《高一数学三角函数的最值问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高一数学三角函数的最值问题（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、梦幻网络( http:/ ) 数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范文，计划总结梦幻网络( http:/ )-最大的免费教育资源网站三角函数的最值问题三角函数的最值问题三角函数的最值问题是本学期高一的一个重要的专题，本文可作为课外辅导 材料，也可作为三角函数的一个专题复习内容。三角函数的最值问题的训练可提 高学生灵活运用三角公式、三角函数图象性质的能力。求三角函数的最值要注意 其特殊性（正、余弦的有界性） ，同时也要注意运用求一般函数最值的通法（如运 用函数的单调性，配方法等） 。求三角函数的最值往往先通过适当的三角变换或代 数换元化归为基本类型的三角函数或代数函数。常见的三角函数最值
2、的基本类型 有：（1）y=asinx+b（或 y=acosx+b）型，利用，即可求解，此1cos1sinxx或时必须注意字母 a 的符号对最值的影响。（2）y=asinx+bcosx 型，引入辅助角 ，化为 y=sin（x+）,利用函22ba 数即可求解。Y=asin x+bsinxcosx+mcos x+n 型亦可以化为此类。1sinx22（3）y=asin x+bsinx+c（或 y=acos x+bcosx+c） ，型，可令 t=sinx（t=cosx）,-221t1,化归为闭区间上二次函数的最值问题。（4）Y=（或 y=）型，解出 sinx（或 cosx）,利用dxcbxa sinsi
3、n dxbxa coscos去解；或用分离常数的方法去解决。1cos1sinxx或（5）y=（y=）型，可化归为 sin（x+）g（y）去处理；dxcbxa cossin dxcbxa sincos或用万能公式换元后用判别式去处理；当 a=c 时，还可利用数形结合的方法去处 理上。 （6）对于含有 sinxcosx,sinxcosx 的函数的最值问题，常用的方法是令sinxcosx=t,将 sinxcosx 转化为 t 的函数关系式，从而化为二次函数的最2t值问题。例 1：已知,f（）=sin(cos)的最大值为 a,最小值为 b，g()=cos(sin)的, 0最大值为 c,最小值为 d,则
4、 a,b,c,d 的大小顺序为 。0cos1,1,sin cossin1,sin12 2 sin1,sin1,0sin0,10,cos sincos1,12 1,cos1sin1abcdabdac 分析：，例 2：函数 f(x)=cos x+sinx 在区间上的最小值是什么？2,4 4 22 2minsinsin1,2,4 4215124212 22f xxxxf xttttf x Q分析：化为2,设t =si nx-2时，例 3 求函数 f()=的最大值与最小值是什么？2cos1 Sin 2sincos1 21sin1 2tanyyyyy si n -1分析：法一：设y=f=, 去分母整理化
5、为cos -2梦幻网络( http:/ ) 数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范文，计划总结梦幻网络( http:/ )-最大的免费教育资源网站21 24sin1031yy y 22A 2,1B cos ,sinB cos ,sin1fxy si n -1法二：可看作经过两点、cos -2 的直线的斜率，点在单位圆：上运动，yL2xL1A由图可知当直线 AB 处于 L1 的位置时，斜率取最小值 0，当直线处于 L2 的位置时，斜率取最大值。所以4 3 403f例 4、函数 f(x)=的最大值是，最小值是2sin1sin3 xx maxmin3 sin277234,sin2sin23
6、3sin11 2sin1,1sin23 22,4433xf xxx xyyf xxxyyy 分析：与上例不同。法一：分离常数法：法二：设即f x 的最大值是，最小值是例 5、求 y=的最值？xxxx cossin1cossin 2maxminsincos,2sin2,214112121sin cos,2222xxttxtttxxyyy 分析：设则但例 6、已知 f(x)=2cos x+sin2x+a,若 x2,求 a 的取值范围。23)(,2, 0xf且 22cos3sin21 cos23sin22sin 21670,212sin 222666622222sin 21261 2sin 216
