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1、排列组合精选试题讲解【本讲教育信息】一. 教学内容：1.2.2 组合?二. 教学目的1. 掌握组合的概念及组合数的概念、公式及应用；2. 归纳排列与组合的综合题型，掌握这些题型的处理方法?三. 教学重点、难点掌握及区分排列与组合的概念，组合数的实际意义；排列、组合综合题?四. 知识分析? 1. 组合定义及其理解 （1）组合定义：一般地，从 n 个不同元素中任意取出 m（0mn）个元素，并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合（2）理解组合定义必须注意的几个问题：如果两个组合中的元素完全相同，不管它们的顺序如何，都是相同的组合当两个组合中的元素不完全相同，就是不同的组合排列与
2、组合问题共同点是“从 n 个不同元素中任意取出 m （mn）个元素”，不同点是前者要“按照一定的顺序排成一列”，而后者是“不管顺序并成一组”区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关若交换两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则，是组合问题也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关?2. 组合数及组合数公式从 n 个不同元素中，任意取出 m （mn）个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中，任意取出 m 个元素的组合数，用符号（C 是英文字母 Combination（组合）的第一个字母）表示一般地，从 n 个不同元素中，任取 m
3、个元素的排列，可以分两步完成：第一步选取元素从 n 个不同元素中，任取 m 个元素的组合，有种方法；第二步排位置选出的 m 个不同元素的全排列，有种方法根据分步乘法计数原理，得这个公式不仅揭示了组合数与排列数之间的关系，也表明解某些排列问题时，常常分选元素和排位置两个步骤完成由于计算公式和得出组合数计算公式为。 。 在组合数计算公式中，当时，由于，故。当时，组合数公式仍有意义，将代入组合数计算公式中，得。组合数公式的连乘积和阶乘形式，阶乘形式一般用于证明和计算组合数的性质常用于证明恒等式及含有组合数式子的简化计算 组合数有两个性质：（1）（2）?3. 排列数与组合数的计算方法解计算（或化简）题
4、时，主要依据排列数与组合数公式及其变形，在计算过程中要注意阶乘的运算、组合数性质的使用和提取公因式等方法含有排列数或组合数的方程都是在某个正整数范围内求解，利用这点可以根据题目的条件将方程及时化简证明时可利用排列数公式与组合数公式的阶乘表示形式和组合数性质，要注意阶乘的运算和技巧，如拆项? 4. 解排列、组合的应用题，要注意以下几点：仔细审题，看元素有无顺序，从而判断是组合问题还是排列间题；要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步；对于附有条件的比较复杂的排列组合应用题，要注意从不同的角度来分析问题，从元素还是位置入手，正难则反对于附有条件的比较复杂的排列组合应用题，要周密分析，合理分类，
5、不重不漏，先选后排还是边选边排必须思路清晰掌握重点题型的解题策略。?5. 解排列组合题的“16 字方针，12 个技巧”。（1）“十六字”方针是解排列组合题的基本规律，即分类相加、分步相乘、有序排列、无序组合（2）“十二”个技巧是速解排列组合题的捷径即相邻问题捆绑法；不相邻问题插空法；多排问题单排法；定序问题倍缩法；定位问题优先法；有序分配问题分步法；多元问题分类法；交叉问题集合法；至少（或至多）问题的间接法；选排问题先取后排法；局部与整体问题排除法；复杂问题转化法?6. 在解有限制条件的组合应用题时，要正确理解题目中出现的“至少”“至多”“全是”“有且仅有”“都不是”等词语的含义，使其等价转化
6、，才能正确地分类或用间接法求解有时还要辩证地看待“元素”和“位置”，其实，元素和位置是解题者视具体情况而定的，是人为的，有时用逆选的方法，用位置去选元素反而会更容易解决，方法二用的是“插板法”，要注意与“插空法”的区别，深刻理解“插板法”的思想，能快速、简捷地处理一部分题目?【典型例题】例 1. 为了参加学校的元旦文艺汇演，某班决定从爱好唱歌的 4 名男同学和 5 名女同学中选派 4 名参加小合唱节目，如果要求男女同学至少各选派 1 名，那么不同的选派方法有多少种？分析：本题主要考查组合数公式、分类讨论的思想方法以及逻辑推理能力、分析问题的能力可按选派的男同学的个数进行分类，或用间接法求解解法
7、一：按选派的男同学的人数分三类： 选派一名男同学，三名女同学，有种方法； 选派两名男同学，两名女同学，有种方法； 选派三名男同学，一名女同学，有种方法；由分类计数原理，共有不同的选派方法 406020120 种解法二：在这九名同学中任选四名，有种方法其中四人都是男同学的有种方法；四人都是女同学的有种方法，因此符合要求的选派方法有 12615120 种注意：易列出错式，即先男女各选 1 人，再从余下 7 人中选 2 人，造成重复 点评：有限制条件的组合应用题的限制条件主要表现在被选出的元素“含”或“不含”某些元素，或是“至少”“至多”等类型的组合问题，对于这类组合应用题解题的总体思路为：（1）用
