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1、第 1 页 共 26 页中考二次函数压轴题中考二次函数压轴题解题通法研究解题通法研究几个自定义概念： 1 三角形基本模型：有一边在 X 轴或 Y 上，或有一边平行于 X 轴或 Y 轴的三角形称为三角形基本模 型。 2 动点（或不确定点）坐标“一母示”：借助于动点或不确定点所在函数图象的解析式，用一个字 母把该点坐标表示出来，简称“设横表纵” 。如：动点 P 在 y=2x+1 上， 就可设 P（t, 2t+1）.若动点在，则可设为（，）当然若动点 M 在 X 轴上，则设为（t, 0）.若动点2321xx2321ttM 在轴上，设为（，） 3 动三角形：至少有一边的长度是不确定的，是运动变化的。或
2、至少有一个顶点是运动，变化的三 角形称为动三角形。 4 动线段：其长度是运动，变化，不确定的线段称为动线段。 5 定三角形：三边的长度固定，或三个顶点固定的三角形称为定三角形。 6 定直线：其函数关系式是确定的，不含参数的直线称为定直线。如：。 7 X 标，Y 标：为了记忆和阐述某些问题的方便，我们把横坐标称为 x 标，纵坐标称为 y 标。 8 直接动点：相关平面图形（如三角形，四边形，梯形等）上的动点称为直接动点，与之共线的问 题中的点叫间接动点。动点坐标“一母示”是针对直接动点坐标而言的。1.求证求证“两线段相等两线段相等”的问题：的问题： 借助于函数解析式，先把动点坐标用一个字母表示出来
3、； 然后看两线段的长度是什么距离（即是“点点”距离，还是“点轴距离” ，还是“点线距离” ，再运用 两点之间的距离公式或点到 x 轴（y 轴）的距离公式或点到直线的距离公式，分别把两条线段的长度表示 出来，分别把它们进行化简，即可证得两线段相等。、 “平行于平行于 y y 轴的动线段长度的最大值轴的动线段长度的最大值”的问题：的问题：由于平行于 y 轴的线段上各个点的横坐标相等（常设为 t） ，借助于两个端点所在的函数图象解析式， 把两个端点的纵坐标分别用含有字母 t 的代数式表示出来，再由两个端点的高低情况，运用平行于 y 轴的线段长度计算公式，把动线段的长度就表示成为一个自变量为 t，且开
4、口向下的二次函数解析-yy下上式，利用二次函数的性质，即可求得动线段长度的最大值及端点坐标。 3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题：求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题： 先用点斜式（或称 K 点法）求出过已知点，且与已知直线垂直的直线解析式，再求出两直线的交 点坐标，最后用中点坐标公式即可。4、 “抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离最大抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离最大”的问题：的问题： （方法 1）先求出定直线的斜率，由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线的解析式（注 意该直线与定直线的斜率相等，因为平行直线斜率（k）相等） ，再由该直线与抛物线
5、的解析式组成方程组，用代入法把字母 y 消掉，得到一个关于 x 的的一元二次方程，由题有=-4ac=0（因为该直2b线与抛物线相切，只有一个交点，所以-4ac=0）从而就可求出该切线的解析式，再把该切线解析式2b与抛物线的解析式组成方程组，求出 x、y 的值，即为切点坐标，然后再利用点到直线的距离公式，计 算该切点到定直线的距离，即为最大距离。第 2 页 共 26 页（方法 2）该问题等价于相应动三角形的面积最大问题，从而可先求出该三角形取得最大面积时，动 点的坐标，再用点到直线的距离公式，求出其最大距离。 （方法 3）先把抛物线的方程对自变量求导，运用导数的几何意义，当该导数等于定直线的斜率
