铅球掷远问题的数学模型

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1、第二期（2003 年 8 月） 韶关学院学生数学建模论文集 No.292 铅球掷远问题的数学模型铅球掷远问题的数学模型颜学友颜学友 ，黄兰香，黄兰香 ，黄旺林，黄旺林1121韶关学院 2001 级数学系数学与应用数学(1)班，广东韶关 512005； 2 韶关学院 2002 级计算机系本科(2)班，广东韶关 512005 摘要摘要：本文综合考虑铅球的受力情况，抓住出手角度、出手速度、出手高度与投掷距离的关系，从解析几何角度考虑铅球的运动方程，进而得出了反映铅球掷远距离与三者函数关系的模型为了得到更为合理的数学模型，我们进一步观察整个投掷过程，将整个过程分为滑步用力阶段和展臂脱手两个阶段再对两个

2、阶段分别进行合理的分析，进一步考虑推力、初速度、加速度、出手速度等因素之间的相互关系，对以上模型进行了改进，得到了更为合理的模型在以上模型的基础上固定出手高度，求出了最佳出手角度为，,其中另外，运用数值极差k24/, 0(Nk )/(arccos(2/12vghgh法和图象分析法，得出了速度的灵敏性高于出手角度关键词：关键词：出手速度；出手角度；出手高度；灵敏性1 问题的提出问题的提出铅球掷远比赛要求运动员在直径 2.135m 的圆内将重 7.257kg 的铅球投掷在的扇o45形区域内，如右图综合分析铅球的运动过程建 立分别符合以下要求的两个数学模型：1以出手速度、出手角度、出手高度 为参数，

3、建立铅球掷远的数学模型； 2考虑运动员推铅球时用力展臂的动作，改进以上模型3在此基础上，给定出手高度，对于 不同的出手速度，确定最佳出手角度 4比较掷远结果对出手速度和出手角度的灵敏性 2 模型的分析模型的分析 21 模型模型 21.1 模型的假设与符号约定模型的假设与符号约定 1 忽略空气阻力对铅球运动的影响 2 出手速度与出手角度是相互独立的 3 不考虑铅球脱手前的整个阶段的运动状态 21.2 符号约定符号约定 v 铅球的出手速度铅球的出手角度 h 铅球的出手高度 t 铅球的运动时间 L 铅球投掷的距离g 地球的重力加速度()2/8 . 9smg 21.3 问题的分析问题的分析问题 1 要

4、求我们以出手速度、出手角度、出手高度为参数，建立铅球掷远的数学模o452.135m第二期（2003 年 8 月） 韶关学院学生数学建模论文集 No.293 型我们只需求出掷远的距离关于三者的函数关系式这样，我们合理地简化其他影响因 素，从物理、数学上得出关系式即可 2.1.4 模型的建立与求解模型的建立与求解铅球出手后，由于是在一个竖直平面上运动我们，以铅球出手点的铅垂 方向为 y 轴，以 y 轴与地面的交点到铅球落地点方向为 x 轴构造平面直角坐标 系 这样，铅球脱手后的运动路径可用平面直角坐标系表示，如图(1)因为，铅球出手后，只受重力作用（假设中忽略空气阻力的影响） ，所以，在 x 轴上

5、的加速度，在 y 轴0xa上的加速度gay如此，从解析几何角度上，以时间 t 为参数，易求得铅球的运动方程：hgttvytvx2 21sincos对方程组消去参数 t，得(1)hxxvgy)(tancos22 22当铅球落地时，即是，代入方程(1)解出 x 的值0yvgghghv gvx2222sin22cossincossin2对以上式子化简后得到铅球的掷远模型(2)22222 cos22sin222sin gvhgv gvL 2.1.5 模型的检验模型的检验 以下是我国两名优秀女运动员一次投掷的成绩：运动员出手速度 v(m/s）出手高度 h(m)出手角度 o模型一中的 L(m)实测成绩 L

6、(m)A13.522.0038.6920.2220.30B13.772.0640.0021.2521.41从以上数据，我们可以看出由模型计算的结果与实际投掷距离是比较吻合的但也 有一定的误差，这是由于我们忽略了过多的因素，下面我们尽量考虑所涉及到的因素建立模型 2.2 模型模型 2.2.1 模型的假设模型的假设 1 忽略空气阻力对铅球运动的影响 2 手对铅球的推力是一个恒力xvhy图(1)第二期（2003 年 8 月） 韶关学院学生数学建模论文集 No.294 3 在铅球脱手前，铅球的运动方向与出手角度一致 4 铅球从静止到运动期间运动的路径是直线的 5 不考虑运动员的身体素质和心理素质对投掷

7、铅球的影响 6 铅球出手瞬间肩部恰在场地边界 2.2.2 符号约定符号约定 v 铅球的出手速度铅球的出手角度 h 铅球的出手高度g 地球的重力加速度()2/8 . 9smg F 手对铅球的推力 m 铅球的质量(m=7.257kg)铅球出手瞬间肩部的高度hL 铅球出手后运动的距离手臂的长度1L铅球加速的距离2LS 铅球投掷的总成绩 2.2.3 问题的分析问题的分析 在模型中，我们假设出手速度和出手角度是相互独立的事实上，整个投掷过程包 括滑步用力阶段和展臂脱手阶段， （如图(2)） 它们是相互联系的所以，模型中假设出 手速度和出手角度相互独立是不合理的现在，我们观察以上两个阶段，铅球从 A 点运

