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1、高中数学重要知识点及典型例题函数第 1 页 共 6 页 函函 数数一一 、知识网络、知识网络二二 、重要知识点及典型例题、重要知识点及典型例题1. 映射的概念：（映射的概念：（任意对唯一任意对唯一）设）设BAf: A A 中所有元素都有象（在中所有元素都有象（在 B B 中）中） ，并且象是唯一的；，并且象是唯一的； B B 中的元素未必有原象（在中的元素未必有原象（在 A A 中）中） ，允许，允许 B B 中的元素有剩余中的元素有剩余. . 函数的概念函数的概念: （任意对唯一任意对唯一） 函数的三要素函数的三要素: 对应关系对应关系,定义域定义域,值域是函数的三要素值域是函数的三要素,缺
2、一不可缺一不可.复合函数的定义域求法复合函数的定义域求法：若：若的定义域为的定义域为a,b,则则的定义域即的定义域即)(xfy )(xgfy 为为的解集的解集.若若的定义域为的定义域为a,b，则，则的定义域即为的定义域即为bxga)()(xgfy )(xfy 在在a,b的值域的值域. (相同的对应法则整体自变量的取值范围不变相同的对应法则整体自变量的取值范围不变)(xg2.求函数解析式的方法求函数解析式的方法:(1)(1)代入法代入法: :已知一个函数的解析式已知一个函数的解析式, ,求另外的解析式求另外的解析式, ,直接代入直接代入. .已知已知, ,求求1)(2 xxf函数记号及表示 法集
3、合映射函数反函数反函数与原函数的关系函数的概念和性 质初等函数、幂,指,对数、三角函数函数的三要 素函数的图象函数的性质定义域、值 域 对应法则平移、翻折 对称、伸缩单调性 最值应 用数,式的大 小比较方程的解 法与讨 论不等式的解 法与讨 论生产实际 中的应 用解析法、表 格法、图象 法高中数学重要知识点及典型例题函数第 2 页 共 6 页 . . )(2xxf(2)(2)待定系数法待定系数法: :已知函数的类型已知函数的类型, ,要求函数解析式时要求函数解析式时, ,可根据类型设其解析式可根据类型设其解析式, ,从而确定系从而确定系 数即可数即可. .如如: :已知已知是一次函数是一次函数
4、, ,且且, ,求求. .)(xf34)(xxff)(xf(3)(3)拼凑法拼凑法: :已知已知 y =g (x)的解析式的解析式,要求要求 y =(x)时时,可从可从 y =g (x)的解析式中拼凑出的解析式中拼凑出“g (x)”,即用即用 g (x)来表示来表示,再将两边的再将两边的 g (x)用用 x 代替即可代替即可. 如如:已知已知:,求求 f (x).xxxf2) 1(4)(4)换元法换元法: :象上面的题目象上面的题目, ,也可以令也可以令, ,再求出再求出的解析式的解析式, ,然后用然后用 x 代替所有代替所有)(xgt )(tf的的 t 即可得到所求函数的解析式即可得到所求函
5、数的解析式. (5)(5)方程组法（消去法）方程组法（消去法）: :根据题目中的条件根据题目中的条件, ,列出所求的列出所求的 y =(x)所满足的方程组所满足的方程组,通过解方通过解方程组得到问题的解答程组得到问题的解答,在这里要注意的是函数的可变化性在这里要注意的是函数的可变化性. 如如:已知已知,23)1(2)(xxfxf求求 (x).3. .函数的图象作法函数的图象作法(1)(1)描点法描点法:列表列表;描点描点;用光滑的曲线连线用光滑的曲线连线. .(2)(2)变换作图法变换作图法: : 一个函数图象经过适当的变换一个函数图象经过适当的变换,得到另一个与之有关的函数图象得到另一个与之