6、时， 求出的点的坐标即为符合题意的点，其最大距离运用点到直线的距离公式可以轻松求出。 5.5.常数问题：常数问题： （1）点到直线的距离中的常数问题： “抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离等于一个 固定常数”的问题：先借助于抛物线的解析式，把动点坐标用一个字母表示出来，再利用点到直线的距离公式建立一个方 程，解此方程，即可求出动点的横坐标，进而利用抛物线解析式，求出动点的纵坐标，从而抛物线上的动 点坐标就求出来了。 （2）三角形面积中的常数问题： “抛物线上是否存在一点，使之与定线段构成的动三角形的面积等于一个定常数”的问题： 先求出定线段的长度，再表示出动点（其坐标需用一个字母表示）到
7、定直线的距离，再运用三角形的 面积公式建立方程，解此方程，即可求出动点的横坐标，再利用抛物线的解析式，可求出动点纵坐标，从 而抛物线上的动点坐标就求出来了。 （3）几条线段的齐次幂的商为常数的问题： 用 K 点法设出直线方程，求出与抛物线（或其它直线）的交点坐标，再运用两点间的距离公式和根与 系数的关系，把问题中的所有线段表示出来，并化解即可。 6.“6.“在定直线（常为抛物线的对称轴，或在定直线（常为抛物线的对称轴，或 x x 轴或轴或 y y 轴或其它的定直线）上是否存在一点，使之到两定轴或其它的定直线）上是否存在一点，使之到两定 点的距离之和最小点的距离之和最小”的问题：的问题： 先求出
8、两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标，再把该对称点和另一个定点连结得到一 条线段，该线段的长度应用两点间的距离公式计算即为符合题中要求的最小距离，而该线段与定直线 的交点就是符合距离之和最小的点，其坐标很易求出（利用求交点坐标的方法） 。 7.三角形周长的三角形周长的“最值最值( (最大值或最小值最大值或最小值)”)”问题：问题： 1 “在定直线上是否存在一点，使之和两个定点构成的三角形周长最小”的问题（简称“一边固定 两边动的问题）： 由于有两个定点，所以该三角形有一定边（其长度可利用两点间距离公式计算） ，只需另两边的 和最小即可。 2 “在抛物线上是否存在一点，使之到定直线的垂
9、线，与 y 轴的平行线和定直线，这三线构成的动 直角三角形的周长最大”的问题（简称“三边均动的问题）： 在图中寻找一个和动直角三角形相似的定直角三角形，在动点坐标一母示后，运用，把动三角形的周长转化为一个开口向下的抛物线来破解。=CCVVVV动动定定斜边 斜边8.8.三角形面积的最大值问题：三角形面积的最大值问题： 1 “抛物线上是否存在一点，使之和一条定线段构成的三角形面积最大”的问题（简称“一边固定 两边动的问题” ）： (方法 1)先利用两点间的距离公式求出定线段的长度；然后再利用上面的方法，求出抛物线上的动点到该定直线的最大距离。最后利用三角形的面积公式 底高。即可求出该三角形面积的最
10、大1 2 值，同时在求解过程中，切点即为符合题意要求的点。 （方法 2）过动点向 y 轴作平行线找到与定线段（或所在直线）的交点，从而把动三角形分割成 两个基本模型的三角形，动点坐标一母示后，进一步可得到第 3 页 共 26 页，转化为一个开口向下的二次函数问题来求出最大1(-)-x2Syy动三角形上（动）下（动）右（定）左（定）（x）值。2 “三边均动的动三角形面积最大”的问题（简称“三边均动”的问题）： 先把动三角形分割成两个基本模型的三角形（有一边在 x 轴或 y 轴上的三角形，或者有一边平行于 x 轴或 y 轴的三角形，称为基本模型的三角形）面积之差，设出动点在 x 轴或 y 轴上的点
11、的坐标，而此类题 型，题中一定含有一组平行线，从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似（常为图中最 大的那一个三角形） 。利用相似三角形的性质（对应边的比等于对应高的比）可表示出分割后的一个三角 形的高。从而可以表示出动三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式，相应问题也就轻松解决了。 9.“9.“一抛物线上是否存在一点，使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题一抛物线上是否存在一点，使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”： 由于该四边形有三个定点，从而可把动四边形分割成一个动三角形与一个定三角形（连结两个定点， 即可得到一个定三角形）的面积之和，所以只需动三角形的面
