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1、实验实验7 7 非线性电路振荡周期的分岔与混沌实验非线性电路振荡周期的分岔与混沌实验长期以来人们在认识和描述运动时，大多只局限于线性动力学描述方法，即确定的运 动必然有一个确定的解析解。但是在自然界中相当多的情况下，非线性现象却有着非常大 的作用。1963年美国气象学家在分析天气预报模型时，首先发现空气动力学中的混Lorenz 沌现象，这一现象只能用非线性动力学来解释。于是，1975年混沌作为一个新的科学名词 首先出现在科学文献中。从此,非线性动力学得到迅速发展,并成为有丰富内容的研究领域。 该学科涉及到非常广泛的科学范围，从电子学到物理学，从气象学到生态学,从数学到经济 学等。混沌通常相应于
2、不规则或非周期性,这是非由非线性系统产生的本实验将引导学生自 已建立一个非线性电路。该电路包括有源非线性负阻, 振荡器和移相器三部分。采用LC 物理实验方法研究振荡器产生的正弦波与经过移相器移相的正弦波合成的相图(李LCRC 萨如图)，观测振动周期发生的分岔及混沌现象。费根鲍姆常数是伴随着非线性科学的发展 产生的一个新的常数本文对费根鲍姆常数进行简单的介绍并利用非线性电路混沌实验来 测量验证。【实验目的】1.了解混沌的基本概念2.了解实现混沌电路的基本结构3. 进一步地了解描述混沌的相关参量如倍周期分岔、混沌、奇怪吸引子等的物理意义【实验仪器】 型非线性电路混沌效应实验仪，有源非线性负阻元件（
3、NR），电感器和电容器816FBAL，1C电容器，可变电阻，示波器，连接线若干等2CVR【实验原理】 1.1.非线性电路与非线性动力学：非线性电路与非线性动力学： 实验电路如图 所示,图 中只有一个非线性元件，它是一个有源非线性负阻器件。11R电感器和电容器组成一个损耗可以忽略的振荡回路：可变电阻和电容器串联L2CVR1C1 1211()dVcCGVcVcg Vcdt2 212()LdVcCGVcVcidt将振荡器产生的正弦信号移相输出。较理想的非线性元件是一个三段分段线性元件。图R 2所示的是该电阻的伏安特性曲线,从特性曲线显示加在此非线性元件上电压与通过它的电 流极性是相反的。由于加在此元
4、件上的电压增加时，通过它的电流却减小，因而将此元件 称为非线性负阻元件。图1 电路的非线性动力学方程为：式中,导纳,和分别表示加在和上的电压,表示流过电感2V1VRR1G1CV2CV1C2CLi器的电流,表示非线性电阻的导纳。LgR2.2. 有源非线性负阻元件的实现：有源非线性负阻元件的实现： 有源非线性负阻元件实现的方法有多种，这里使用的是一种较简单的电路：采用两个运算放大器(一个双运放 ) 和六个配置电阻来实现,其电路如图3所示,它的伏安特353LF 性曲线如图2所示。由于本实验研究的是该非线性元件对整个电路的影响,只要知道它主要是一个负阻电路 (元件),能输出电流维持振荡器不断振荡,而非
5、线性负阻元件的作用2LC是使振动周期产生分岔和混沌等一系列现象。图所示即为实际非线性混沌实验电路。43.3.实验电路图：实验电路图：实验电路图如图4所示虚线框中部分即为图3中的非线性负阻元件，采用个运算放大器和6个配置电阻来实现 。可变电阻是多圈电位器，可以进NR2VR行精细调节。将分别接到示波器的输入端观察其相图。21CH ,CHY ,X2LVcdtdiL4.4.实验现象：实验现象：实验中，调节的阻值，可依次观测到由倍周期分岔到出现混沌的现象，VR混沌混沌，如图5所示： P8P4P2P1 P35 5费根鲍姆常数：费根鲍姆常数：混沌是一种运动状态，从确定性系统通往混沌主要有倍周期分岔、阵发性、
6、准周期等道路毕业于麻省理工学院，在洛斯阿拉莫斯科研所工作的费根鲍姆()在Feigenbaum. J .M研究由倍周期分岔通向混沌的过程中发现，对于一维映射：，当参数)x1 (xxnn1n增加时出现周期分岔的过程，即周期1分岔出周期2，周期2又分岔出周期4若周期倍分岔相邻3个分岔点的参数分别为：，则当时，比值：1nn1n,nL9 ,102,609,201,669. 4n1n1nnnlim这是一个无理常数， 称为费根鲍姆常数。需要注意的是，对于不同映射， 值也不同 ，对于次映射，；对于次映射，；对于次映射，2L669. 44L284. 76 ；对于次映射， 。本文所讨论的是次映射，即L296. 9
7、8L048.102 的情况。L669. 4【实验内容与步骤】1 把自制电感器接入图4所示的电路中, 调节的阻值。在示波器上观测图所示的VR5和所构成的相图 (李萨如图),调节电阻值由大至小时,描绘相图周期的分岔1CH2CHVR及混沌现象。2 将一个环形相图的周期定为,那么要求观测并记录，阵发混沌 ,，P1P8 ,P4 ,P2P3单吸引子(混沌)，双吸引子(混沌)共六个相图和相应的和的输出波形，并画出1CH2CH“混沌混沌” 六个相图。P8P4P2P1 P33 费根鲍姆常数的测量：在实验中出现倍周期分岔的过程中，实验电路中对应着一系列参数，因为费根鲍姆0常数的普适性，在测量时，参数的选择与具体的
8、物理量无关，本实验选择了发生倍周期分岔时非线性电阻两端的电压作为参数测量数据见表1分别表示发842, ,见图3中的(b)，(c)，(d)时非线性电阻两端的电压实验数据如表1所示p8 , p4 , p2表1 实验数据记录序号)V(2)V( 4)V( 8)V( 42)V( 8412345平均计算得: 2448与理论值比较求相对误差：.100%E 【思考题】1.实验中若需自制铁氧体为介质的电感 ,该电感器的电感量与哪些因素有关？此电感量可用哪些方法测量? 2.非线性负阻电路(元件),在本实验中的作用是什么? 3为什么要采用移相器,并且用相图来观测倍周期分岔等现象？如果不用移相器,可用RC哪些仪器或方法?4.通过本实验请阐述：费根鲍姆常数、倍周期分岔、混沌、奇怪吸引子等概念的物理含义。【实验总结】
