《抛物型方程未知源辨识与数值模拟》由会员分享，可在线阅读，更多相关《抛物型方程未知源辨识与数值模拟（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2 0 0 5 中国控制与决策学术年会论文集6 0 8P r o c e e d i n g s 矿2 0 0 5C h i H “eC o n t r o l 口n dD e c i 5 i o nc 。m ，埘“抛物型方程未知源辨识与数值模拟涤慧，刘超，江成顺( 信息工程大学信息工程学院，河南郑州4 5 0 0 0 2 )摘要：考虑一共控制方程为搬暂型方程对分布参教茉坑未知释项辨识问题将问赶转化为舌珊奇异棱的第】典V o l t e r r a 积分方程求解问题利用控制论的思想并通过定义T i k h o n o v 意义下的目标迁函，将闸题转换为最优控制同题结合F o u r i e r
2、 变换及逆变换将间是转化到频率域中求解筒化了计算过程最后碧出的数值算侧，说明了算法是有效的荚麓词；分布参数幕统 潭硬控制- 正则让IF o u r i e r 变换I d e n t i f i c a t i o no fa nu n k n o w ns o u r c ei nap a r a b o l i ce q u a t i o na n dn u m e r i c a ls i m u l a t i o n sT UH u i ，L ，UC h a o J I A N GC h e n g s h u n( I n f o r m a t i o nE n g i n e
3、 e r i n gI n s t i t u t e - I n f o r m a t i o nE n g i n e e r i n gU n i v e r s i t y ，Z h e n g z h o u4 5 0 0 0 2 ，C h i n aC o r r e s p o n d e n t lT U H u i ，E m a i l ：t u h u i m a i l y a h o o c o r n o n )A b s t r a c t ：U n k n o w ns o u r c et e r mi d e n t i f i c a t i o np r
4、 o b l e mo fad i s t r i b u t e dp a r a m e t e rs y s t e mp a r a b o l i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a lc o n t r o le q u a t i o ni sc o n s i d e r e d T h ep r o b l e mi st r a n s f e r r e di n t ot h es o l u t i o np r o b l e mo ft h ef i r s tk i n dV o l t e r r ai n t e g r
5、a le q u a t i o nw i t haw e a k l ys i n g u l a rk e r n e l F r o mt h ec o n t r o lt h e o r y ，aT i k h o n o vf u n c t i o n a li sd e f i n e da st h eo b j e c t i v ef u n c t i o n a l t h u st h ep r o b l e mht u r n e di n t oa no p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m W i t ht h eF o
6、 u r i e rt r a n s f o r m a t i o na n di t si n v e r s et r a n s f o r m a t i o n ，t h ep r o b l e mi ss o l v e di nt h ef r e q u e n c ys p a c e w h i c hs i m p l i f i e dt h en u m e r i c a lc a l c u L a t i o np r o c e s s N u m e r i c a le x a m p l e sa r ep r e s e n t e dt op
7、r o v et h ee f f e c t i v e n e s so ft h ea l g o r i t h m K e yw o r d s ；d i s t r i b u t e dp a r a m e t e rs y s t e m ；s o u r c ec o n t r o l Ir e g u l a r i z a t i o “IF o u r i e rt r a n s f o r m a t i o n1 引言在大量的工程应用中，需要研究控制方程为如下抛物型方程：“。一A u + ，o ，1 )( 1 )的分布式参数系统0 1 其中：u ( x ，#
8、) 是系统状态向量，z = ( ) ，A u 一( 砉，毫，老) ， f ( x ，f ) 是物体内部的源( 汇) 项此类系统可用于描述内部有热源的物体的加热或冷却问题例如放射性元素的蜕变对地壳温度的影响可由式( 1 ) 来描述，且其中的源项具有g ( t ) h ( x ，Y ，2 ) 的形式，h 描述的为热源的俸强度，g ( f ) ；e ，i 为放射性元素衰减的半周期另外，系统方程( 1 ) 还可描述化学工业中的传热传质过程、环境水力学中的污染物运移扩散过程等嘲为了实现对上述系统进行主动控制和预测，需要辨识其中的全部或者部分参数本文考虑如下分布参数系统：虬一口2 “置+ f ( t )
