几何之立体图形

《几何之立体图形》由会员分享，可在线阅读，更多相关《几何之立体图形（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、 第三讲第三讲 几何之立体图形几何之立体图形教学目标教学目标 立体图形，主要考点集中在不规则形体的表面积与体积计算。其中有自成一类的立体图形，主要考点集中在不规则形体的表面积与体积计算。其中有自成一类的“染色问题染色问题” ，也是经，也是经 常见到的常见到的“几何奥数题几何奥数题” 。 小学阶段，我们除了学习平面图形外，还认识了一些简单的立体图形，如长方体、正方体（立方体）小学阶段，我们除了学习平面图形外，还认识了一些简单的立体图形，如长方体、正方体（立方体） 、直圆柱体，直圆锥体、球体等，并且知道了它们的体积、表面积的计算公式，归纳如下。、直圆柱体，直圆锥体、球体等，并且知道了它们的体积、表

2、面积的计算公式，归纳如下。 正方体：我们也可以称其为立方体，它是一种特殊的长方体，它的六个面正方体：我们也可以称其为立方体，它是一种特殊的长方体，它的六个面 都是正方形如果它的棱长为都是正方形如果它的棱长为，那么可得：，那么可得：a正方体的表面积：正方体的表面积：26Sa正方形正方体的体积：正方体的体积：3Va正方形 长方体：若长方体的长、宽、高分别为长方体：若长方体的长、宽、高分别为，那么可得：，那么可得：, ,a b c长方体的表面积：长方体的表面积：2Sabbcac长方形（）长方体的体积：长方体的体积：Vabc长方形 圆柱体：如右图，圆柱体的底面是圆，其半径为圆柱体：如右图，圆柱体的底面

3、是圆，其半径为；圆柱体的侧面展开图是一；圆柱体的侧面展开图是一r 个长方形，长方形的宽相当于圆柱体的高，长相当于圆柱体的底面周长；个长方形，长方形的宽相当于圆柱体的高，长相当于圆柱体的底面周长；圆柱体的表面积：圆柱体的表面积：2222Srhr圆柱侧面积个底面积圆柱体的体积：圆柱体的体积：2Vr h圆柱 圆锥体：如右图，圆锥体的底面是圆，其半径为圆锥体：如右图，圆锥体的底面是圆，其半径为；圆锥体的侧面展开图是；圆锥体的侧面展开图是r 一个扇形；一个扇形； 圆锥体的体积：圆锥体的体积：21 3Vr h圆锥体 球体：球体：34 3Vr球体在数学竞赛中，有许多几何趣题，解答这些趣题的关键在于精巧的构思

4、和恰当的设在数学竞赛中，有许多几何趣题，解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设 计，把形象思维和抽象思维结合起来。计，把形象思维和抽象思维结合起来。教教师师版答案提示：版答案提示：如下图，将长方体容器如图那样倾斜，使一端的水面刚好到容器口的棱如下图，将长方体容器如图那样倾斜，使一端的水面刚好到容器口的棱 A 处，水平面处，水平面想想 挑挑 战战 吗吗 ？（06 年武汉明心数学挑战赛）年武汉明心数学挑战赛） 如右图，两个人正在为一个开口为正方形的长方体容器中是否如右图，两个人正在为一个开口为正方形的长方体容器中是否 正好装了一半水而争吵请你设计一种方案，不用其他任何工具与正好装了一半水而争吵

5、请你设计一种方案，不用其他任何工具与 设备，并且不能把水倒出来而判断出容器中的水是否正好装了一半设备，并且不能把水倒出来而判断出容器中的水是否正好装了一半r的另一端刚好在棱的另一端刚好在棱 B 处时，容器内正好装了一半水如果不符合上述情况则容器内装处时，容器内正好装了一半水如果不符合上述情况则容器内装 的水就不是一半如图的水就不是一半如图是容器里的水正好装一半，图是容器里的水正好装一半，图和图和图则不是，图则不是，图大于一大于一 半，图半，图小于一半小于一半立体图形的表面积立体图形的表面积 边长为边长为 1 厘米的正方体，如图这样层层重叠放置，那么当重叠到第厘米的正方体，如图这样层层重叠放置，

