《高考数学（苏教版，理）复习课件：第二章 第十节导数在研究函数中的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学（苏教版，理）复习课件：第二章 第十节导数在研究函数中的应用（70页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十节 导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数正负的关系在区间 (a,b)内 f(x)大于零等于零小于零f(x)在(a,b)内是_f(x)在(a,b)内是_f (x)在(a,b)内是_增函数常量函数减函数2.函数的极值xx0左侧侧 x0x0右侧侧 极小值值f(x0) f(x0)为单为单调调_函数 f(x)=0 f(x0)为单调为单调 _函数 极大值值f(x0) f(x)为单为单调调_函数 _f(x)为单调为单调 _函数 减增增f(x)=0减3.判别f(x0)是极大(小)值的方法若x0满足f(x0)=0，且在x0的两侧f(x)的导数_，则x0是f(x)的极值点.如果在x0附近的左侧_，右侧
2、_，即“_”，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧_，右侧_，即“_”，那么f(x0)是极小值.异号f(x)0f(x)0f(x)0f(x)0左负右正左正右负4.求函数在a,b上最值的步骤(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的_.(2)将函数y=f(x)的各_与_比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，即得出函数f(x)在a,b上的最值.极值极值端点处的函数值f(a)，f(b)判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1) f(x)0是f(x)为增函数的充要条件.( )(2)函数在某区间上或定义域内的极值是惟一的.( )(3)函数的极大值不一定比极小值大.( )(4)
3、对可导函数f(x),f(x0)=0是x0点为极值点的充要条件.( )(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( ) 【解析】(1)错误.f(x)0能推出f(x)为增函数，反之不一定.如函数f(x)=x3在(-,+)上单调递增，但f(x)0.所以f(x)0是f(x)为增函数的充分条件，但不是必要条件.(2)错误.一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.(3)正确.一个函数的极大值与极小值没有确定的大小关系，极大值可能比极小值大，也可能比极小值小.(4)错误.对可导函数f(x)，f(x0)=0只是x0点为极值点的必要条件，如y=x3在x=0时f(0)=0，而
4、函数在R上为增函数，所以0不是极值点.(5)正确.当函数在区间端点处取得最值时，这时的最值不是极值.答案:(1) (2) (3) (4) (5)1.函数f(x)ln xax(a0)的单调增区间为_.【解析】由f(x) 得 f(x)的单调增区间为答案：2.已知f(x)=ax3+bx2+cx(a0)有极大值5，其导函数y=f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式为_.【解析】f(x)=3ax2+2bx+c，由题意得： 解得答案：f(x)=2x3-9x2+12x3.设 当x-1,2时，f(x)m恒成立，则实数m的取值范围是_.【解析】f(x)=3x2-x-2,令f(x)=0得:x=1或f(1)=f
5、(x)min= 答案：4.已知f(x)x3ax在1，)上是增函数，则a的最大值是_.【解析】f(x)3x2a0在1，)上恒成立，即a3x2在1，)上恒成立，而(3x2)min3123.a3，故amax3.答案：35.已知 恒成立，则a的最大值为_.【解析】设 则当x 时，f(x)0，故函数f(x)在(1,2上单调递增，f(x)minf(1)0，a0，即a的最大值为0.答案：06.已知yf(x)是定义在R上的函数，且f(1)1，f(x)1，则f(x)x的解集是_.【解析】令F(x)f(x)x，则F(x)f(x)10，所以F(x)是增函数，故易得F(x)F(1)的解集，即f(x)x的解集是(1，)
6、.答案：(1，)考向 1 利用导数研究函数的单调性 【典例1】(1)(2012辽宁高考改编)函数 的单调减区间为_.(2)(2012北京高考改编)已知函数f(x)=ax2+1(a0),g(x)=x3+bx.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公切线,求a,b的值;当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间.【思路点拨】(1)保证函数有意义的前提下，利用y0解得单调减区间.(2)利用交点既在f(x)上,又在g(x)上，且在公切点处导数相等，构造方程组求解；构造函数F(x)=f(x)+g(x)，再利用导数求单调区间.【规范解答】(1)由 -1x1，且x0，又函数
