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1、1基础篇本篇包含五个线性代数的基础实验，从矩阵运算到方程组的求解；从向量组线性相关 性分析到矩阵的对角化；从矩阵特征值和特征向量求解到二次型的标准化及正定性的分析， 都给出了 MATLAB 的解决方法。实验 5 利用 MATLAB 的绘图功能，对线性代数若干概念的几 何意义进行了分析讨论。实验 1 矩阵的基本运算1.1 实验目的1.掌握 Matlab 软件的矩阵赋值方法； 2.掌握 Matlab 软件的矩阵加法、数乘、转置和乘法运算； 3.掌握 Matlab 软件的矩阵幂运算及逆运算； 4.掌握 Matlab 软件的矩阵元素群运算； 5.通过 Matlab 软件进一步理解和认识矩阵的运算规则。
2、1.2 实验指导MATLAB 是一种功能强大的科学及工程计算软件，它的名字由“矩阵实验室” （Matrix Laboratoy）组成，它具有以矩阵为基础的数学计算和分析功能，并且具有丰富 的可视化图形表现功能及方便的程序设计能力。它的应用领域极为广泛。本实验学习用 MATLAB 软件进行矩阵基本运算。 启动 MATLAB 后，将显示 MATLAB 操作界面，它包含多个窗口，其中命令窗口是最 常用的窗口，如图 1.1 所示。图 1.1 MATLAB 的操作桌面本实验所有例题的 MATLAB 命令都是在命令窗口中键入的。在本实验中用到2MATLAB 的运算符号及命令或函数列举如下： 1、运算符号
3、表 1.1 给出了本实验用到的 MATLAB 基本运算符号。表 1.1 MATLAB 的基本运算符号运算符号*/.说明赋值加减乘左除右除幂运算转置群运算2、命令或函数 表 1.2 给出了与本实验相关的 MATLAB 命令或函数。若要进一步了解和学习某个命令 或函数的详细功能和用法时，MATLAB 提供了一个 help 命令。表 1.2 与本实验相关的 MATLAB 命令或函数命令说明位置help inv在命令窗口中显示函数 inv 的帮助信息 创建矩阵例 1.1，矩阵行元素分割符号例 1.1；矩阵列元素分割符号例 1.1%注释行例 1.1eye(n)创建 n 阶单位矩阵例 1.1zeros(m
4、,n)创建 mn 阶零矩阵例 1.1zeros(n)创建 n 阶零方阵例 1.1ones(m,n)创建 mn 阶元素全为 1 的矩阵例 1.1rand(m,n)创建 mn 阶元素为从 0 到 1 的均匀分布的随机数矩阵例 1.2round(A)对矩阵 A 中所有元素进行四舍五入运算例 1.2inv(A)求矩阵 A 的逆例 1.3A-1用幂运算求矩阵 A 的逆例 1.31.3 实验内容例 1.1 用 MATLAB 软件生成以下矩阵：（1）（2）（3）（4） 066656239 A 100010001 B 0000C1111111111111111D解：（1）在 MATLAB 命令窗口输入： A=
5、9,3,2;6,5,6;6,6,0 % 矩阵同行元素以逗号或空格分割 或：A=9 3 2;6 5 6;6 6 0 % 行与行之间必须用分号或回车分隔 或：A=9 3 26 5 66 6 0结果都为： A =9 3 26 5 66 6 03（2）输入： B=eye(3) 结果为： B =1 0 00 1 00 0 1（3）输入： C = zeros(2)结果为： C =0 00 0（4）输入： D = ones(4)结果为： D =1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1Matlab 对矩阵赋值有直接输入和命令生成两种方法，本例中矩阵 A 就是键盘直接输入 的；而矩阵 B、C 和
6、 D 都是用 Matlab 命令而生成。例 1.2 随机生成两个 3 阶方阵 A 和 B，分别计算：（1）AB；（2）AB；（3）5A；（4）AB；（5）TA 解：输入： A=round(rand(3)*10) % rand(3)：生成 3 阶元素为 01 的随机实数方 阵% round（）：对矩阵元素进行四舍五入运算 B=round(rand(3)*10)结果为： A =10 2 35 10 99 3 7 B =1 2 30 3 59 7 1（1）输入： AB 结果为： ans =411 4 65 13 14 18 10 8其中“ans”表示这次运算的结果。 （2）输入： AB 结果为： a
7、ns =9 0 05 7 40 -4 6（3）输入： 5*A结果为： ans =50 10 1525 50 4545 15 35（4）输入： A*B结果为： ans =37 47 4386 103 7472 76 49（5）输入 A结果为 ans =10 5 92 10 33 9 7例 1.3 已知矩阵，分别计算：（1）；（2） 712010321 A5A1A解：输入： A=1,2,3;0,1,0;2,1,7结果为： A =1 2 30 1 02 1 7（1）输入：5A5结果为： ans =3409 2698 117150 1 07810 6177 26839（2）输入： inv(A)或输入
