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1、微积分初步微积分初步辅导辅导 9-积分的应用积分的应用积分的几何应用积分的几何应用定积分的元素法定积分的元素法再看曲边梯形的面积 设 yf (x)0 (xa b) 如果说积分badxxfA)(是以a b为底的曲边梯形的面积 则积分上限函数xadttfxA)()(就是以a x为底的曲边梯形的面积 而微分 dA(x)f (x)dx 表示点 x 处以 dx 为宽的小曲边梯形面积 的近似值Af (x)dxf (x)dx 称为曲边梯形的面积元素 以a b为底的曲边梯形的面积 A 就是以面积元素 f(x)dx 为被积表达式 以 a b为积分区间的定积分 badxxfA)(一般情况下 为求某一量 U 先将此
2、量分布在某一区间a b上 分布在a x上的量用函数 U(x) 表示 再求这一量的元素 dU(x) 设 dU(x)u(x)dx 然后以 u(x)dx 为被积表达式 以a b为积分区间 求定积分即得 badxxfU)(用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法) 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用一、平面图形的面积一、平面图形的面积直角坐标情形直角坐标情形设平面图形由上下两条曲线 yf上(x)与 yf下(x)及左右两条直线 xa 与 xb 所围成 则面积元素 为f上(x) f下(x)dx 于是平面图形的面积为 dxxfxfSba)()(下上类似地由左右两条曲线 x左(y)与 x右(y)及
3、上下两条直线 yd 与 yc 所围成设平面图形的面 积为 dcdyyyS)()(左右例 1 计算抛物线 y2x、yx2所围成的图形的面积解 (1)画图 (2)确定在 x 轴上的投影区间: 0 1(3)确定上下曲线 2)( ,)(xxfxxf下上(4)计算积分3131 32)(10323102xxdxxxS例 2 计算抛物线 y22x 与直线 yx4 所围成的图形的面积2解 (1)画图 (2)确定在 y 轴上的投影区间: 2 4(3)确定左右曲线 4)( ,21)(2yyyy右左(4)计算积分 422) 214(dyyyS18614214232yyy例 3 求椭圆所围成的图形的面积 12222b
4、y ax解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍 椭圆在第一象限部分在 x 轴上的投影区 间为0 a 因为面积元素为 ydx 所以aydxS04椭圆的参数方程为:xa cos t yb sin t 于是 aydxS0402)cos(sin4tatdb 022sin4tdtab2 0)2cos1 (2 dttababab22二、体二、体 积积旋转体的体积旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体 这直线叫做旋转轴 常见的旋转体 圆柱、圆锥、圆台、球体 旋转体都可以看作是由连续曲线 yf (x)、直线 xa 、ab 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转 一周
5、而成的立体 设过区间a b内点 x 且垂直于 x 轴的平面左侧的旋转体的体积为 V (x) 当平面左右平移 dx 后 体积的增量近似为Vf (x)2dx 于是体积元素为dV f (x)2dx 旋转体的体积为 dxxfVba2)(例 1 连接坐标原点 O 及点 P(h r)的直线、直线 xh 及 x 轴围成一个直角三角形 将它绕 x 轴 旋转构成一个底半径为 r、高为 h 的圆锥体 计算这圆锥体的体积 解: 直角三角形斜边的直线方程为 xhry 所求圆锥体的体积为 dxxhrVh2 0)(hxhr 03 22312 31hr例 2 计算由椭圆所成的图形绕 x 轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)的体
6、积 12222byax解: 这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆22xaaby及 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转而成的立体 体积元素为dV y 2dx 3于是所求旋转椭球体的体积为 aadxxaabV)(22 22a axxaab 3132 222 34ab例 3 计算由摆线 xa(tsin t) ya(1cos t)的一拱 直线 y0 所围成的图形分别绕 x 轴、y 轴旋 转而成的旋转体的体积 解 所给图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积为a xdxyV2022022)cos1 ()cos1 (dttata20323)coscos3cos31 (dtttta5 2a 3 所给图形绕 y 轴旋
7、转而成的旋转体的体积是两个旋转体体积的差 设曲线左半边为 x=x1(y)、右半边 为 x=x2(y) 则aa ydyyxdyyxV202 1202 2)()(022 222sin)sin(sin)sin(tdtattatdtatta6 3a 3 2023sin)sin(tdttta微分方程微分方程学习目标学习目标：理解微分方程的概念；掌握可分离变量微分方程和一阶线性微分方程的解法. 内容介绍内容介绍 在研究物理、几何以及其他许多实际问题时，常常需要寻求与问题有关的变量之间的函数关系， 这种函数关系有时可以直接建立，有时却只能根据一些基本科学原理，建立所求函数及其变化率之 间的关系式，然后再从中
