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1、课题学习 猜想、证明与拓广 课时安排2 课时 从容说课本课题学习中的课题背景是：是否存在一个矩形，其周长与面积是已知矩形周长与面 积相同的若干倍.探索活动从学生熟悉的简单情形出发，引导学生逐步思考一个个看似简单 但又具挑战性的问题，不断经历判断、选择及综合运用二次方程、方程组、不等式、函数 等知识的过程，在做中学，体验以数学的方式来做数学.本课题学习整体上是一个开放性、研究性的课题，主要意图不在于回答一些具体问题， 而是提供一个思考、探究的平台，在活动中体现归纳、综合和拓展.感悟处理问题的策略和 方法，积累数学活动的经验.在内容设计上，教科书为学生自主探索留有较大空间：通过“做一做”积累经验，
2、通 过 “想一想”诱导发现， “议一议”中提出的问题均有一定深度和相当大的弹性，不同的学生 可以找到自己感兴趣的问题，在“读一读”中引出两种思路，对问题的解决有很大的启发 性.教学时要为学生提供充分思考和交流的空间，鼓励学生在自主探索和猜测的基础上及 时交流自己的想法和做法，可以采用小组合作的方法进行教学，注意问题的连贯性和前后 内容的一致性，引导学生分类研究，由特殊到一般，启发学生发现更具一般性的结论，寻 找一般性的解决方法，对不同学生有不同要求，分层教学，渗透处理问题的策略和方法. 第一课时 课 题课题学习猜想、证明与拓广(一) 教学目标(一)教学知识点探索“任意给定一个矩形.是否存在另一
3、个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长 和面积的 2 倍”的议题.(二)能力训练要求1.经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索的意识.2.在问题解决的过程中综合运用所学知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的 整体性认识.3.在探究过程中，感受由特殊到一般、形数结合的思想方法，体会证明的必要性.4.在合作交流中扩展思路，发展学生的推理能力.(三)情感与价值观要求1.积极参与数学活动，积极思考并与同学合作交流.2.获得成功的体验和克服困难的经历，增强运用数学的信心. 教学重点探究“任意给定一个矩形.是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长 和面积的 2 倍” ，从而获
4、得解决问题的方法和途径. 教学难点从特殊到一般，启发学生综合运用一元二次方程、方程组、不等式等知识发现具有一 般性的结论，寻求一般性的解决方法. 教学方法自主探索合作交流. 教具准备多媒体演示 教学过程.创设情境问题，搭建探究平台问题 1任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知 正方形周长和面积的 2 倍?你是怎样做的?你有哪些解决方法?你能提出新的问题吗?问题 2任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形 周长和面积的 2 倍?请大家结合自己学过的知识，认识思考问题 1，并谈谈你自己的想法.生 1若给定的正方形的边长是 1，则它的周长是 4，
5、面积是 1，另一个正方形周长变成它的 2 倍，即周长变为 428，面积则变成了()24，即这个正方形的面积是原来48正方形面积的 4 倍.若另一个正方形面积变成原正方形的 2 倍，即面积变为 2.则这个正方形周长变为 4.2我认为不存在另一个正方形.它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的 2 倍.生 2生 1 举的只是一个特例，不见得就没有存在的情况.师到底存不存在，同学们可在小组内讨论交流，然后发表看法.组 1我们组找了几个已知的正方形，都不存在另一个正方形，它的周长和面积是已 知正方形周长和面积的 2 倍.组 2我们组从一般情况下证明不存在，设已知给定的正方形的边长为 a，则其面积为