7、的定义域为(0,+),故单调减区间为(0,1).答案：(0,1)(2)f(x)=2ax,g(x)=3x2+b，由已知可得 解得a=b=3.令F(x)=f(x)+g(x)=令F(x)=0，得a0,x10得，由F(x)6时，f(x)+g(x)在 上为增函数，在上为减函数，在 上为增函数.综上，当00时,因为二次函数y=ax2+(a-1)x-a的图象开口向上,而f(0)=-a0,f(x)不符合条件.故a的取值范围为0a1.6分(2)因g(x)=(-2ax+1+a)ex,g(x)=(-2ax+1-a)ex,()当a=0时,g(x)=ex0,g(x)在x=0处取得最小值g(0)=1,在x=1处取得最大值
8、g(1)=e.7分()当a=1时,对于任意x0,1有g(x)=-2xex0,g(x)在x=0处取得最大值g(0)=2.在x=1取得最小值g(1)=0.8分()当0a1时,由g(x)=0得若 即 时,g(x)在0,1上单调递增,g(x)在x=0处取得最小值g(0)=1+a,在x=1处取得最大值g(1)=(1-a)e.10分若 即 时，g(x)在 处取得最大值 在x=0或x=1处取得最小值,而g(0)=1+a,g(1)=(1-a)e,12分由g(0)-g(1)=1+a-(1-a)e=(1+e)a+1-e=0,得则当 时,g(0)-g(1)0,g(x)在x=0处取得最小值g(0)=1+a;当 时,g
9、(0)-g(1)0,g(x)在x=1处取得最小值g(1)=(1-a)e.14分【失分警示】(下文见规范解答过程)1.(2013盐城模拟)函数f(x)在定义域内可导，若f(x)=f(2-x)，且当x(-,1)时，(x-1)f(x)0，设a=f(0),c=f(3)，则a,b,c的大小关系为_.【解析】f(x)=f(2-x)，函数f(x)关于x=1对称,x1时，(x-1)f(x)0,f(x)0，f(x)在(-,1)上是增函数,在(1,+)上是减函数,f(3)f(0)cab.答案：cab2.(2013淮安模拟)已知曲线y=(a-3)x2+ln x存在垂直于y轴的切线，函数f(x)=x3-ax2-3x+
10、1在1,2上单调递增，则a的取值范围是_.【解析】由题意a-30，a3.又f(x)=3x2-2ax-3，当x1,2时，f(x)0. a0.答案：(-,03.(2013徐州模拟)函数f(x)=x3-ax2-3x+1在1，2上单调递增，则a的取值范围为_.【解析】f(x)=3x2-2ax-3,f(x)=x3-ax2-3x+1在1,2上单调递增,f(x)=3x2-2ax-30在1，2上恒成立， 在1，2上的最小值为0，a0，综上a0.答案：(-,04.(2012泰州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)=2，f(x)1,则不等式f(x2)x2+1的解集为_.【解析】令F(x)=f(x)-x，
11、又f(x)1,则F(x)=f(x)-10,F(x)在R上单调递减.f(1)=2,f(x2)x2+1可转化成f(x2)-x2f(1)-1，即F(x2)F(1)，根据F(x)在R上单调递减，则x21，解得x(-，-1)(1，+).答案：(-，-1)(1，+)5.(2012安徽高考)设定义在(0，+)上的函数f(x)=ax+(a0).(1)求f(x)的最小值.(2)若曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为 求 a,b的值.【解析】(1)f(x)= 当且仅当 时，f(x)取最小值为b+2.(2)由题意得:f(1)=由得:a=2,b=-1.1.已知函数f(x)(xR)的图象上任一点(x0，y0
12、)处的切线方程为yy0(x02)(x021)(xx0)，那么函数f(x)的单调递减区间是_.【解析】根据函数f(x)(xR)的图象上任一点(x0，y0)处的切线方程为yy0(x02)(x021)(xx0)，可知其导数f(x)(x2)(x21)(x1)(x1)(x2)，令f(x)0得x1或1x2.因此f(x)的单调递减区间是(，1)，(1,2).答案：(，1)，(1,2)2.函数 的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是_.【解析】f(x)ax2ax2aa(x2)(x1)，要使函数f(x)的图象经过四个象限，则f(2)f(1)0，即 解得答案：3.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1与x=2处分别取得极大值与极小值，又数列 为等差数列，则 的值为_.【解析】f(x)=3x2+2ax+b，由题意: f(n)=3n2-9n+6=3(n-2)(n-1)，要使数列为等差数列，则必有pn+q=k(n-2)或pn+q=m(n-1)，或-1.答案： 或-1