8、动到 B 点,其运动状态是匀加速直线运动的,加速距离是段且出手高度与手臂长及出手角2L度是有一定的联系，进而合理地细化各个因素对掷远成绩的约束，改进模型 图形说明： A 点是作好准备，铅球从静止到运动的瞬间； B 点是铅球脱手的瞬间； C 点是铅球着地点 .2.4 模型的建立与求解模型的建立与求解m gmgsinF 图(3)CLhha2L1L 图(2)第二期（2003 年 8 月） 韶关学院学生数学建模论文集 No.295 在投掷角度为上进行受 力分析，如图(3)由牛顿第二定 律可得，mamgFsin再由上式可得，(3)singmFa又，即 22 022aLvv (4)22 022aLvv将(

9、3)代入(4)可得，(5)sin22222 02gLmFLvv (5)式进一步说明了，出手速度与出手角度有关，随着的增加而减小模型v 假设出手速度与出手角度相互独立是不合理的 又根据图(2),有(6)sin1Lhh由模型,同理可以得到铅球脱手后运动的距离22222 cos22sin222sin gvhgv gvL 将 (4)、(5)、(6)式代入上式整理，得到铅球运动的距离 2 222 0222 0sinsin22sin2112sin2sin22gLmFLvhg ggLmFLv L对上式进行化简：将 m=7.257kg, 代入上式，再令 (我国铅球运动员的平均肩高)，2/8 . 9smg mh

10、60. 1代入上式进一步化简得，(7)2 22223 2222sinsin6 .192756. 06 .19sin6 .19sin2756. 0sin1LFLvLFLv所以,运动员投掷的总成绩cos1LLS即为模型一般情况下，将代入以上模型，得到关于和的函数关系式(手129 . 1 LL 2LSF2sinsin6 .192756. 051. 0222LFLvL第二期（2003 年 8 月） 韶关学院学生数学建模论文集 No.296 臂长是常数)为了了解对和的关系，我们令，分别用数学软件1LSFmL8 . 01MAPLE 作出对(令=37.6 )和对的图象(令 F=350N)供参考：SFoS2.

11、3 最佳出手角度的确定最佳出手角度的确定 给定出手高度，对于不同的出手速度，要确定最佳的出手角度显然，是求极值的问 题，根据微积分的知识，我们要先求出驻点，首先，模型一中 L 对求导得，ghv gvghvvgvddL2222424 2 cos82sinsincos42cos2sin2cos令,化简后为，0ddL0sincos42cos2sincos82sin2cos2422242hgvvhgvvv根据倍角与半角的三角关系，将以上方程转化成关于的方程，然后得，2cos(3)hvgg vghgh222cos 从(3)式可以看出，给定铅球的出手高度 h，出手速度 v 变大，相应的最佳出手角度 也随之

12、变大对(3)式进行分析，由于，所以，则所以，最佳0, 0h02cos40出手角度为)arccos(212vghgh SF 图(时)o6 .37S图(N 时)350F第二期（2003 年 8 月） 韶关学院学生数学建模论文集 No.297 是以为周期变化的，当且仅当时，为最佳2Nkk ,4, 02k2出手角度特别地，当 h=0 时（即出手点与落地点在同一高度） ，最佳出手角度 452.4 参数灵敏性分析参数灵敏性分析 2.4.1 数值极差法数值极差法 模型、是铅球掷远的数学模型，运动员最为关心是怎样才能有效地提高掷远成绩， 也就是怎样从出手高度、出手角度、出手速度三个自变量中抓住其中的主要因素，

13、提高掷 远成绩由于出手高度是没有多大变化的，所以，我们应该从出手角度和出手速度着手找 出其中对掷远成绩影响较大的变量也就是比较出手速度和出手角度的灵敏性 这里，我们引入数值分析中的极差来比较两者的灵敏性根据我国优秀铅球运动员三个因素的具体情况，我们令米，出手速度在 10m/s15m/s 之间变化，出手角度在0 . 2h变化用数学软件 MATLAB 编程得到下表：o37o43 v L37383940414243极差1011.9812.0112.0312.0412.0412.0212.000.061114.1014.1514.1814.2014.2114.2014.180.111216.4116.

14、4716.5216.5516.5716.5716.560.161318.9018.9919.0519.1019.1319.1419.130.241421.5921.7021.7821.8521.8921.9121.910.321524.4624.6024.7024.7924.8424.8724.880.42极差12.4812.5912.6712.7512.8012.8512.88从上表可以看出，出手角度在其可能范围内所引起的成绩的最大改变量在 0.060.42m 之间；出手速度在其可能范围内所引起的成绩的最大改变量在 12.4812.88m这表明，出 手速度是影响成绩的主要因素，即出手速度的灵敏性高于出手角度的灵敏性 2.4.2 图象分析法图象分析法极差法从数值上分析了出手角度和出手速度的灵敏性，图象法是从得到的