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1、全全错错位位排排列列 研研究究一一得得理理科科实实验验班班 黄黄回回銮銮 徐徐博博强强 刘刘益益佳佳指指导导教教师师 史史立立莉莉一、问题的引入一、问题的引入课余，我们看排列组合问题时，常遇到受限元素，受限位置的简单问题。如课余，我们看排列组合问题时，常遇到受限元素，受限位置的简单问题。如 5 5 个学生个学生站成一排，甲不站在排头，乙不站在排尾有多少种不同排法，或上午站成一排，甲不站在排头，乙不站在排尾有多少种不同排法，或上午 5 5 节课，数学、体育、节课，数学、体育、政治、语文、化学。体育不排在第一节，数学不排在最后一节，有多少种不同排法。对这政治、语文、化学。体育不排在第一节，数学不排
2、在最后一节，有多少种不同排法。对这类问题的解决，我们已很熟练。类问题的解决，我们已很熟练。甲、乙或体育、数学是受限元素，排头、排尾或第一节，第五节是受限位置，用排除甲、乙或体育、数学是受限元素，排头、排尾或第一节，第五节是受限位置，用排除法较简明，只须重视排除时重复排除就可以了。法较简明，只须重视排除时重复排除就可以了。如图：如图：不考虑受限元素，受限位置时，不考虑受限元素，受限位置时，5 5 个人站成一排有个人站成一排有 P P5 55 5种不同排法。要除去甲在排头的种不同排法。要除去甲在排头的P P4 44 4种不同排法，此时已含乙站在排尾的种不同排法，此时已含乙站在排尾的 P P3 33
3、 3种排法，然后再排除乙站在排尾的种排法，然后再排除乙站在排尾的 P P4 44 4种不同排种不同排法。再加上重复排除的法。再加上重复排除的 P P3 33 3种不同排法，故可得出结论：种不同排法，故可得出结论：不同的排法有不同的排法有 P P5 55 5-2P-2P4 44 4+P+P3 33 3=78=78 种种二、课题的提出二、课题的提出5 5 个元素有个元素有 2 2 个元素受限，有个元素受限，有 2 2 个位置受限，我们考虑若将此题深化，若个位置受限，我们考虑若将此题深化，若 5 5 个元素都个元素都受限，都分别受限在不同的位置上。即受限，都分别受限在不同的位置上。即 5 5 个编号
4、分别为个编号分别为 1 1、2 2、3 3、4 4、5 5 的学生排成一排，的学生排成一排，1 1 不站在不站在 1 1 号位，号位，2 2 不站在不站在 2 2 号位号位 5 5 不站在不站在 5 5 号位，即每人均不站在与其编号相对应的号位，即每人均不站在与其编号相对应的位置上，位置上，我们称符合这样限制条件的排列为全错位排列我们称符合这样限制条件的排列为全错位排列，那这样的全错位排列有多少种？，那这样的全错位排列有多少种？如果有如果有 n n 个受限元素，又该如何解呢？个受限元素，又该如何解呢？我们用排除法去解，很难得出正确结论，重复的情况很复杂，很难理出头绪，我们三我们用排除法去解，很
5、难得出正确结论，重复的情况很复杂，很难理出头绪，我们三人决心研究人决心研究全错位排列全错位排列排列数计算问题。带着这个问题我们请教了指导老师史立莉。排列数计算问题。带着这个问题我们请教了指导老师史立莉。三、课题研究三、课题研究史老师指导我们学习排列、组合数学归纳法及数列有关知识，鼓励我们大胆探究。课史老师指导我们学习排列、组合数学归纳法及数列有关知识，鼓励我们大胆探究。课余我们在一块探讨研究，用不完全归纳法试图找出规律，经推理演绎，初步得出一个不成余我们在一块探讨研究，用不完全归纳法试图找出规律，经推理演绎，初步得出一个不成熟的结论，供大家探讨，以期抛砖引玉。熟的结论，供大家探讨，以期抛砖引玉
