法一。5562262（2242）2 15048（48）2 174（平方厘米） 方法二。556226 174（平方厘米） 答：答：表面积最小为

8、174 平方厘米。小麦斯：重叠部分越多，所得的新几何体的表面积就越小，你明白了吗？ 例例 4 4、一个长方体容器，底面是边长是 60 厘米的正方形。容器里直立着一个高 1 米， 底面边长 15 厘米的长方体铁块，这时容器里的水深 0.5 米。现在将铁块轻轻地向上提起 24 厘米，那么露出水面的铁块上被浸湿的部分长多少厘米？ 思路点拨思路点拨 丁丁：由于铁块向上提起 24 厘米，提起部分的铁块体积是 1515245400（立方 厘米） ，是不是用“5400 立方厘米”除以容器的底面积就是水面下降的高度，即5400（6060）1.5（厘米）呢？ 小麦斯：上面的思路是不对的！这是同学们在解这道题时常

9、犯的一个错误。可以这样 来分析：铁块提起后，水不流动，那么，铁块下方就会空出一个 5400 立方厘米的空间。 机灵猴：我明白了！此时铁块周围的水就会补充这个空间，即铁块周围下降的水的体积就 等于 5400 立方厘米。 丁丁：看来， “5400 立方厘米”并不能除以容器的底面积，而是了除以除铁块底面以 外的面积，即 5400（60601515）1.6（厘米） 。虽然 1.6 与错误答案 1.5 只相差 0.1，但却是两回事。 解：解：151524（60601515） 54003375 1.6（厘米） 1.62425.6（厘米） 答：答：露出水面的铁块上被水浸湿的部分长 25.6 厘米。 小麦斯：

10、将提起铁块的过程进行慢镜头分析，明白提起 24 厘米的铁块体积，必须等于 铁块周围的下降的体积，这正是正确解决这个问题的关键。例例 5 5、一个长、宽和高分别是 21 厘米、15 厘米和 12 厘米的长方体，现从它的上面尽 可能大地切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大地切下一个正方体，最后再从第 二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？ 思路点拨思路点拨 丁丁：一共切了三次，每次切下的都是尽可能大的正方体。但没有实物，又不是平面 图形，采取什么方法比较合适呢？ 小麦斯：可以将立体图形化归成平面图形来思考。 因为长方体的长、宽和高分别为 21 厘米、15 厘米和

11、12 厘米，可以推得第一次切下的 尽可能大的正方体的棱长是 12 厘米，它的体积是 1212121728（立方厘米） 。 这时还剩余立体的底面形状如下图 1，它的高为 12 厘米。很明显，第二次切下尽可能大的正方体的棱长是 9 厘米，它的体积是999729（立方厘米） 。 机灵猴：第二次切完以后，这时剩余立体图形底面可分成两部分：一部分的底面形状 如下图 2，它的高为 12 厘米。另一部分的底面形状如图 3，高是 3 厘米。综合这两部分可推得，第三次切下尽可能 大的正方体的棱长是 6 厘米，体积是 666216（立方厘米） 。 丁丁：经过三次切割，剩下的体积也就容易计算了！我是这样做的： 解：

12、解：211512（121212999666） 37802673 1107（立方厘米） 或者 （15333）12993666 648243216 1107（立方厘米） 答：答：剩下的体积是 1107 立方厘米。 小麦斯：如果有一个泥塑的立方体和一把小刀，解决这个问题是不难的。如果没有具 体的模型和工具，就需要想象力来帮忙了，我们必须在原有经验的基础上，想出切割后的 形状，通过它们各下面所画的形状和尺寸，推断出所切割的最大棱长。总结与提示总结与提示长方体和正方体是两个抽象的几何形体，必须以具体实物的认识作为解决相关数学问 题的基础。通过本讲的学习，想必同学们有很多感悟吧！ 首先熟悉长方体和正方体的

13、表面积和体积公式，利用这些公式列出相应的算式或数量 关系，还要理清问题中的各信息之间的联系。 其次，将几何体浸入水中，这是一个常见的数学问题，浸入水中可成分成两类：“全 浸入”和“部分浸入” 。 “全浸入”则说明上升的水的体积等于浸入水中的几何体的体积， 而“部分浸入”则不存在上述情况，须具体情况具体分析。 由长方体和正方体的切割产生的相关问题，此类问题比较复杂，在平时的学习中，需 要多些实物的观察，多些操作，这样可将抽象的问题具体化，进一步提高对空间问题的抽 象概括能力。 练习与思考练习与思考（每题 10 分，共 100 分） 1、把底面积是 15 平方厘米的两个相等的正方体一个长方体，长方

14、体的表面积是多少 平方厘米？2、用 2100 个棱长是 1 厘米的正方体木块堆成一个实心的长方体。已知长方体的高是 10 厘米，并且长和宽都大于高。这个长方体的长和宽各是多少厘米？ 3、有一长方体，它的前面和上面的面积之和是 156 平方厘米，并长、宽和高都是质数， 这个长方体的体积是多少？ 4、一个长方体容器的底面是一个边长 60 厘米的正方形，容器里直立着一个高 1 米， 底面边长是 15 厘米的长方体铁块。这时容器里的水深 0.5 米。如果把铁块取出，容器里水 深多少厘米？ 5、有一块长方形的铁皮，长 30 厘米，宽 20 厘米，在这块铁皮的四角各剪下一个边长 为 2 厘米的小正方形，然

15、后制成一个无盖的长方体盒子。 （1） 、求这个盒子的容积。（2） 、做这个盒子用了多少平方厘米的铁皮？ 6、有大、中、小三个长方体水池，它们的池口都是正方形，边长分别是 6 分米、3 分 米、2 分米。现将两堆碎石分别沉入中、小水池内，这两个水池的水面分别升高了 6 厘米 和 4 厘米。如果把这两堆碎石都沉入大水池中，那么，大水池的水将升高多少厘米？（得 数保留整厘米数） 7、把 19 个棱长为 1 厘米的正方体重叠起来，如下图拼成一个立体图形，求这个立体 图形的表面积是多少？8、有一块长方形的铁皮，长 32 厘米。在这块铁皮的四角各剪下一个边长为 4 厘米的 小正方形，然后，制成一个无盖的长方体盒子。已知这个盒子的容积是 768 立方厘米，求 原来长方体铁皮的面积。 9、把一根长 6.4 米的粗铁丝截成几段，焊成一个长方体的框架，再用铁丝包上各个面。 要使做成的带盖的长方形铁皮箱尽量能多装棱长为 1 分米的正方体木块（铁丝架所占的空 间不计） 。做这个长方体的铁皮箱需要多少面积的铁皮？（焊接处不计） 10、一个长方体的宽和高相等，并且等于长的一半（如下图） ，现在把这个长方体切成 12 个小长方体，这些小长方体的表面积之和为 750 平方分米。求这个大长方体的体积。