9、g C r ) ， 0 0 为正则化参数。| | 忆为函数的2 一范数。并有如下表达式：0 ，t 一l 力( w ) d w 最优控制问题为：寻找f o ( 一o 。，。) ，使泛函J 力取得最小值通过选取合适的正则化参数，使解在适定与精确之间达到平衡，从而得到最优的近似解 3 两个定理定理l 式( 1 0 ) 中定义的泛函J 达到极小的充要条件为：存在上L 2 ( 一。，o o ) ，满足E u l e r 方程H n f 。一n 。Fs 十口，。一0 证明对式( 1 0 ) 作一阶变分得到& ，= 2 对。( 口，一R ) + 口力，其中为H 的共轭函数设，使泛函达到极小，6 1 02 0
10、 0 5 中国控制与决策学术年会论文集由泛函取得极小值的阶必要条件得E u l e r ：h - N & ， 上 = 2 ( H H L 一日 + a ，t ) = o ，即H H f 。一H 8 + a f 。一Q n 1 1反之，若，满足方程( n ) ，对任意，L z ( 一o 。，o 。) ，由二项式定理知 | | 馏一F a I l + 。| | ，I | ；一J j 上口一F 。J ；+ aJJ 上J J ；+2 R e ( f 一，。n l n ，一H 。p 0 +日，一上” + a8 ，一上 | ；则J 力= J 上 + 8 甘，一口六鹏十a I f ，一 雌儿 ，故对于a o
11、 ，存在 使得泛函，达到极小值，且极 小点上满足方程( 1 1 ) 口定理2设E 和F 。已知，分别为它们对应的E u l e r 方程的解，则8 ，1 一六8 。埘0 户，一户：l ，进而有 “：肘“ 一F 。“：其中：M = 1 z i ，1 ，厶，F 1 ，F ：分别为，】，2 ，或，F 2 的F o u r i e r 逆变换证明由E u l e r 方程得到 = 晶锦，( 1 2 )且口+II 口l 习1 万叩J 一习前 记虬) = 南，。 o ，令叭= ) _ 罱= o ，得到g = a 0 ；又有中( o ) 一垂( 。) = 0 ，故 l l l a x 庐o ) 一七J M
12、2 o于是l l 州：M 1 f P 扎，n ，】一，。0 。 f8 矗F 2l I2 ，进而由P a r s e v a l 等式得 1 1 一，2 忆M0F 。一F ：I I ：口注1定理2 说明在右端项误差足够小的情况下，E u l e r 方程( 1 1 ) 解的F o u r i e r 逆变换逼近原问题的真实解 4 数值试验根据前面的讨论，通过选取合适的正则化参数代人求解E u l e r 方翟，得到的，t 的F o u r i e r 逆变换即为原问题的近似解为了使用数值方法求解该问题，将时间区间 o ，了1 进行如下离散：取等距的时间格点t ，一i 纽，2 a t = 丁N ，
13、i = 0 ，1 ，令= 野( i f ) ，以= 妒( i z X t ) F * = R ( i t ) ，i = 01 ，则n 。= n i 弛+ 。2 以6 ， J 一0 其中 一j2 俩( 万= F 盯一而) ，0 。= 1。、L 0 ，J H = g i c l ji = o ，1 ，；q 一厅H 学 争一t 针e r I 为误差函数，且e r r ( y ) 一 = e x p ( 一矿) d 7 记”doF 。= ( 凡o ，F n ，F 州) 7 ，H = ( H 。，H ”，H ) 7 ，f= ( f o ， ，1 ，w ) 7 ，可类似得到离散函数向量凡， f 具体求解步
14、骤如下： 1 ) 计算向囊B 及H ，H 2 ) 计算向量n 及片，4 。； 3 ) 选取合适的a ，求得 一揣； 4 ) 利用F o u r i e r 逆变换求出近似解 蟹15 一O 0 1 正刚僻与精确解比较置圈25 = 0 0 0 0 1 正则解与精确解比较涤慧等：抛物型方程未知源辨识与数值模拟6 1 l为了说明所讨论方法的有效性，选取g ( z ) 一一c 0 S z ，似t ) = e 一4 ，廿0 ) = 0 ，d = l ，7 一0 5 ，N = 3 2 取d 一0 0 0 01 ，P ( ) 的观测值为绍( ，) = p 0 ) + 3 s i n5 0 m ，进行数值试验，
15、精确解，( f ) 一e _ 2 与所得数值解的比较结果如图1 和图2 所示从图中可以看出，当8 很小时，数值解更接近精确解在边界上误差较大，是因为对式( 7 ) 中的函数延拓后，运用离散F o u r i e r 变换产生漏频和频率的混叠现象所致，可通过对，( 0 ) 附加更多信息加以克服5结语本文讨论了一类分布式参数系统的未知源辨识的反问题，结合T i k h o n o v 意义下的正则化方法以及最优控制思想，求解了此类问题F o u r i e r 变换及其逆变换的应用大大降低了直接离散解法的计算量，并通过数值试验说明所提出的数值计算方法的有效性当所讨论的函数为周期函数或可以进行周期延拓时可直接采用快速F o u i r e r 变换进行求解，但对于一般的函数来说，只能通过直接积分的方法求解F o u r i e r 变换，实际应用时需要注意T i k h o n o v 正则化方法一般对系统较小的扰动时求解较为理想，而对于扰动较大时还须探讨其他有效解法参考文献( R e f e r e n c e s ) 1 王康宁分布爹辨：越蒯曩垂声 M 北京科学出版社，1 9 8 6 E 2 F r i e d m a nA M a t h e m a t i c si ni n d u s t r i a lp r o b l e m s