12、积最大，就会使动四边形的面积最大，而动 三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与 7 相同。 1010、 “定四边形面积的求解定四边形面积的求解”问题：问题： 有两种常见解决的方案： 方案（一）：连接一条对角线，分成两个三角形面积之和； 方案（二）：过不在 x 轴或 y 轴上的四边形的一个顶点，向 x 轴（或 y 轴）作垂线，或者把该点与原 点连结起来，分割成一个梯形（常为直角梯形）和一些三角形的面积之和（或差） ，或几个基本模型的三 角形面积的和（差） 11.“11.“两个三角形相似两个三角形相似”的问题：的问题： 两个定三角形是否相似： （1）已知有一个角相等的情形：运用两点间的距离
13、公式求出已知角的两条夹边，看看是否成比例？ 若成比例，则相似;否则不相似。 （2）不知道是否有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出两个三角形各边的长，看看是否 成比例？若成比例，则相似;否则不相似。 一个定三角形和动三角形相似： （1）已知有一个角相等的情形： 先借助于相应的函数关系式，把动点坐标表示出来（一母示） ，然后把两个目标三角形（题中要相似 的那两个三角形）中相等的那个已知角作为夹角，分别计算或表示出夹角的两边，让形成相等的夹角的那 两边对应成比例（要注意是否有两种情况） ，列出方程，解此方程即可求出动点的横坐标，进而求出纵坐 标，注意去掉不合题意的点。（2）不知道是否有一个角
14、相等的情形： 这种情形在相似性中属于高端问题，破解方法是，在定三角形中，由各个顶点坐标求出定三角形三边 的长度，用观察法得出某一个角可能是特殊角，再为该角寻找一个直角三角形，用三角函数的方法得出特 殊角的度数，在动点坐标“一母示”后，分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等， 借助于特殊角，为动点寻找一个直角三角形，求出动点坐标，从而转化为已知有一个角相等的两个定三角 形是否相似的问题了，只需再验证已知角的两边是否成比例？若成比例，则所求动点坐标符合题意，否则 这样的点不存在。简称“找特角，求（动）点标，再验证” 。或称为“一找角，二求标，三验证” 。 2.、 “某函数图象上是否
15、存在一点，使之与另两个定点构成等腰三角形某函数图象上是否存在一点，使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题：的问题： 首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点。 （若某边底，则只有一种情况；若某边为腰， 有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形，则有三种情况） 。先借助于动点所在图象的解析式，表示出 动点的坐标（一母示） ，按分类的情况，分别利用相应类别下两腰相等，使用两点间的距离公式，建立方 程。解出此方程，即可求出动点的横坐标，再借助动点所在图象的函数关系式，可求出动点纵坐标，注意 去掉不合题意的点（就是不能构成三角形这个题意） 。 3、 “某图象上是否存在一点，使之与另外三个点构成平行
16、四边形某图象上是否存在一点，使之与另外三个点构成平行四边形”问题：问题：第 4 页 共 26 页这类问题，在题中的四个点中，至少有两个定点，用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐 标（若有两个动点，显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标） ，任选一个已知点作 为对角线的起点，列出所有可能的对角线（显然最多有 3 条） ，此时与之对应的另一条对角线也就确定了， 然后运用中点坐标公式，求出每一种情况两条对角线的中点坐标，由平行四边形的判定定理可知，两中点 重合，其坐标对应相等，列出两个方程，求解即可。 进一步有： 1 若是否存在这样的动点构成矩形呢？先让动点构成平行四边形，再验证两条对角线相等否？若相 等，则所求动点能构成矩形，否则这样的动点不存在。 2 若是否存在这样的动点构成棱形呢？先让动点构成平行四边形，再验证任意一组邻边相等否？若 相等，则所求动点能构成棱形，否则这样的动点不存在。 3 若是