6、那么当重叠到第 5 层时，这个立体图形的表面积是多层时，这个立体图形的表面积是多 少平方厘米？少平方厘米？ 分析：图形所含块数的规律：第分析：图形所含块数的规律：第 1 层层 1 块，第块，第 2 层层 3 块，第块，第 3 层层 6 块，第块，第 4 层层 10 块，第块，第 5 层层 15 块，依块，依 次增加次增加 2、3、4、55，当重叠到第，当重叠到第 5 层时，该立体图形的上下、左右、前后方向的表面面积都是层时，该立体图形的上下、左右、前后方向的表面面积都是 15 平平 方厘米，该图形的总表面积为方厘米，该图形的总表面积为 90 立方厘米。立方厘米。 【例例 1】1】有两个圆柱体的

7、零件，高有两个圆柱体的零件，高 l0 厘米，底面直径是厘米，底面直径是 6 厘米，零件的一端有厘米，零件的一端有 有一个圆柱体的零件，高有一个圆柱体的零件，高 l0 厘米，底面直径是厘米，底面直径是 6 厘米，零件的一端有厘米，零件的一端有 一个圆柱形直孔，如图，圆孔直径是一个圆柱形直孔，如图，圆孔直径是 4 厘米，孔深厘米，孔深 5 厘米，如果将这个厘米，如果将这个零件接触空气部分涂上防锈漆，一共要涂多少平方厘米零件接触空气部分涂上防锈漆，一共要涂多少平方厘米?()3.14：观察可知涂漆部分包括圆柱体的外表面，以及圆孔的内表面观察可知涂漆部分包括圆柱体的外表面，以及圆孔的内表面零件的上、下底

8、面：零件的上、下底面：，零件的外侧面：，零件的外侧面：232546 10180 零件的内侧面：零件的内侧面：，零件涂防锈漆部分为：，零件涂防锈漆部分为：。4 560 54 18060294【右图是一顶帽子。帽顶部分是圆柱形，用黑布做；帽沿部分是一个圆环，右图是一顶帽子。帽顶部分是圆柱形，用黑布做；帽沿部分是一个圆环， 用白布做。如果帽顶的半径、高与帽沿的宽都是用白布做。如果帽顶的半径、高与帽沿的宽都是厘米，那么哪种颜厘米，那么哪种颜a 色的布用得多？色的布用得多？分析：分析：一样多。黑布：一样多。黑布：，白布：，白布：。2223aaaa 222(2 )3aaa【例例 2】2】用铁皮做一个如图所

9、示的工件用铁皮做一个如图所示的工件( (两端不封闭两端不封闭) )，需要铁皮，需要铁皮多少平方厘米多少平方厘米? ? （）3分析：工件既不是圆柱也不是圆锥，不是我们常见的规则分析：工件既不是圆柱也不是圆锥，不是我们常见的规则 几何图形，因此要考虑如何将此几何体转化为熟悉的常见几何图形，因此要考虑如何将此几何体转化为熟悉的常见 几何体如下图，再取一个同样的工件，两个工件拼在一几何体如下图，再取一个同样的工件，两个工件拼在一 起，可以拼成一个规则的圆柱体，则一个工件的侧面积是起，可以拼成一个规则的圆柱体，则一个工件的侧面积是此圆柱侧面积的一半圆柱的高为：此圆柱侧面积的一半圆柱的高为：，圆柱的侧面积

10、为：，圆柱的侧面积为：，一个工件，一个工件465410015 1004500 需铁皮：需铁皮：( (平方厘米平方厘米) )在解决不规则立体图形的问题时，关键是先将其转化为规则的在解决不规则立体图形的问题时，关键是先将其转化为规则的450022250 立体图形，然后才能利用已经掌握的公式、性质进行解题其实这个思想我们在春季班就已经接触到了。立体图形，然后才能利用已经掌握的公式、性质进行解题其实这个思想我们在春季班就已经接触到了。【（五年级春季所学相关题目）（五年级春季所学相关题目） （0707 年希望杯培训试题）一个底面为正方形的年希望杯培训试题）一个底面为正方形的 长方体木块被锯掉一部分，变成