8、A-1 结果都为： ans =7 -11 -30 1 0 -2 3 1例 1.4 已知矩阵，且满足，计算矩 192250596 A 182401266 BBPA BAQ 阵和。PQ解：方法一：利用求逆矩阵的方法，输入： A=6,9,5;0,5,2;2,9,1 B=6,6,2;1,0,4;2,8,1 P=B*inv(A) Q=inv(A)*B方法二：利用 MATLAB 软件特有的矩阵“左除”和“右除”运算，输入： A=6,9,5;0,5,2;2,9,1 B=6,6,2;1,0,4;2,8,1P=B/A % 矩阵右除 Q=AB % 矩阵左除 两种方法的运算结果都为： A =6 9 50 5 22
9、9 1 B =6 6 21 0 42 8 1 P =0.8043 -1.3043 0.58700.5761 1.1739 -1.22830.0435 -0.0435 0.8696 Q =60.6087 1.4565 -1.20650.0435 0.7826 0.21740.3913 -1.9565 1.4565例 1.5 已知矩阵，分别按以下要求进行矩阵元素的群 107026305 A 254603312 B运算： （1）把矩阵 A 和矩阵 B 所有对应元素相乘，得到 9 个乘积，计算由这 9 个数所构成的同 形矩阵 C。 （2）对矩阵 A 中的所有元素进行平方运算，得到矩阵 D，求该矩阵。
10、解：Matlab 软件提供了矩阵元素群运算的功能，输入： A=5,0,3;6,2,0;7,0,1 B=2,1,3;3,0,6;4,5,-2结果为： A =5 0 36 2 07 0 1 B =2 1 33 0 64 5 -2（1）输入： C=A.*B % 在运算符号前加“.” ，其含义即为矩阵元素的群运算 结果为： C =10 0 918 0 028 0 -2（2）输入： D=A.2 % 在运算符号前加“.” ，其含义即为矩阵元素的群运算 结果为： D =25 0 936 4 049 0 11.4 实验习题1利用函数 rand 和函数 round 构造一个 55 的随机正整数矩阵 A 和 B，
11、验证以下等式是 否成立：（1）；（2）；（3）BAAB 22BABABATTTABAB72已知向量，请计算它们的内积。要求：43210107（1）用矩阵相乘命令计算；（2）用矩阵元素群运算的方法计算。3已知，用求逆矩阵和矩阵右除两种方法求矩阵 X。 0152095038125231135 X4、已知，其中，用求逆矩阵和矩阵左除两种方法求矩阵ABBA 200012021 BA。5、已知，求，。 4321532154215431543254321A5A1A8实验 2 行列式与方程组的求解2.1 实验目的1.掌握 Matlab 软件求行列式的命令； 2.掌握 Matlab 软件求矩阵秩的命令； 3.
12、掌握 Matlab 软件对矩阵进行初等行变换的命令； 4.掌握 Matlab 软件求解满秩线性方程组的各种方法； 5.掌握 Matlab 软件符号变量的应用； 6.通过 Matlab 软件验证与行列式相关的各种公式和定理，从而加深对相关概念的理解。2.2 实验指导本实验利用 MATLAB 软件来计算与行列式相关的各种运算问题，其中包括：行列式 的求解、矩阵秩的求解、矩阵逆的求解、利用克莱姆法则解方程组、验证行列式按行（列） 展开定理及符号变量在行列式中的应用等。 MATLAB 软件不仅拥有简单明了的命令窗口，而且也提供了程序编辑器。在实验 1 图 1.1 所示的 MATLAB 操作界面中，点击
13、左上方的小按钮，即可打开 MATLAB 的 M 文 件编辑器窗口，如图 2.1 所示，在这个窗口中可以编写扩展名为 M 的文件。图 2.1 MATLAB 的 M 文件编辑器表 2.1 给出了与本实验相关的 MATLAB 命令或函数。表 2.1 与本实验相关的 MATLAB 命令或函数命令功能说明位置A=.;在赋值语句后，若有一个分号“; ” ，它的含义是不在窗口中显示矩阵A。例 2.1U=rref(A)对矩阵 A 进行初等行变换，矩阵 U 为矩阵 A 的最简行阶梯矩阵。例 2.1clear清除工作空间中的各种变量，往往写在一个程序最前。例 2.1n=input()数据输入函数，单引号内的字符串起说明作用。例 2.1ifelseifend条件语句，控制程序流程，和 C 语言功能类似。例 2.1m,n=size(A)计算结果为一个二维行向量，m,n 分别存放矩阵 A 的行数和列数。例 2.19=关系运算符号：等于例 2.1=关系运算符号：不等于例 2.1|逻辑运算符号：逻辑或例 2.1disp(.)显示单引号中的字符串例 2.1det(A)计算矩阵 A 的行列式例 2.