7、232sin 26f xxxaxxaxaxxxf xf xxaaxa aax Q分析：又2, 1a 即注：本题综合运用三角恒等变形，三角函数的单调性，不等式的性质，函数的恒 成立等知识，是一个较好的三角函数综合题。 例 7、在ABC 中，求 cosAcosBcosC 的最大值。 本题是一个经典习题，有多种解法。下面解法中把角 C 当作主元化为二次形式，再进行配方，又利用，此法具有一般性。cos0,1AB梦幻网络( http:/ ) 数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范文，计划总结梦幻网络( http:/ )-最大的免费教育资源网站2221coscoscoscoscoscos2 11c
8、oscoscos22coscos1cos228cosABC3 1 8ABCABABCCABCABABCAB 分析：1由此可知当cosC =，即时，2原式到得最大值。附：巩固性练习： 1、函数 y=2sinx(sinx+cosx)的最大值是（）A 1 B 1 C D 22222、函数 y=sinx+cosx+sinxcosx 的最大值是（）A 3 B C 2512 21 2 2 22D3、已知函数 y=asinx+bcosx, 当 f()=,且 f(x)的最大值为 10 时，求 a,b 的值。424、设 x+y=120,则 y=cos x+cos y 的最大值为多少？ 225、在直角三角形中两锐
9、角为 A 和 B，则 sinAsinB 。(93(6)3 分)A.有最大值和最小值 0，B.有最大值，但无最小值21 21C.既无最大值也无最小值D.有最大值 1，但无最小值6、 函数 f(x)Msin(x)(0)在区间a，b上是增函数，且 f(a) M，f(b)M，则函数 g(x)Mcos(x)区间a，b上 。(99(4) 4 分)A.是增函数B.是减函数 C.可以取得最大值 M D.可以取得最小值 M7、 函数 y的最大值是 。(2000 安徽(10)4 分)xxcossin21 A.1B.1C.1D.122 22 22 228、 函数 ysinxcosxsinxcosx 的最大值是_.(
10、90(19)3 分) 9、 函数 ysin2xsinxcosxcos2x 的最大值是_(92 上海) 10、求函数 ysin2x2sinxcosx3cos2x 的最小值，并写出使函数 y 取得最 小值的 x 的集合. (91(21)8 分)12、 （2005 全国卷全国卷）当时，函数的最小20 xxxxxf2sinsin82cos1)(2值为 （）（A）2（B）（C）432（D）3413、(2005 浙江卷浙江卷)已知 k4，则函数 ycos2xk(cosx1)的最小值是( )(A) 1 (B) 1 (C) 2k1 (D) 2k114.（2005 湖北卷）湖北卷）函数的最小正周期与最大值的和为
11、 1cos|sin|xxy15、 （2005 重庆卷）重庆卷）若函数的最大值为)2cos(2sin )2sin(42cos1)(xxa xxxf 2，试确定常数 a 的值. 16、 （2005 重庆卷）重庆卷）若函数的最大值为，试确定)4sin(sin )2sin(22cos1)(2 xax xxxf32 常数 a 的值.梦幻网络( http:/ ) 数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范文，计划总结梦幻网络( http:/ )-最大的免费教育资源网站答案：1、A，2、C，3、a = -6 , b=8 或 a=8,b=-6，4、235、B，6、C，7、B，12、D，13、A，14、21215、.15,. 444111sin),sin(441sin2cos212cos2sincos4cos2)(:2222aaaxaxaxxxaxxxf解之得由已知有满足其中角解16、 解：)4sin(sin )2sin(21cos21)(22 xax xxxf)4sin(cossin)4sin(sincos2cos2222xaxxxaxxx)4sin()2()4sin()4sin(222xaxax因为的最大值为的最大值为 1，则)(xf)4sin(, 32x, 3222 a所以, 3a
