《二阶变系数微分方程的●常数变易法●平移法●级数法+题型和题法系统讲座》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二阶变系数微分方程的●常数变易法●平移法●级数法+题型和题法系统讲座（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、二阶变系数微分方程的常数变易法平移法级数法 题型和题法系统讲座一、二阶变系数微分方程常数变易法题型一 已知的通解， 0yxp x yq x y 1122Y xc yc y求的通解 yxp x yq x yf xy解答方法：令的特解为后，得 yxp x yq x yf x * 1122yvx yvx y 21 112212 12121212y f xy f xyc yc yydxydxyyyyyyyy【例 1】已知的通解为，求的通解。20x yxyy 12lnY xc xc xx2x yxyyxy解：2 2111x yxyyxyyyxxx令 代入，求得 12lnY xvx xvx xx2111y
2、yyxxx 12122 12ln11lnlnlnlnln11 ln11 ln1lnln2yc xc xxY xxxxxxc xc xxxdxxxdxxxxxxxxxc xc xxxx 题型二 已知的一个特解， 0yxp x yq x y1y求的通解 yxp x yq x yf xy解答方法：令代入可求得通解。 1yu x y yxp x yq x yf xy【例 2】参见同济 5 版下册 P300 例 4 或同济 6 版上册 P330 例 4。【例 3】已知是的一个特解，求的通解。1yx 2220x yxxyy 23222x yxxyyxy解： 1; 2yu x yu x xyxuuyuxu2
3、 1322*3 120; uuxcxcyuxxcxc xyxyx 题型三 已知的一个特解， 0yxp x yq x y1y求的另一个特解及通解。 0yxp x yq x y2y Y x解答方法 1：令代入可求得通解，再代入 。 1yu x y 0yxp x yq x y u x 1yu x y解答方法 2（普适降阶法）：令代入可求得 21yyz x dx 0yxp x yq x y 212 111212 111p x x dxyyedxyY xc yc yedxy【例 4】已知是方程的一个特解，求此方程的另一个特解1xye 212120xyxxyy和通解。2y Y x解：令代入 ;2xxxyu
4、 x eyeuuyeuuu 212120xyxxyy ; 12322123021230212122121upupxxxxxxxuxuxpxppcxeucxe dxcxeecyuec ecxyx 二、二阶变系数微分方程的平移法【例 5】 Riccati 方程 （1）2( )( )( )ya xb x yc x y只有在已知其中一个特解时，才有解*( )yx2( )( )( )ya xb x yc x y令代入方程（1）得*yyz*22 ( )( )( )xzC x yb x zC x z这是一个伯努利方程，再令1wz *( )( )2( )( )2( )( )2 ( )( )( )( )( )(
5、 )( )xp x x dxC x yb x dxC x yb x dxwC x yb x wC xyp x yQ xy xQ x edxc ewc x edxa e 【例 6】222xxxyeee yy解：观察是原方程的一个特解，*xye令2 211xdzdzyezzdxcxzdxzzCx 1xyeCx类似的题有（1） 22*112 (: , )xxxxx xeyee yyansweryeyeec （2） 2221x yxyx y *111(: , )lnansweryyxxcx x 希望同学们自己联系完成结论。【例 7】的解法。23xxyyeye解：无法观察其特解，上述方法不能用首先令代入
6、原方程1xyye2 1110xyyey再令xte 1112 111 22 211 2dydydydttdxdtdxdt d ydydyddtdtttdxdtdtdxdtdtd ydyttdtdt 2 222111 111122 1 1112211212000cossincossincossinxxxxxxd ydydyyyeytttt ydtdtdt d yyyctctdt yceceyecece三、二阶变系数微分方程级数法（重点） 【例 8】， 240, 00, 01yxyyyy解：令 2 012 0n n ny xa xaa xa xL 111 2 102022 000212121240212402 1nnnn nnnn nnnnnnn nnnnnn nnnnnyxna xna xyxn na xnnaxnnaxna xa xnnanaaaan 2022131537595212 2121 21 00000000011211 1 21 3 12 21 11 5 13 23! 21 1 11 7 14 3 24! 1 !1 !kkkkkx k kkkyaaayaaaaaaaaaakxy xaxxxxekk L
