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1、您能从这里有所收获，是我们最大的快乐！http:/第- 1 -页共 3 页抽象函数的对称性与周期性 一、 抽象函数的对称性 定理 1. 若函数 y=f (x) 定义域为 R，且满足条件：f (a+x)=f (bx)，则函数 y=f (x) 的图象关于直线 x= 2ab 对称。 推论 1. 若函数 y=f (x) 定义域为 R，且满足条件：f (a+x)=f (ax) （或 f (2ax)= f (x) ),则函数 y=f (x) 的图像关于直线 x= a 对称。 推论 2. 若函数 y=f (x) 定义域为 R，且满足条件：f (a+x)=f (ax)， 又若方程 f (x)=0 有 n 个根
2、，则此 n 个根的和为 na 。 定理 2. 若函数 y=f (x) 定义域为 R，且满足条件：f (a+x)+f (bx)=c， （a,b,c 为常数） ，则函数 y=f (x) 的图象关于点(, )22ab c对称。 推论 1.若函数 y=f (x) 定义域为 R，且满足条件：f (a+x)+f (ax) =0， （a 为常数） ，则函数 y=f (x) 的图象关于点（a ，0）对称。 定理 3.若函数 y=f (x) 定义域为 R，则函数 y=f (a+x) 与 y=f (bx)两函数的图象关于直线 x=2ba 对称。 定理 4.若函数 y=f (x) 定义域为 R，则函数 y=f (a
3、+x) 与 y=cf (bx)两函数的图象关于点(, )22ba c 对称。 性质 1：对函数 y=f(x),若 f(a+x)= f(bx)成立，则 y=f(x)的图象关于点（2ba ,0）对称。 性质 2：函数 y=f(xa)与函数 y=f(ax)的图象关于直线 x=a 对称。 性质 3：函数 y=f(a+x)与函数 y=f(ax)的图象关于直线 x=0 对称。性质 4：函数 y=f(a+x)与函数 y=f(bx)图象关于点（2ab ,0）对 称。 二、抽象函数的周期性 定理 5.若函数 y=f (x) 定义域为 R，且满足条件 f (xa)=f (xb)， 则 y=f (x) 是以 T=a
4、b 为周期的周期函数。 定理 6.若函数 y=f (x) 定义域为 R，且满足条件 f (xa)= f (xb)， 则 y=f (x) 是以 T=2（ab）为周期的周期函数。 定理 7.若函数 y=f (x)的图象关于直线 x=a 与 x=b （ab)对称，则 y=f (x) 是以 T=2(ba)为周期的周期函数。 定理 8.若函数 y=f (x)的图象关于点（a,0)与点(b,0) , (ab)对称，则 y=f (x) 是以 T=2(ba)为周期的周期函数。 定理 9.若函数 y=f (x)的图象关于直线 x=a 与 点(b,0),(ab)对称，则您能从这里有所收获，是我们最大的快乐！htt
5、p:/第- 2 -页共 3 页y=f (x) 是以 T=4(ba)为周期的周期函数。 性质 1：若函数 f(x)满足 f(ax)=f(ax)及 f(bx)=f(bx) (ab,ab0),则函数 f(x)有周期 2(ab)； 性质 2：若函数 f(x)满足 f(ax)= f(ax)及 f(bx)= f(bx)， (ab,ab0),则函数有周期 2(ab). 特别：若函数 f(x)满足 f(ax)=f(ax) （a0）且 f(x)是偶函数，则 函数 f(x)有周期 2a. 性质 3：若函数 f(x)满足 f(ax)=f(ax)及 f(bx)= f(bx) (ab,ab0)，则函数有周期 4(ab)
6、. 特别：若函数 f(x)满足 f(ax)=f(ax) （a0）且 f(x)是奇函数，则 函数 f(x)有周期 4a。练习： 1设1)(2 xxf,求 f(x+1)关于直线 x=2 对称的曲线方程。 2函数 y=f(x)在(0,2)上是增函数，函数 y=f(x+2)是偶函数，则下列 结论中正确的是（ ）Af(1)f(25 )f(27 ) B. f(27 )f(1) f(25 ) BC. f(27 )f(25 )f(1) D f(25 )f(1) f(27 ). 3已知函数 f(x1)的图象，通过怎样的变换可以得到函数 f(x+2) 的图象。 4. 若函数 f (x)=x2+bx+c 对一切实数
7、都有 f (2x) = f (2x)则（ ）（A） f (2)f (1) f(4) (B)f (1)f (2) f(4) (C) f (2)f (4) f(1) (D)f (4)f (2) f(1) 5、设函数 y= f (x)定义在实数集 R 上，则函数 y= f (x1)与 y= f (1x)的图象关于（ ）对称。 （A）直线 y=0 (B) 直线 x=0 (C) 直线 y=1 (D)直线 x=1 6、设函数 y= f (x)定义在实数集 R 上，且满足 f (x1)= f (1x)， 则函数 y= f (x)的图象关于（ ）对称。 （A）直线 y=0 (B) 直线 x=0 (C) 直线
8、y=1 (D)直线 x=1 7、设函数 f (x)=(xa)3 对任意实数 x 都有 f (2+x) =f (2x) ,则 f (3)+f (3) = ( )(A) 124 (B) 124 (C) 56 (D) 56 8、已知实系数多项式函数 f (x) 满足 f (1x) = f (3x) , 并且方程 f (x)=0 有四个根，求这四个根之和。您能从这里有所收获，是我们最大的快乐！http:/第- 3 -页共 3 页9、函数 f(x)的定义域为 R，且满足 f (12x) = f (x) ,方程 f (x) =0 有 n 个实数根，这 n 个实数根的和为 1992，那么 n 为（ ） （A
9、） 996 （B） 498 （C） 332 （D） 116 10、设 f (x) 是定义在实数集 R 上的函数，且满足 f (10+x) = f (10x)与 f (20x)= f (20+x)，则 f (x)是 （ ） （A）偶函数，又是周期函数， （B）偶函数，但不是周期函 数 （C）奇函数，又是周期函数， （D）奇函数，但不是周期函 数 11、设 y=f (x) 是定义在实数集 R 上的函数，且满足 f (x) = f (x) 与 f (4x)=f (x)，若当 x0,2时，f (x) =-x2 +1 ,则当 x6 , 4 时 f (x)= （ ）（A）x2 +1 (B) (x2)2 +1 (C)(x+4)2 +1 (D) (x+2)2 +1 12、设 f (x)= x2 +1 , 若 g (x)的图象与 y= f (x+2) 的图象关于点 （1，1）对称，求 g (x).