6、a2,周长为 4a，若周长倍增，即周长变为 8a 正方形的边长变为 2a.面积变为 4a2.不符合要求；若面积倍增，即面积变为 2a2，正方形的边长变为，周长变为 4，不符合要a2a2求，即无论从哪个角度考虑，都说明不存在这样的正方形.师很好!我们举几个特例猜想这样的正方形不存在，又从一般情况验证了这样的正方 形确实不存在.同学们已经历丁一个数学问题的解决过程，但如果将问题 1 拓展，正方形 不具有这样的特点，我们学过的其他图形如三角形、矩形、菱形等是否具有这样的特点呢?11.展示思维过程，构建探究空间师你是如何思考问题 2 的?生矩形的形状太多了，我们可以先来研究一个具体的.师很好，我们就来
7、先看一个特殊的、具体的矩形.多媒体演示：做一做 如果已知矩形的长和宽分别是 2 和 1.结论会怎样呢?你是怎么做的?与同伴交流.生已知矩形的长和宽分别是 2 和 1，则其周长和面积分别为 6 和 2，则所求矩形的周 长和面积分别为 12 和 4.可以先固定所求矩形的周长：周长为 12 的矩形很多，它们的长和宽可以是 5 和 1，4和 2，3 和 3，也可以是和其中是否有面积为 4 的呢?我们可以去尝试着找一和211 21下.(教师一定要给学生时间和空间去探索、猜测)生这样找太费劲。我找了半天，也没有找到.我们不妨电可以先固定所求矩形的面积：面积为 4 的矩形也有很多，它们的长和宽可以中 1 和
8、 1，2 和 2，和 8，.其中是否21有周长为 12 的?可以再试一下.生我还没有找到，是不是不存在?生我也没找到，但我觉得应该能找到，我刚才设面积为 4 的矩形的长和宽都是正有 理数，长和宽是否会是正无理数时，才能使周长为 12 呢?师这位同学大胆的猜想倒给了我们一个启示：如果长和宽是无理数，那可就不好找 了，有没有别的方法呢?请同学们认真思考.生我们不要一个一个去排查，这样做既耗时又费力，结果还难寻求，是否可以借助 于我们以前学过的方程的知识来解决?如果先固定矩形的周长，周长为 12.则矩形的长和宽 的和为 6.设长为 x,宽为 6-x.只要 x 的取值使 x 与 6-x 的积是 4.即
9、 x(6-x)=4 这个方程有解 且 x0，则这样的矩形就存在. 师这个思路很好，我们一起解一下 x(6-x)4，整理，得 x2-6x+4=0.解得x1=3+,x2=3-.由此可知这样的矩形存在，且它的长和宽分别为 3+，3-.5555你还有别的思路吗?生如果先固定矩形的面积，面积为 4，则矩形的长和宽的积为 4，设长为 x，宽就为，只要 x 的取值使长和宽的和为 6 即 x+=6 这个方程有解且 x0，则这样的矩形存在.x4 x4解 x+6 得 x1=3+,x2=3-,所以这样的矩形存在，长为 3+，宽为 3-.x45555生其实可以直接设所求矩形的长和宽分别为 x 和 y， x+y=6,
10、则xy=4,由此可知 x,y 是方程 z2-6z+4=0 的解，方程的解为 3+，3-.所以矩形的长和宽55分别为 3+，3-.55生刚才几位同学采用的方法都是方程的方法.我们刚学习了反比例函数及一次函数， 如果 x+y=6, 把xy=4. 的 x,y 看成变量而不是未知数，则满足条件的 x、y 就成了一次函数 y6-x.与反比例函数y=两个图象的交点坐标.x4师这位同学的想法太棒了，你能把你的想法说得更具体吗?生好!如果固 定所求矩形的面积， 那么可以发现：满 足要求的(x，y)可 以看作反比例函数y=的图象在第一象限内点的坐标,这样的点有无数个.也就是说面积为 4 的矩形有无数个,如x4果