11、如右图所示的六面体长方体木块被锯掉一部分，变成如右图所示的六面体 ABCD-EFGHABCD-EFGH，其中最，其中最 长的边长的边 DH=8DH=8 厘米，最短的边厘米，最短的边 AB=BC=CD=DA=BF=4AB=BC=CD=DA=BF=4 厘米，那么这个六面体的厘米，那么这个六面体的 体积是多少体积是多少 立方厘米？立方厘米？分析：分析：4242这个六面体的体积是长这个六面体的体积是长 4 4 厘米，宽厘米，宽 4 4 厘米，高厘米，高 1212 厘米的长方体体积的一半，即厘米的长方体体积的一半，即 44122=96(44122=96(立方厘米立方厘米).).【拓展拓展】（05 年华罗

12、庚金杯）如图年华罗庚金杯）如图 1 是一个直三棱柱的表面展开图，其中，灰色和是一个直三棱柱的表面展开图，其中，灰色和 黑色的部分都是边长等于黑色的部分都是边长等于 1 的正方形问：这个直三棱柱的体积是多的正方形问：这个直三棱柱的体积是多 少少? 分析：如图分析：如图 2，这个直三棱柱是棱长为，这个直三棱柱是棱长为 1 的正方体沿一条对角线切的正方体沿一条对角线切 割得到的直三棱柱体正方体的体积是割得到的直三棱柱体正方体的体积是 1，这个直三棱柱的体积是，这个直三棱柱的体积是正方体体积的一半，体积是正方体体积的一半，体积是1 2【例例 3】3】（迎春杯数学邀请赛）一个正方体的表面积为（迎春杯数学

13、邀请赛）一个正方体的表面积为 54 平方厘米，如果一刀把它切成两个长方体，平方厘米，如果一刀把它切成两个长方体， 那么，这两个长方体表面积的和是多少平方厘米？那么，这两个长方体表面积的和是多少平方厘米？分析：已知正方形的表面积为分析：已知正方形的表面积为 54 平方厘米，那么这个正方形每一个侧面的面积为平方厘米，那么这个正方形每一个侧面的面积为 546=9(平方厘米平方厘米) 一刀切成两个长方体后，这两个长方体的表面积之和比原来正方形表面积增加了一刀切成两个长方体后，这两个长方体的表面积之和比原来正方形表面积增加了 92=18(平方厘米平方厘米) 因此，所求的两个长方体的表面积之和为：因此，所

14、求的两个长方体的表面积之和为：54+18=72(平方厘米平方厘米)【前铺前铺】如右图，正方形如右图，正方形 ABCD 的边长是的边长是 6 厘米，过正方形内的任意两点画厘米，过正方形内的任意两点画 直线，可把正方形分成直线，可把正方形分成 9 个小长方形。这个小长方形。这 9 个小长方形的周长之和个小长方形的周长之和 是多少厘米？是多少厘米？分析：从总体考虑，在求这分析：从总体考虑，在求这 9 9 个小长方形的周长之和时，个小长方形的周长之和时，ABAB、BCBC、CDCD、ADAD 这四这四 条边被用了条边被用了 1 1 次，其余四条线被用了次，其余四条线被用了 2 2 次，所以次，所以 9

15、 个小长方形的周长之和是：个小长方形的周长之和是： 46+426=7246+426=72（厘米）（厘米）. .【前铺前铺】（五年级春季所学相关思路的题目）一个正方体形状的木块，棱长为（五年级春季所学相关思路的题目）一个正方体形状的木块，棱长为 1 米，沿着水平方向米，沿着水平方向 将它锯成将它锯成 3 片，每片又按任意尺寸锯成片，每片又按任意尺寸锯成 4 条，每条又按任意尺寸锯成条，每条又按任意尺寸锯成 5 小块，共得到大大小块，共得到大大 小小的长方体小小的长方体 60 块块.问这问这 60 块长方体表面积的和是多少平方米？块长方体表面积的和是多少平方米？分析分析 原来的正方体有六个外表面，每个面的面积是原来的正方体有六个外表面，每个面的面积是 111（平方米）（平方米） ，无论后来锯成多少块，这六个，无论后来锯成多少块，这六个 外表面的外表面的 6 平方米总是被计入后来的小木块的表面积的平方米总是被计入后来的小木块的表面积的.再考虑每锯一刀，就会得到两个再考虑每锯一刀，就会得到两个 1 平方米的表面，平方米的表面， 现在一共锯了：现在一共锯了：2+3+49（刀）（刀） ，一共得到，一共得到 18 平方米的表面平方米的表面.因此，总的表面积为：因此，总的表面积为：6（2+34）224（平方米