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1、1浅析无理型函数值域的几种常规求法浅析无理型函数值域的几种常规求法 一、观察法：观察法：通过对函数定义域及其解析式的分析，从而确定函数值域。例 1求函数 y3值域。42x解：2，函数值域为5，+。42x)二、单调性法：二、单调性法：如果函数在某个区间上具有单调性，那么在该区间两端点函数取得最 值。例2求函数 yx的值域。 x21解：函数的定义域为，函数 y=x 和函数 y在上均为单调21,(x2121,(递增函数，故 y，21212121因此，函数 yx的值域是(-，。x2121三、换元法：三、换元法：通过代数换元法或者三角函数换元法，把无理函数转化为代数函数来求函数值域的方法。 例 3求函数
2、 yx+的值域 。x21解：定义域为 x ，令 t (t0)，则 x21,(x21212t于是 y(t1)21，由 t0 知函数的值域为，。21本题是通过换元将问题转化为求二次函数值域，但是换元后要注意新元的范围。对于形如“”的函数, 此法适用于根号内外自变量的次数相同的ymxnaxb无理函数，一般令，将原函数转化为 t 的二次函数，当然也适用于“taxb”的函数。ymxnaxb22例 4. 求函数的值域。yxx23134解：令，则且，则tx134t 0xt1 4132()ytt 1 27 222 1 212()t。当，即时，当时，。故函数值域为4t 1x 3ymax 4t y 。(，4另外对
3、于根号下的是 2 次的，我们同样可以处理：例 5求函数 yx+的值域。21x解：1x20，1x1，设 xcos，0，则 ycos+sinsin（+） ，240， ，+， ，sin（+），1 ， 4 4 454 22sin（+）1， ，函数 yx+的值域为1， 。24221x2其次如果有两个根号的话，我们也可以处理：例 6. 求函数的值域。yxx836解：由，得。36080xx 28x令且，x 1022sin ,02则。y 10302 106cossinsin()由，得， 662 31 261sin()则，故函数的值域为。102 10y102 10，对于形如“”的函数, 此法适用于两根号内自变量
4、ym axbn cxd ac()0都是一次，且，此时函数的定义域为闭区间，如，则可作代换ac 0xx12，且，即可化为型的函数。xxxx()sin212 102，yAsin()3四、配方法四、配方法 ：通过平方或换元化为形如 y=ax2+bx+c(a0)的函数，借助配方法求函数的 值域，要注意 x 的取值范围。 例 7求函数 y的值域。xx1解：1x0，且 x0， 0x1，又 y0，y2x+1x+21+2xx 2xx 2令 tx2+x（x）212+，0x1，0t，0，y21，2 ，41 41t21函数 y的值域为1， 。xx12五、数形结合法：五、数形结合法：利用函数解析式的几何意义，把求函数
5、值域的问题转化为求直线的 斜率或距离的范围问题。 例 8求函数 f(x)的值域。522 xx222 xx解：f(x)522 xx222 xx222) 1(x221) 1(xf(x)表示动点 P(x，0)到点 A(1，2)与点 B(1，1)的距离之差，求 f(x)的值域就转化为求P(x，0)到点 A(1，2)与点 B(1，1)的距离之差的范围问题（如图） ，|PA|PB|AB|(当且仅当 P、A、B 共线时取等号)，|PA|PB|1，即 f(x)1，f(x)的值域是。522 xx222 xx 1 , 0(高中数学高中数学无理函数值域的常见求法无理函数值域的常见求法一、形如“”的函数ymxnaxb
6、例 1. 求函数的值域。yxx231344解：令，则且，则tx134t 0xt1 4132()ytt 1 27 22 1 212()t。当，即时，当时，。故函数值域为4t 1x 3ymax 4t y 。(，4说明：此法适用于根号内外自变量的次数相同的无理函数，一般令，将原taxb函数转化为 t 的二次函数，当然也适用于“”的函数。ymxnaxb22二、形如“”的函数ymxnaxbxc abac，22040()例 2. 求函数的值域。yxxx210232解：由。令且xxx2102305252，得x 25sin，则。 22，y 272247sincossin()由，得。 443 42 241sin
7、()当时，；sin()41ymax 9当时，。sin() 42 2ymin72故函数值域为。729，说明：这类函数根号内外自变量的次数不同，不适合第一类型的解法。又且a 0的函数定义域一定为闭区间，如，则可作三角代换为 0xx12，xxx21 2sin且，即可化为k 型函数。至于且xx21 2 22，yAsin()a 0及其他类型，可自己分析一下。 0三、形如“”的函数ym axbn cxd ac()05例 3. 求函数的值域。yxx836解：由，得。36080xx 28x令且，x 1022sin ,02则。y 10302 106cossinsin()由，得， 662 31 261sin()则，故函数的值域为。102 10y102 10，说明：此法适用于两根号内自变量都是一次，且，此时函数的定义域为闭区间，ac 0如，则可作代换，且，即可化为xx12，xxxx()sin212 102，型的函数。 yAsin()