11、固定所求矩形的周长，那么可以发现：满足要求的(x，y)可以看作一次函数 y-x+6 的 图象在第一象限内点的坐标,这样的点也有无数多个，也就是说周长为 12 的矩形有无数个.而满足“加倍”要求的(x,y)就可以看作反比例函数 y=的图象与一次函数 y-x+6 的图x4象在第一象限内交点的坐标,从上图中可以看到，这样的交点存在，即满足要求的矩形是存 在的.师我们通过“做一做” ，知道了已知矩形的长和宽为 2 和 1 时，存在另一个矩形，它 的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的 2 倍.下面我们再对几种特殊情形进行验证.多媒体演示： 议一议 当已知矩形的长和宽分别为 3 和 1 时，是否还有相同
12、的结论?已知矩形的长和宽分别为 4 和 1，5 和 1，n 和 1 呢?请同学们在小组内讨论.生当已知矩形的长和宽分别为 3 和 1 时，可以设所求矩形的长和宽分别为 x、y，则x+y=8 x=4+,10解得 xy=6 y=4-.10(其中 xy)所以当已知矩形的长和宽分别为 3 和 1 时，还有相同的结论，即存在一个 矩形的周长和面积是原矩形的 2 倍.生我们组也验证出了当已知矩形的长和宽分别为 4 和 1，5 和 1 时，结论仍成立，所求矩形的长和宽分别为 5+和 5-，6+和 6-.17172626师当已知矩形的长为 n(n 为任意正数)，宽还为 1，结果如何呢?生同样道理，可以设所求矩
13、形的长和宽为 x，y， x+y=2(2n+1), 则xy=2n,x=n+1+.12n解得 (xy), y=n+1-12n即上述结果仍成立.师你能推广到更一般的情况吗?生更一般地，当已知矩形的长和宽分别为 n 和 m 时，结论仍成立.师如何验证呢?生同样可设所求矩形的长和宽分别为 x、y,则x+y=2(m+n),xy=mn,x=m+n+,22nm 解得 (xy)，y=m+n-.22nm 即已知矩形的长和宽分别为 n 和 m 时 可以找到一个矩形，它的面积和周长都是已知矩形的 2 倍，并且所求矩形的长和宽分别为 m+n+和 m+n-.22nm 22nm 师也就是说任意给定一个矩形，一引存在另一个矩
14、形，它的周长和面积分别是已知 矩形周长和面积的 2 倍.课时小结这节课我们经历了猜想与证明的过程，由特殊到一般结合方程、方程组、函数等知识 得出了结论；任意给定一个矩形，一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形 周长和面积的 2 倍在活动中，感悟处理问题的策略和方法，积累了一定的数学活动经 验课后作业习题 P153第 1、3 题活动与探究 阅读下列短文：如图(1)，ABC 是直角三角形，C90现将ABC 补成矩形，使 ABC 的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符 合要求的矩形可以画出两个：矩形 ACBD 和矩形 AEFB(如图(2)解答问题：(1)设
15、图(2)中矩形 ACBD 和矩形 AEFB 的面积分别为 S1、S2，则 S1_S2(填“” “”或“ACAB，按短文中的要求把它补成 矩形，那么符合要求的矩形可以画出 个.(4)在(3)所画的矩形中，哪一个周长最小?为什么?解析：(1)因为矩形 ACBD 和矩形 AEFB 的面积都等于ABC 面积的两倍，所以 S1S2 (2)按短文要求操作，可以画出一个矩形，即矩形 ADEB如图(5)(3)按短文要求操作，可以画出三个矩形，即矩形 BCED、矩形 AQHC 和矩形 ABGF 如 图(6)(4)通过观察、测量，得猜想：以 AB 为边的矩形周长最小证明：设矩形 BCED、矩形 AQHC 和矩形 ABGF 的周长分别为 L1，L2和 L3，BCa，ACb，ABc，易知，这三个矩形的面积相等，令其面积为 S，则有L1=+2a，L2+2b，L3 +2c.L1-L2=+2a-(+2b)2(a-b)而aS2 bS2 cS2 aS2 bS2 abSababS，ab，L1-L20，即 L1L2，同理 L2L3以 AB 为边的矩形周长最小 板书设计课题学习猜想、证明与拓广(一) 问题 1任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方 形周长和面积的 2 倍? 问题 2任意给定一个矩形，是否存在一个矩形，它的周
