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1、20062006 年考研数学二试题及答案年考研数学二试题及答案 docdoc target=_blanktarget=_blank2006 年全国硕士研究生入学考试数学（二）一、填空题（1）曲线的水平渐近线方程为 .（2）设函数在处连续，则 .（3）广义积分 .（4）微分方程的通解是 .（5）设函数由方程确定，则= .（6）设矩阵，为 2 阶单位矩阵，矩阵满足，则=.二、选择题（7）设函数具有二阶导数，且，为自变量在处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分，若，则（A）（B）（C）（D） 【 】（8）设是奇函数，除外处处连续，是其第一类间断点，则是（A）连续的奇函数.（B）连续的偶函数（C）在
2、间断的奇函数（D）在间断的偶函数. 【 】（9）设函数可微， ，则等于（A）.（B）（C）（D） 【 】（10）函数满足一个微分方程是（A）（B）（C）（D）（11）设为连续函数，则等于（A）（B）（C）（D） 【 】（12）设与均为可微函数，且. 已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是（A）若，则.（B）若，则.（C）若，则.（D）若，则.【 】（13）设均为维列向量，是矩阵，下列选项正确的是（A）若线性相关，则线性相关.（B）若线性相关，则线性无关.（C）若线性无关，则线性相关.（D）若线性无关，则线性无关. 【 】（14）设为 3 阶矩阵，将的第 2 行加到第 1 行得，再将的
3、第 1 列的-1 倍加到第 2 列得，记，则（A）（B）（C）（D） 三 解答题15试确定 A，B，C 的常数值，使得，其中是当。16171819 20 设函数满足等式()验证.()若.21 已知曲线的方程为（）讨论的凹凸性；（）过点（-1，0）引的切线，求切点，并写出切线的方程；（）求此切线与（对应于的部分）及轴所围成的平面图形的面积。22 已知非齐次线性方程组证明方程组系数矩阵 A 的秩求的值及方程组的通解23 设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3,向量是线性方程组A=0 的两个解, ()求 A 的特征值与特征向量 ()求正交矩阵 Q和对角矩阵 A,使得.题解 高数一、填空题（
4、1）曲线的水平渐近线方程为（2）设函数 在 x=0 处连续，则 a=（3）广义积分（4）微分方程的通解是（5）设函数确定，则当 x=0 时，y=1，又把方程每一项对 x 求导，二、选择题（7）设函数具有二阶导数，且为自变量 x 在点 x0 处的增量， ，则A（A）（B）（C）（D）由严格单调增加是凹的即知（8）设是奇函数，除外处处连续，是其第一类间断点，则是B（A）连续的奇函数（B）连续的偶函数（C）在 x=0 间断的奇函数（D）在 x=0 间断的偶函数（9）设函数则 g(1)等于C（A）（B）（C）（D） ，（10）函数满足的一个微分方程是D（A）（B）（C）（D） 特征根为 1 和-2，故
5、特征方程为（11）设为连续函数，则等于C（A）（B）（C）（D）（12）设均为可微函数，且在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是D（A）若（B）若（C）若（D）若今 代入(1) 得 今 故选D三、解答题（15）试确定 A，B，C 的常数值，使其中是当.解：泰勒公式代入已知等式得整理得比较两边同次幂函数得B+1=AC+B+=0式-得代入得代入得（16）求解：原式=（17）设区域计算二重积分解：用极坐标系（18）设数列满足，证明：（1）存在，并求极限（2）计算证：（1）单调减少有下界根据准则 1，存在在两边取极限得因此（2）原式离散散不能直接用洛必达法则先考虑 用洛必达法则（19）证明：当时，
6、证：令只需证明单调增加（严格）单调减少（严格）又故单调增加（严格）得证（20）设函数内具有二阶导数，且满足等式（I）验证（II）若 求函数证：（I）（II）令（21）已知曲线 L 的方程（I）讨论 L 的凹凸性（II）过点引 L 的切线，求切点，并写出切线的方程（III）求此切线与 L（对应部分）及 x 轴所围的平面图形的面积解：（I）（II）切线方程为，设， ，则得点为（2，3） ，切线方程为（III）设 L 的方程则由于（2，3）在 L 上，由线代(6) 设 A= 2 1 ,2 阶矩阵 B 满足 BA=B +2E,则|B|= .-1 2解:由 BA=B +2E 化得 B(A-E)=2E,两
