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1、综合测评(二) 数列、极限与数学归纳法 (时间：120 分钟；满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1方程 x26x40 的两根的等比中项是( ) A3 B2 C D26解析：选 B.设两根为 x1，x2，则 x1x24.故其等比中项为 2.故应选 B.42. (1 )( )limn1313213nA. B.5332 C2 D不存在解析：选 B. (1 ) .limn1313213n111332 3(2010 年高考浙江卷)设 Sn为等比数列an的前 n 项和，8a2a50，则( )S5S2 A1
2、1 B8 C5 D11 解析：选 A.设等比数列an的公比为 q(q0)，依题意知8a1qa1q40，a10，则 q38，故 q2，所以S5S21q51q211.13214 4在数列an中，a13，且对于任意大于 1 的正整数 n，点 (an，an1)在直线 xy60 上，则 a3a5a7的值为( ) A27 B6 C81 D9 解析：选 A.由题意得 anan160，即 anan16，得数列 an是等差数列，且首项 a13，公差 d6，从而 a3a5a7a72da5a14d34627.5已知函数 f(x)Error!在 R 上连续，则 ab( )A2 B1 C0 D1解析：选 A.lif(x
3、)li (x1)1，mx0mx0所以 li 1，即 li 1，mx0(axbx2x)mx0axabxx1则Error!有 a1，b1，ab2，故选 A. 6(2010 年高考广东卷)已知数列an为等比数列，Sn是它的前n 项和若 a2a32a1，且 a4与 2a7的等差中项为 ，则 S5( )54 A35 B33 C31 D29 解析：选 C.设数列an的公比为 q，则 a2a3a 1q3a1a42a1a42，2a42a7a42a4q324q32 q ，5412故 a116，S531.a4q3a11q51q7若数列an中，a1 ，且对任意的正整数 p、q 都有13 apqapaq，则 an(
4、)A( )n1 B2( )n1313C( )n D. ( )n1131312解析：选 C.特殊值法处理，设 q1 可得 ap1 ap，所以an是13公比为 的等比数列，即有 an( )n.1313 8设等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 a110，a29，那么下 列不等式中成立的是( ) Aa10a110 CS20S210，a20a22S21，即 S20S210，故 C 错 由 an及 Sn知，S400，且 q 为常数)，某 同学得出如下三个结论：an的通项是 an(q1)qn1；an是 等比数列；当 q1 时，SnSn2S8，有下 列四个命题：(1)此数列的公差 dS6，即 S60，同理
5、可知 a80，a80，0，| ，则此通项公式可2 以为 an_ _ (写出一个即可) 解析：数列an满足a12，an1，a21 ，a3121，a4111an11212 2.若an有一个形如 anAsin(n)B 的通项公式，且数列an的周期为 3，所以 3， 将前三项代入可得：223A，B ， ，所以 ansin(n ) .3123323312答案：2 sin( n )323312 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答时应写出必要的文 字说明、证明过程或演算步骤) 17(本小题满分 10 分)等比数列an的前 n 项和为 Sn，已知 S1，S3，S2成等差数列 (1)求an的公比
6、q； (2)若 a1a33，求 Sn. 解：(1)依题意有 a1(a1a1q)2(a1a1qa1q2)由于 a10，故 2q2q0.又 q0，从而 q .12(2)由已知可得 a1a1( )23，故 a14.12从而 Sn 1( )n. 4112n1128312 18(本小题满分 12 分)数列an满足 a12，a25，an23an12an. (1)求证：数列an1an是等比数列； (2)求数列an的通项公式； (3)求数列an的前 n 项和 Sn. 解：(1)证明：由题意知 an2an12(an1an)，2，故数列an1an是等比数列an2an1an1an (2)由(1)知数列an1an是以
