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1、空间向量可以用来处理立体几何的角与距离问题,那么在教学中应如何教好这一内容。1整体把握立体几何中的向量方法整体把握立体几何中的向量方法知识结构知识结构（1）利用空间向量解决立体几何问题的必然性）利用空间向量解决立体几何问题的必然性我们知道，首先平面向量及其运算为利用平面向量解决平面几何问题提供了理论基础，其次，平面向量的方法使得很多依靠传统几何方法很难解决的几何问题变得比较的轻松，事实上，如果我们联想平面解析几何不难发现，利用向量方法（有代数运算特征）解决几何问题使得几何的研究范围和深度发生很大的变化.前面我们看到将向量及运算由平面推广到空间的过程，因此，向量及运算由平面推广到空间，已经为利用
2、空间向量解决立体几何问题做好了理论上的准备，利用空间向量解决立体几何问题是利用平面向量解决平面几何问题的发展，也必将给几何研究带来新的动力.（2）梳理空间向量应用的结论）梳理空间向量应用的结论例如，关于直线的方向向量和平面的法向量利用向量表示空间直线与平面利用向量表示空间直线与平面设点是直线 上一定点，是 上任意一点，是 的一个方向向量，则 的向量表示形式为，其中 为实数.（）设为平面内一定点，是内任意一点，分别是内两个不共线的向量，则有向量表示形式，其中，为实数.（）设为平面内一定点，是内任意一点，是平面的一个法向量，则有向量表示形式（点法式）.利用向量表示空间直线与平面的位置关系利用向量表
3、示空间直线与平面的位置关系设直线 ，的方向向量分别为，平面，的法向量分别为，则：线线平行 ；线面平行 ；面面平行 .线线垂直 ；线面垂直 ；面面垂直 .线线夹角 ，的夹角为（） ，；线面夹角 ，的夹角为（） ，；面面夹角 ，的夹角为（） ，.注意：（）这里的线线平行包括重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合.（）这里线线夹角、线面夹角、面面夹角的范围是.二面角的大小可以用其平面角的大小来定义，它的取值范围是，具体取，还是取，建议结合具体问题（例如结合图形）而定.（3）进一步培养空间想象能力，推理论证能力）进一步培养空间想象能力，推理论证能力利用空间向量刻画 空间点、线、面及其位置关系
4、的过程是运用向量方法、综合几何方法解决问题的过程，这个过程中对于空间想象能力，推理论证能力都有相应的要求，建议应不失时机地进行相应练习，例如，在推导点到平面的距离公式的过程中建议进一步巩固综合结合方法和运用图形的能力.例例 设平面的法向量为，是平面内任意一点，点到平面的距离为，则空间点到这个平面的距离：.证明证明：因为对上式进行变形，则.（4） “三部曲三部曲”解决问题的基本思想方法解决问题的基本思想方法用向量方法解决立体几何问题的三部曲是向量应用的一个重要思想方法，它的重要性等同于解析几何中的解析法，我们建议它的教学可以先给出一些具体问题的解法，启发学生归纳出过程中的这三步：建立立体图形与空
5、间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系（距离和夹角等） ；根据运算结果的几何意义来解释相关问题.例例 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点 A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是.那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？分析分析：如图，由于平行六面体的棱之间具有平行关系，所以以 A 为起点的三个向量可以将各棱用向量形式表示.根据题设，不妨设这三个向量的模都等于 1.为了求出对角线的长，可以将用于棱相关的向量表示出来.解解：如图，设，.化为向量问题化为向量问题根据向量的
6、加法法则，.进行向量运算进行向量运算=.所以.回到图形问题回到图形问题这个晶体的对角线的长是棱长的倍.（5）建系中的问题）建系中的问题向量坐标方法在使用时建立坐标系是重要的一环，我们应针对几何体的形状以有利于求向量的坐标为原则来建系.在利用向量坐标方法的初级阶段，试题所给的几何体都是非常规整的，一般会出现“三个垂直” ，可以直接利用题目所给的图形和其中的线段建立坐标系，一般不需要添加辅助线，有利于向量方法解题.但随着课程的推进，对题目的设计就会逐渐按照题目本身的面目出现，而不再刻意追求规整的“三个垂直” ，目的是使得大家对空间向量方法的有一个全面正确的认识和熟练的使用，即认识到向量方法中也有空
7、间想象能力和推理论证能力的要求.因此，利用向量方法中的“算”应该是以一定的空间想象和思辨论证为基础的.我们看几个例子：选择适合位置建系选择适合位置建系例例 如图，直三棱柱中，为的中点，为上的一点，（）证明：为异面直线与的公垂线；（）设异面直线与的夹角为 45，求二面角的大小（）证明：依条件知. 以为坐标原点，射线为轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，因为面，故设，则，.因为，故，.所以为异面直线与的公垂线.（）非常规位置放置，考查概念、空间想象能力，建系的灵活性.本题中这样建系，对于平面内的点的坐标是比较容易求解的选择适合位置建系.先证明后建系先证明后建系例例 如图，正方形和四边形
8、所在的平面互相垂直，.（）求证：平面；（）求证：平面；（）求二面角的大小.证明证明：（I） 设与交与点.因为，且，.所以四边形为平行四边形.所以.因为平面，AF平面，所以平面.（）因为正方形和四边形所在的平面相互垂直，且，所以平面.如图，以为原点，建立空间直角坐标系.则，.所以，.所以，.所以，.所以平面.（）由（）知，是平面的一个法向量.设平面的法向量为，则，.即所以，且.令，则.所以.从而.因为二面角为锐角，所以二面角的大小为.问题的条件并没有直接给出建立坐标系所需要的从一点出发的两两垂直的三条直线，因此在建系之前应通过综合几何方法证明要建立坐标系的直线满足两两垂直的建系条件.在运用向量方
9、法解决立体几何的问题中，很多命题者在向量方法中融入了综合考查空间想象和推理论证的内容，这使得一道立体几何问题全面考查了学生解决立体几何问题的方法.例例 如图，梯形 ABCD 中，DCAB，AD=DC=CB=AB=1，E 是 AB 的中点，将ADE 沿 DE 折起，设点 A 折到点 P 的位置，且二面角 P-DE-C 的大小为 120，F 是 DE 的中点.（）若点 M 是 PB 的中点，证明：PD平面 MEC；（）证明：DEPC；（）求二面角 F-PB-C 大小的余弦值.解法 1：（综合几何方法略）分析：分析：本题的难点是图形不够规正，那么要建立坐标系就应该对几何图形进行一定的说明，下面的说明主要是点 P 在底面的射影为什么在 AF 上.解法解法 2：由（2）知四边形 ADCE 是菱形，F 为 DE 中点，ACDE.由于PDE 是由ADE 折起得到的，且 PD =PE，故点 P 在平面 ADCE 上的射影 O 落在 AC 上.故以 O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由(2)知PFC 是二面角 P-DE-C 的平面角.所以PFC =120.所以二面角 F-PB-C 大小的余弦值为.如果按照图中的方法建系，则必修说明点 P 在平面 ADCE 上的射影 O 落在 AC 上.这个过程完全是综合几何方法，因此建立坐标系的向量方法不是绝对的计算问题.