7、边取行列式,得|B|A-E|=|2E|=4,计算出|A-E|=2,因此|B|=2.(13)设?1,?2,.,?s 都是 n 维向量，A 是 m?n 矩阵，则（ ）成立.(A) 若?1,?2,.,?s 线性相关,则 A?1,A?2,.,A?s 线性相关.(B) 若?1,?2,.,?s 线性相关,则 A?1,A?2,.,A?s 线性无关.(C) 若?1,?2,.,?s 线性无关,则 A?1,A?2,.,A?s 线性相关.(D) 若?1,?2,.,?s 线性无关,则 A?1,A?2,.,A?s 线性无关.解: (A)本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.若?1,?2,.,?s 线性相关,则存
8、在不全为 0 的数 c1,c2,.,cs使得 c1?1+c2?2+.+cs?s=0,用 A 左乘等式两边,得c1A?1+c2A?2+.+csA?s=0,于是 A?1,A?2,.,A?s 线性相关.如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是:1.?1,?2,.,?s?线性无关? r(?1,?2,.,?s?)=s.2. r(AB)? r(B).矩阵(A?1,A?2,.,A?s)=A(?1,?2,.,?s?),因此r(A?1,A?2,.,A?s)? r(?1,?2,.,?s?).由此马上可判断答案应该为(A).(14)设 A 是 3 阶矩阵,将 A 的第 2 列加到第 1 列上得 B
9、,将 B 的第 1 列的-1 倍加到第 2 列上得 C.记 1 1 0P= 0 1 0 ,则0 0 1(A) C=P-1AP. (B) C=PAP-1. (C) C=PTAP. (D) C=PAPT. 解: (B)用初等矩阵在乘法中的作用得出B=PA ,1 -1 0C=B 0 1 0 =BP-1= PAP-1.0 0 1(22)已知非齐次线性方程组?x1+x2+x3+x4=-1,4x1+3x2+5x3-x4=-1，? ax1+x2+3x3+bx4=1 有 3 个线性无关的解. 证明此方程组的系数矩阵 A 的秩为 2. 求 a,b 的值和方程组的通解. 解: 设?1,?2,?3 是方程组的 3
10、个线性无关的解,则?2-?1,?3-?1是 AX=0 的两个线性无关的解.于是 AX=0 的基础解系中解的个数不少于 2,即 4-r(A)?2,从而 r(A)?2.又因为 A 的行向量是两两线性无关的,所以 r(A)?2.两个不等式说明 r(A)=2. 对方程组的增广矩阵作初等行变换:1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1(A|?)= 4 3 5 -1 -1 ? 0 -1 1 -5 3 ,a 1 3 b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a 由 r(A)=2,得出 a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:1 0 2 -4 2? 0 1 -1 5 -3 .0 0 0 0 0得同解方
11、程组x1=2-2x3+4x4，x2=-3+x3-5x4，求出一个特解(2,-3,0,0)T 和 AX=0 的基础解系(-2,1,1,0)T,(4,-5,0,1) T.得到方程组的通解: (2,-3,0,0)T+c1(-2,1,1,0)T+c2(4,-5,0,1)T, c1,c2 任意.(23) 设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和都为 3,向量?1=(-1,2,-1)T,?2=(0,-1,1)T 都是齐次线性方程组 AX=0 的解. 求 A 的特征值和特征向量. 求作正交矩阵 Q 和对角矩阵?,使得Q TAQ=?. 解: 条件说明 A(1,1,1)T=(3,3,3)T,即 ?0=(1,1,1)T 是 A 的特征向量,特征值为 3.又?1,?2 都是 AX=0 的解说明它们也都是 A 的特征向量,特征值为 0.由于?1,?2 线性无关, 特征值 0 的重数大于 1.于是 A 的特征值为 3,0,0.属于 3 的特征向量:c?0, c?0.属于 0 的特征向量:c1?1+c2?2, c1,c2 不都为 0. 将?0 单位化,得?0=(,)T.对?1,?2 作施密特正交化,的?1=(0,-,)T,?2=(-,)T.作 Q=(?0,?1,?2),则 Q 是正交矩阵,并且3 0 0Q TAQ=Q-1AQ= 0 0 0 .0 0 0 1