7、 a2a13 为首项， 以 2 为公比的等比数列，an1an32n1. a2a1320，a3a2321，a4a3322，anan1 32n2，ana13(2n11)，312n112 即 an32n11. (3)an32n11，Sn3n32nn3.12n12 19(本小题满分 12 分)已知数列an满足：Sn1an(nN*)， 其中 Sn为数列an的前 n 项和 (1)试求an的通项公式；(2)若数列bn满足：bn(nN*)，试求bn的前 n 项和公式 Tn.nan 解：(1)Sn1an， Sn11an1.得 an1an1an.an1 an(nN*)12又当 n1 时，a11a1，a1 .12a
8、n n1n(nN*)12(12)(12)(2)由(1)得 bnn2n(nN*)nanTn12222323n2n. 2Tn122223324n2n1. 得Tn222232nn2n1n2n1.212n12 整理得：Tn(n1)2n12，nN*. 20(本小题满分 12 分)设数列an的前 n 项和为 Sn，且(3m) Sn2manm3(nN*)，其中 m 为常数，m3，且 m0. (1)求证：an是等比数列；(2)若数列an的公比满足 qf(m)且 b1a1，bn f(bn1)32(nN*，n2)，求证：为等差数列，并求 bn.1bn 证明：(1)由(3m)Sn2manm3， 得(3m)Sn12m
9、an1m3， 两式相减，得(3m)an12man(m3)，m 是常数，且 m3，m0，an1an2mm3故是不为 0 的常数，an是等比数列2mm3(2)由 b1a11，qf(m)，nN*且 n2，2mm3bn f(bn1) ，得32322bn1bn13bnbn13bn3bn1 .1bn1bn113是以 1 为首项， 为公差的等差数列，1bn131，故有 bn.1bnn13n233n2 21(本小题满分 12 分)设 Sn为数列an的前 n 项和，若(nN*)是非零常数，则称该数列为“和等比数列” S2nSn (1)若数列2bn是首项为 2，公比为 4 的等比数列，试判断数列 bn是否为“和等
10、比数列” ； (2)若数列cn是首项为 c1，公差为 d(d0)的等差数列，且数列 cn是“和等比数列” ，试探究 d 与 c1之间的等量关系 解：(1)因为数列2bn是首项为 2，公比为 4 的等比数列，所以 2bn24n122n1，因此 bn2n1. 设数列bn的前 n 项和为 Tn，则 Tnn2，T2n4n2，所以4，因此数列bn为“和等比数列” T2nTn(2)设数列cn的前 n 项和为 Rn，且k(k 为常数，且R2nRnk0)因为数列cn是等差数列，所以Rnnc1d，R2n2nc1d，nn122n2n12所以k 对于 nN*都成立，R2nRn2nc12n2n1d2nc1nn12d化
11、简得(k4)dn(k2)(2c1d)0，则Error! 因为 d0，所以 k4，d2c1， 因此 d 与 c1之间的等量关系为 d2c1. 22(本小题满分 12 分)在直角坐标平面上有一点列 P1(x1，y1)， P2(x2，y2)，Pn(xn，yn)，对一切正整数 n，点 Pn位于函数y3x的图象上，且 Pn的横坐标构成以 为首项，1 为公差的13452 等差数列xn (1)求点 Pn的坐标； (2)设抛物线列 C1，C2，C3，Cn，中的每一条对称轴都垂 直于 x 轴，第 n 条抛物线 Cn的顶点为 Pn，且过点 Dn(0，n21)，记与抛物线 Cn相切于 Dn的直线的斜率为 kn，求：
12、1k1k21k2k3；1kn1kn (3)设 Sx|x2xn，nN*，Ty|y4yn，nN*，等差数列 an的任一项 anST，其中 a1是 ST 中的最大数， 265a10125，求an的通项公式解：(1)由题意，得 xn (n1)(1)52n ，yn3xn3n .3213454Pn(n ，3n )(nN*)3254(2)Cn的对称轴垂直于 x 轴，且顶点为 Pn，设 Cn的方程为 ya(x)2.2n3212n54 把 Dn(0，n21)代入上式，得 a1. Cn的方程为 yx2(2n3)xn21. 即 kny|x02n3， 当 n2 时， ()1kn1kn12n12n31212n112n3 ( )( )(1k1k21k2k31kn1kn121517171912n1)12n3 ( ).121512n311014n6 (3)Sx|x(2n3)，nN*，Ty|y(12n5)，nN* y|y2(6n1)3，nN*， STT，T 中最大数 a117. 设an的公差为 d，则 a10(179d)(265，125)，由此得d12.2489又anT，d12m(mN*) d24，an724n