8、解出所求函数，这种关系就是本章我们将要学习的微分方程.1676 年，伯 努利（Bernoulli）致牛顿（Newton）的信中第一次提出微分方程，直到 18 世纪中期，微分方程才 成为一门独立的学科.微分方程建立后，立即成为探索现实世界的重要工具，在这里我们主要讨论 微分方程的基本概念，并介绍可分离变量微分方程和一阶线性微分方程的解法.11 微分方程的基本概念微分方程的基本概念不定积分的方法告诉我们.一个函数的导数如果是已知的，就可能求出这个函数，现在进一步 的讨论，假如只知道函数的导数所满足的一个关系式，能否确定这个函数呢？这就是微分方程所要 研究和解决的问题. 首先我们来看两个例子：例例
9、1 1 曲线方程 已知曲线过点，且曲线上任一点处切线的斜率为，求此曲线方程.)2 , 1 (x2解解 设曲线方程为，由已知条件)(xyy xy2对上式两边积分，得 xxyd24cx 2又由已知条件：曲线过点，即，代入上式，得)2 , 1 (21xy即,122c1c故所求曲线方程为 12 xy例例 2 2 自由落体运动一质量为的质点，在重力作用下自由下落，求其运动方程.m 解解 建立坐标系如图 1 所示，坐标原点取在质点开始下落的点，轴铅直向下.设在时刻 质点yt的位置为，由于质点只受重力作用，且力的方向与轴正向相同，故有牛顿第二定律，得)(tymgy质点满足方程为mgtymma22dd即 gt
10、y22dd上市式两边再同时积分，得212 21ctcgty其中是两个相互独立的 1 任意常数.21,cc下面我们来引进微分方程的几个基本概念：在例 1 中，方程中含有未知函数的导数.一般地，含有未知函数的导数（或微分）的方xy2程称为微分方程微分方程.未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程.未知函数是多元函数的微分方 程，称为偏微分方程.本课程所讨论微分方程均为常微分方程. 微分方程中未知函数导数（或微分）的最高阶数称为微分方程的阶阶. .例如，例 1 中的 1 微分方程是一阶微分方程；例 2 中的微分方程是二阶微分方程.xy2gty22dd未知函数及其各阶导数（或微分）都是一次的微分方
11、程，称为线性微分方程线性微分方程。例如方程xexyysinxyxxyyxytanln3)6( 都是线性微分方程。 任何满足微分方程的函数都成称为微分方程的解解，求微分方程的解的过程，称为解微分方程解微分方程.例 1 中，是微分方程的解；例 2 中，是微分方程12 xyxy2212 21ctcgty的解.我们注意到，方程的解中带有任意常数.如果微分方程的解中含有任意常数，gty22dd, c21,cc且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解.例如例 1 中的)(tyoy图 15是微分方程的通解，例 2 中的是微分方程的通解.cxy2xy2212 21ctcgtygty22
12、dd在通解中，利用附加条件确定任意常数的取值，所得到的解称为微分方程的特解特解.这种附加条件称为初始条件初始条件. .例如，例 1 中的初始条件为，满足初始条件的特解为.21xy12 xy2 2 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程这里主要讨论一阶微分方程中一类很重要的微分方程，就是可分离变量的微分方程.形如 *)()(ddygxfxy的微分方程称为可分离变量的微分方程.其特点是方程的右端是只含的函数与只含的函数x)(xfy的乘积.)(yg可分离变量的微分方程可以用积分的方法求解. 将方程*式的形式化为xxfygyd)()(d再对两边分别积分，得xxfygyd)()(d设分别为的原函数，则
13、微分方程的通解为)(),(xFyG)(,)(1xfyg)()(ddygxfxy.cxFyG)()(例例 3 3 求微分方程xx yye1e的通解. 解解 将方程分离变量xyyxx de1ed 两边积分 xyyxx de1ed得通解 cyx)e1ln(ln即 cyxe16例例 4 4 求微分方程满足初始条件的特解xyycos21)0(y解解 分离变量得到xxyydcosd2xxyydcosd2得到通解 cxysin1由初始条件得 1c1sin1xyxysin11 33 一阶线性微分方程一阶线性微分方程形如*)()(xQyxPy的微分方程称为一阶线性微分方程.当，方程*称为一阶线性齐次微分方程；当
14、，0)(xQ0)(xQ方程*称为一阶线性非齐次微分方程. （一）一阶线性齐次微分方程的解法在方程*中，若，则0)(xQ0)(yxPy是可分离变量的微分方程，分离变量，得xxPyyd)(d两边积分，得cdxxPyln)(ln即 dxxPcey)(这是一阶线性齐次微分方程的通解. （二）一阶线性非齐次微分方程的解法一阶线性非齐次微分方程*的解可以用“常数变易法”求得.这种方法是将相应齐次方程的通7解中的任意常数换为的函数，即令cx)(xcxxPxcyd)(e )(两边求导，得 xxPxxPxPxcxcyd)(d)(e )()(e )(将的表达式代入方程*，得yy,xxPxQxcd)(e )()(两边积分，得cxxQxcxxPde )()(d)(将此式代入，便得到一阶线性非齐次微分方程
