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1、物理解题中的递推公式物理解题中的递推公式商洛中学 杨玉良分析一些同类特殊事例,确切判断出它们所共有的因果联系和特征,作出一般结论。这种由特殊推出一般的推理方法叫归纳推理。物理学中许多普遍概念和规律都主要是用归纳推理得出的。归纳推理是解决物体与物体发生多次作用后的情况,即当问题中涉及相互联系的物体较多并且有规律时,应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类,然后求出通式。常用它来研究运动规律已知,在一定条件下连续进行的、具有共同规律而具体数量特征不同的多阶段运动问题。它具体方法是先分析某一次作用的情况,得出结论;再根据多次作用的重复性和它们的共同点,把结论推广,然后结合数学知识求解;或导出联系
2、相邻两次作用的递推关系式,再把结论推广,后结合数学知识求解。1、如图所示,质量为 m 的由绝缘材料制成的球与质量为 M=19m 的金属球并排悬挂。现将绝缘球拉至与竖直方向成 =60的位置自由释放,下摆后在最低点处与金属球发生弹性碰撞。在平衡位置附近存在垂直于纸面的磁场。已知由于磁场的阻尼作用,金属球将于再次碰撞前停在最低点处。求经过几次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于45。【分析】因绝缘球与金属球每次碰撞后,其速率将减小,从而使其偏离竖直方向的最大角度在减小。而每次两球碰撞后,绝缘球的速率是有规律性的变化,要求解本题题设条件下的碰撞次数,关键在于归纳出绝缘球在每次碰撞后的速率变化规律。
3、【解】方法方法 1根据多次作用的重复性和它们的共同点,把结论推广,然后结合数学知识求解。设小球 m 的摆线长度为 l,绝缘球第一次碰撞前的速度为 v0,碰撞后绝缘球与金属球的速度分别为 v1、V1,设速度向左为正,小球 m 在下落过程中与 M 相碰之前满足机械能守恒:, m 和 M 碰撞过程满足:mv0=MV1+mv1 , , 联立、得:,由于 v10 一侧的每个沙袋质量为 m=14 千克,x0,vn0 M-(n+1)m0,vn0即 M+3m-nm0 M+3m-(n+1)m0 n=8 时,车停止滑行,即在 x1) 。断开轻绳,棒和环 自由下落。假设棒足够长,与地面发生碰撞时,触地时间极短,无动
4、能损失。棒在整个运 动过程中始终保持竖直,空气阻力不计。求:(1)棒第一次与地面碰撞弹起上升过程中,环的加速度。(2)从断开轻绳到棒与地面第二次碰撞的瞬间,棒运动的路程。(3)从断开轻绳到棒和环都静止,摩擦力对环及棒做的总功。(1)设棒第一次上升过程中,环的加速度为 a环环受合力 F环=kmgmg由牛顿第二定律 F环=ma环由得 a环=(k-1)g,方向竖直向上(2)设以地面为零势能面,向上为正方向,棒第一次落地的速度大小为 v1由机械能守恒1 21222mvmgH解得 12vgH设棒弹起后的加速度 a棒由牛顿第二定律 a棒=(k+1)g棒第一次弹起的最大高度 2 1 12vHa 棒解得 11
5、HHk棒运动的路程 S=H+2H1=3 1kHk (3)解法一解法一棒第一次弹起经过 t1时间,与环达到相同速度 v1环的速度 v1=-v1+a环t1棒的速度 v1=v1+a棒t1环的位移 2 1 1111 2hvta t 环环棒的位移 2 1 1111111 2hvta txhh棒棒环棒解得 12Hxk 棒环一起下落至地22 2112vvgh棒解得 22gHvk同理,环第二次相对棒的位移222222nnxhhH kHxk L L环棒环相对棒的总位移X=x1+x2+xn+W=kmgx得2 1kmgHWk 解法二解法二设环相对棒滑动距离为 l根据能量守恒 mgH+mg(H+l)=kmgl摩擦力对棒及环做的总功W=-kmgl解得 2 1kmgHWk