6、。四、构建命题四、构建命题命题：设命题：设 n n 个编号为个编号为 1 1、2 2、3 3、 ii jnjn 的不同元素的不同元素 a a1 1、a a2 2、a a3 3aai iaaj jaan n， 站在一排，且每个元素均不站在与其编号相对应的位置，这样的全错位排列数为站在一排，且每个元素均不站在与其编号相对应的位置，这样的全错位排列数为 T Tn n 。则则 T Tn n= = (n-1)(n-1) ( ( T Tn-1n-1+T+Tn-2n-2) ) 说明：说明：T Tn-1n-1, , T Tn-2n-2 分别表示分别表示 n-1n-1 个或个或 n-2n-2 个不同元素全错位排
7、列数。个不同元素全错位排列数。证明：在证明：在 n n 个不同元素中任取一个元素个不同元素中任取一个元素 a ai i其不站在与其编号相对应的其不站在与其编号相对应的 i i 位，必站在剩位，必站在剩下下 n-1n-1 个位置上，个位置上，a ai i有有 n-1n-1 种站法。种站法。甲甲乙乙对对 a ai i每一种站法，如每一种站法，如 a ai i站在站在 j j 位，对应位，对应 j j 位的元素位的元素 a aj j的站位总有两种情况：的站位总有两种情况：第一种情况：第一种情况：如图：位置：如图：位置： 1 1 2 2 3 3 i i j j n n a aj ja ai ia ai
8、 i站在站在 j j 位，位，a aj j站在站在 i i 位，元素位，元素 a ai i，a aj j站位已定，还剩站位已定，还剩 n-2n-2 个元素，每个元素均个元素，每个元素均有一个不能站的位置，它们的站位问题就转化为有一个不能站的位置，它们的站位问题就转化为 n-2n-2 个元素全错位排列数，应有个元素全错位排列数，应有 T Tn-2n-2种。种。第二种情况：第二种情况：如图：位置：如图：位置： 1 1 2 2 3 3 i i j j n n a ai ia ai i仍站在仍站在 j j 位，位，a aj j不能站在不能站在 i i 位（第一种情况位（第一种情况 a aj j已站已站
9、 i i 位）位） ，此时只有，此时只有 a ai i一个元素一个元素站位确定除站位确定除 a ai i外，还有个外，还有个 n-1n-1 元素，每个元素均有一个不能站的位置，问题就转化为元素，每个元素均有一个不能站的位置，问题就转化为 n-1n-1个元素全错位排列，有个元素全错位排列，有 T Tn-1n-1种。由乘法原理和加法原理可得：种。由乘法原理和加法原理可得：T Tn n=(n-1)(T=(n-1)(Tn-1n-1+T+Tn-2n-2) ) （n3n3）这样命题得证。这样命题得证。有这样的递推公式就很容易解决上面提出的问题。有这样的递推公式就很容易解决上面提出的问题。显然显然 T T1
10、 1=0=0两个不同元素全错位排列只有一种排法两个不同元素全错位排列只有一种排法 T T2 2=1=1叁个不同元素全错位排列有二种不同排法叁个不同元素全错位排列有二种不同排法 T T3 3=(3-1)(1+0)=2=(3-1)(1+0)=2四个不同元素全错位排列有四个不同元素全错位排列有 T T4 4=(4-1)(2+1)=9=(4-1)(2+1)=9 ( (种种) )（写出九种站位情况，只写元素下标编号：（写出九种站位情况，只写元素下标编号：21432143，23412341，24132413，31423142，34123412，34213421，41234123，43124312，4321
