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1、轻松学习高中数学-高一专题系列课程数形结合思想一作图、识图、用图技巧(1)作图：常用描点法和图象变换法图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换描绘函数图象时，要从函数性质入手，抓住关键点(图象最高点、最低点、与坐标轴的交点等)和对称性进行(2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象结合研究(4)利用基本函数图象的变换作图平移变换：yf(x)yf(xh)，h 0，右移|h|个单位h 0，上移|k|个单位k 1，纵坐标伸长到原来的A倍对称
2、变换：yf(x)yf(x)，关于x轴对称yf(x)yf(x)，关于y轴对称yf(x)yf(2ax)，关于直线xa对称yf(x)yf(x)关于原点对称f(x)yf(x)关于原点对称二、通法归纳与感悟1应用数形结合的思想应注意以下数与形的转化 (1)集合的运算及韦恩图； (2)函数及其图像； 轻松学习高中数学-高一专题系列课程(3)方程(多指二元方程)及方程的曲线； (4)对于研究距离、角或面积的问题，直接从几何图形入手进行求解即可； (5)对于研究函数、方程或不等式(最值)的问题，可通过函数的图像求解(函数的零点、顶点 是关键点)，做好知识的迁移与综合运用 2运用数形结合的思想分析解决问题时，应
3、把握以下三个原则 (1)等价性原则 在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，有时， 由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显 的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导 (2)双向性原则 在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成， 仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的 例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若 能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化 (3)简单性原则 就是找到解题思路之后，至于
4、用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过 程，则取决于哪种方法更为简单，而不是去刻意追求代数问题运用几何方法，几何问题运 用代数方法三、利用数形结合讨论函数零点、方程的解或图像的交点利用数形结合求方程解应注意两点 (1)讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题， 但用此法讨论方程的解一定要注意图像的准确性、全面性，否则会得到错解 (2)正确作出两个函数的图像是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用， 不要刻意去数形结合1 (2013长沙模拟)若 f(x)1，当 x0,1时，f(x)x，若在区间(1,1内 g(x)1fx1f(x)mxm
5、 有两个零点，则实数 m 的取值范围是( )A. B. 0，12)12，)C. D. 0，13)(0，12 解析D 当 x(1,0时，x1(0,1，当 x(0,1时，f(x)x，f(x1)x1. 而由 f(x)1，可得 f(x)11fx11fx11(x(1,0)1x1如图所示，作出函数 f(x)在区间(1,1内的图像，轻松学习高中数学-高一专题系列课程而函数 g(x)零点的个数即为函数 f(x)与 ymxm 图像交点的个数，显然函数ymxm 的图像为经过点 P(1,0)，斜率为 m 的直线如图所示，f(1)1，故 B(1,1)直线 PB 的斜率 k1 ；直线 PO 的斜率为101112k20.
6、由图可知，函数 f(x)与 ymxm 的图像有两个交点，则直线 ymxm 的斜率 k210 时，无交点由图象可知共 9 个交点答案 B5轻松学习高中数学-高一专题系列课程6函数 y的图象与函数 y2sinx(2x4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )11xA2 B4 C6 D8 答案 D 解析 依题意：两函数的图象如图所示：由两函数的对称性可知：交点 A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8的横坐标满足 x1x82，x2x72，x3x62，x4x52，即 x1x2x3x4x5x6x7x88，故选 D二、利用数形结合解不等式或求参数利用数形结合解不等式应注意的问题 解含参数的不等式时，由
7、于涉及到参数，往往需要讨论，导致运算过程繁琐冗长如果题 设与几何图形有联系，那么利用数形结合的方法，问题将会顺利地得到解决7. (1)使 log2(x)1，并且只需当 x2 时， logax1，即 a2，所以 10，则 c0，所以axbxc2bc2b0；当 y0，axb0，所以 x 0，所以 a0，c2 时，f(x)x2，yf(x)c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，方程 f(x) c0 恰有两不同实根，即 yc 与 yError!的图象恰有两个交点，数形结合易得 10，则|MN|t2lnt，令 yt2lnt(t0)，则 y2t ，由 y0 得 t，由 y0 得1t220t，yt2lnt 在(0，)上单调递减，在(，)上单调递增，故 t时，y 取最22222222小值，即 t时，|MN|取最小值22