8、直接法一般是从整体分类，然后再局部分步，对于较复杂的从若干个集合里选元素的问题，首先应以其中一个集合为基准进行分类（当然，为了使类别尽量少，这个集合里的元素较少为好），分类时要做到不重不漏，也就是各类的并集是全集，任意两类的交集为空集，在合理正确分类的前提下，在每一类中，依据题目中的要求进行分步，分步要做到步步连续，各步之间相互独立（2）用间接法当正面求解较为困难时，也可采用正难则反的思想用“间接法”求解，但要注意找准对立面本例的一个常见错误解法是：先从 4 名男同学中选出 1 名，有种选法从 5 名女同学中选出 1 名，有种选法，再在剩下的 7 名同学中选出 2 名，有种选法，由分步计数原理
9、得，共有420 种选派方法：这种看似不错的解法产生重复（因为分步计数是有顺序的），避免产生重复的最好方法就是分类，先分类后分步是解排列组合应用题时应遵循的原则之一。? 例 2. 在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品，从这 100 件产品中任意抽出 3 件（1）有多少种不同的抽法？ （2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？（3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？解析：（1）所求的不同抽法的种数，就是从 100 件产品中取出 3 件的组合数，所以共有（种）（2）从 2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有种，从 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽
10、法有种，因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有（种）。（3）解法 1：从 100 件产品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品，包括有 1 件次品和 2 件次品两种情况在第（2）小题中已求得其中 1 件是次品的抽法有种，因此根据分类加法计数原理，抽出的 3 件中至少有一件是次品的抽法有（种）。解法 2：抽出的 3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数，也就是从 100 件中抽出 3 件的抽法种数减去 3 件中都是合格品的抽法的种数，即（种） ? 例 3. 一位教练的足球队共有 17 名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛，按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是 11 人，问
11、： （1）这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案？ （2）如果在选出 11 名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事？分析：对于（1），根据题意，17 名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从17 个不同元素中选出 n 个元素的组合问题；对于（2），守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题解析：（1）由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案有12376 （种）。（2）教练员可以分两步完成这件事情：第 1 步，从 17 名学员中选出 11 人组成上场小组，共有12376 种选法；第 2 步，从选
12、出的 11 人中选出 1 名守门员，共有种选法所以教练员做这件事情的方法数有（种）?例 4. 从 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 这 10 个数中取出 3 个数，使其和为不小于 10 的偶数，不同的取法有多少种？ 分析：要和为偶数，三数必须全为偶数或一偶两奇，然后将和小于 10 的那些取法排除掉即得解析：从这 10 个数中取出 3 个不同的偶数取法有种；取出 1 个偶数和 2 个不同的奇数的取法有种从这 10 个偶数中取出 3 个数，使其和为小于 10 的偶数，有如下 9 种不同的取法：（0，1，3），（0，l，5），（0，2，4），（1，2，3），（0，l，7），（0，2，6），（0
13、，3，5），（1，2，5），（1，3，4）。因此符合条件的不同取法有种点评：对方法数比较少的计数问题，可采用逐一列举，列举时思路务必清晰，谨防少算?例 5. 有五张卡片，它们的正、反面分别写 0 与 1，2 与 3，4 与 5，6 与 7，8 与 9，将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？ 分析：在解本题时应考虑两方面的问题：（1）0 不能作百位，但 0 与 1 同在一张卡片上，因此着眼于限制条件，必须同时考虑 0 与1 的分类（2）每张卡片都有正面与反面两种可能解法上既可用直接法，也可用排除法解析：（法一）（直接法）：从 0 与 1 两个特殊值着眼，可分三类：（1）取 0 不取 1，可先从另四张卡片上选一张作百位，有种方法；0 可在后两位，有种方法；最后须从剩下的三张中任取一张，有种方法；又除含 0 的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有（个）。（2）取 1 不取 0，同上分析可得不同的三位数（个）（3）0 和 1 都不取，有不同的三位数（个）。综上所述，共有不同的三位数 96144192432 （个）。（法二）（间接法）：任取三张卡片可以组成不同三位数（个），其中 0 在百位的有排列组合精选试题讲解