11、4321） 。五个不同元素全错位排列有五个不同元素全错位排列有T T5 5=(5-1)(T=(5-1)(T4 4+T+T3 3)=4(9+2)=44)=4(9+2)=44 ( (种种) )依此递推我们可解决依此递推我们可解决 n n 个不同元素均不站在与其编号相对应的位置上全错位排列数这个不同元素均不站在与其编号相对应的位置上全错位排列数这个问题。个问题。五、研究的意义五、研究的意义“把复杂的问题弄简单了把复杂的问题弄简单了贡献贡献” 。在数学领域内有很多复杂问题，很难一次性建模、。在数学领域内有很多复杂问题，很难一次性建模、解模，这就要切块、细化，分类、分层解决。就象有些定理的证明往往通过引
12、理解模，这就要切块、细化，分类、分层解决。就象有些定理的证明往往通过引理 1、2进行铺垫、分解，使原定理变的简单可证。我们推出求进行铺垫、分解，使原定理变的简单可证。我们推出求 n n 个元素的全错位排列数的一个递个元素的全错位排列数的一个递推公式，就将推公式，就将 n n 个元素全错位排列数转化为求个元素全错位排列数转化为求 n-1n-1、n-2n-2 个元素全错位排列数，而初始数个元素全错位排列数，而初始数T T1 1、T T2 2、T T3 3为已知，这样就解决了求为已知，这样就解决了求 n n 个元素全错位排列数的问题。掌握这种数学思想、个元素全错位排列数的问题。掌握这种数学思想、思维
13、方式，对于我们这些中学生十分必要，有利于我们学会学习，有利于我们将来在激烈思维方式，对于我们这些中学生十分必要，有利于我们学会学习，有利于我们将来在激烈竞争中多一些生存的本领。竞争中多一些生存的本领。aj不能站不能站 i 位位211 22 33 11 21 2 3课本、大纲历来是教育者、受教育者的依据。尤其是数学学科，中学生中不少感到高课本、大纲历来是教育者、受教育者的依据。尤其是数学学科，中学生中不少感到高深莫测难以驾驭，我们此举也是向中学生朋友们呼吁，不要畏惧数学，只要改变学习方式，深莫测难以驾驭，我们此举也是向中学生朋友们呼吁，不要畏惧数学，只要改变学习方式，数学是可以变成数学是可以变成
14、“大众化数学大众化数学”的。注的。注六、体会六、体会“命题命题”是否正确，在现实生活中是否有用，我们感到这并不重要，我们深切感受到是否正确，在现实生活中是否有用，我们感到这并不重要，我们深切感受到探讨探讨“命题命题”的过程，是我们认识上的一个飞跃，在史老师的指导下，我们主动地学习，的过程，是我们认识上的一个飞跃，在史老师的指导下，我们主动地学习，获取知识，应用知识，解决问题。这种获取知识，应用知识，解决问题。这种“研究性学习研究性学习”使我们倍感创新的艰难和成功的喜使我们倍感创新的艰难和成功的喜悦。悦。我们都是数学爱好者。现在数学的性质、用途发生了巨大变化，我们都是数学爱好者。现在数学的性质、
15、用途发生了巨大变化， “计算机技术及其应用计算机技术及其应用的统一模式是数学抽象数学符号变换数学应用的统一模式是数学抽象数学符号变换数学应用” ，注，注处理现实世界的各种数学模处理现实世界的各种数学模型，其高效性、效益性令人咂舌，更为世界公认。而现行数学课程课堂教学往往以数学符型，其高效性、效益性令人咂舌，更为世界公认。而现行数学课程课堂教学往往以数学符号变换为主处理中段为原则，而忽视了首尾即数学抽象和数学应用，导致了数学教学脱离号变换为主处理中段为原则，而忽视了首尾即数学抽象和数学应用，导致了数学教学脱离实际的倾向。现在强调数学抽象，数学应用已成为国内外课程改革的共同取向，而研究性实际的倾向。现在强调数学抽象，数学应用已成为国内外课程改革的共同取向，而研究性学习中遇到的大量现实问题都要用到数学抽象学习中遇到的大量现实问题都要用到数学抽象数学符号变换数学符号变换数学应用，来建立数数学应用，来建立数学模型，这就要求我们能识模、建模、析模、解模、验模、构建自己终身受用的发展能力。学模型，这就要求我们能识模、建模、析模、解模、验模、构建自己终身受用的发展能力。一句话，研究性学习是一个连续不断地同化新知识，构建新意义的过程，只有通过自一