6、有关的函数图象, 平移、平移、 对称、翻折、伸缩是图象的四种基本变换对称、翻折、伸缩是图象的四种基本变换:1)平移变换平移变换,主要有主要有 水平平移水平平移: :的图象的图象, ,可由可由的图象向左的图象向左或者向右或者向右)0)(aaxfy)(xfy )( a平移平移（左加右减）（左加右减）个单位得到个单位得到; ; 水平平移不改变函数的值域水平平移不改变函数的值域. .)( aa上下平移上下平移: :的图象的图象, ,可由可由的图象向上的图象向上或者向下或者向下)0()(bbxfy)(xfy )( b平移平移（上加下减）（上加下减）个单位得到个单位得到. . 竖直平移不改变函数的定义域竖
7、直平移不改变函数的定义域. .)( bb2)2)对称变换（函数的对称性）主要有对称变换（函数的对称性）主要有与与的图象关于的图象关于轴对称轴对称; ;)( xfy)(xfy y与与的图象关于的图象关于轴对称轴对称; ;)(xfy)(xfy x与与的图象关于原点对称的图象关于原点对称; ;)( xfy)(xfy 与与的图象关于直线的图象关于直线对称对称; ;)(1xfy)(xfy xy 与与的图象关于直线的图象关于直线对称对称; ;)(1xfy)(xfy xy高中数学重要知识点及典型例题函数第 3 页 共 6 页 与与的图象关于直线的图象关于直线对称对称; ;)2(xafy)(xfy ax 若若
8、( (或者或者则则的图象关于直线的图象关于直线对称对称; ;)2()(xafxf)()(xafxaf)(xfy ax 与与的图象关于的图象关于对称对称; ;)(2xfby)(xfy by 与与的图象关于点的图象关于点对称对称; ;)2(2xafby)(xfy ),(ba若存在常数若存在常数, ,使得对于函数使得对于函数的定义域内的每一个的定义域内的每一个仍在定义域内仍在定义域内, ,且且, ,ba,)(xfxbaxx ,)()(xbfxaf则则的图象关于直线的图象关于直线对称对称. .)(xf2bax3)3)翻折变换翻折变换, ,主要有主要有的图象在的图象在轴的右侧轴的右侧的部分与的部分与的图
9、象相同的图象相同, ,在在轴左侧轴左侧|)(| xfy y)0( x)(xfy y部分与其右侧部分关于部分与其右侧部分关于轴对称轴对称; ;y的图象在的图象在轴的上方部分与轴的上方部分与的图象相同的图象相同, ,其他部分图象为其他部分图象为| )(|xfy x)(xfy 图象在图象在轴下方部分关于轴下方部分关于轴的对称图形轴的对称图形. .)(xfy xx4)4)伸缩变换伸缩变换, ,主要有（三角函数主要有（三角函数中）中）BxAy)sin(的图象的图象, ,可将可将的图象上每点的纵坐标伸长的图象上每点的纵坐标伸长或缩短或缩短)0)(axafy)(xfy ) 1(a为原来的为原来的倍倍( (横
10、坐标不变横坐标不变) )而得到而得到; ;) 10( aa的图象的图象, ,可将可将的图象上每点的横坐标伸长的图象上每点的横坐标伸长或缩或缩)0)(aaxfy)(xfy ) 10( a短短为原来的为原来的倍倍( (纵坐标不变纵坐标不变) )而得到而得到. .) 1(aa14. 函数值域（最值）的求法函数值域（最值）的求法: :(1)(1)观察法观察法: :直接根据函数表达式得到函数的值域直接根据函数表达式得到函数的值域. . 如如: :求函数求函数的值域的值域. .24xy(2)(2)不等式法不等式法( (部分分式法部分分式法):):根据不等式的性质直接推导得到值域根据不等式的性质直接推导得到
11、值域. .如如: :求函数求函数的值域的值域. .)21 (112xxxy(3)(3)反表示法反表示法( (反函数法反函数法):):将函数表示成另一种形式求值域将函数表示成另一种形式求值域. .高中数学重要知识点及典型例题函数第 4 页 共 6 页 如如: :求函数求函数的值域的值域. .)4(21xxxy(4)(4)中间变量法（方程思想）中间变量法（方程思想）: :借助于中间变量来解决问题借助于中间变量来解决问题.(.(中间变量的范围已知中间变量的范围已知).).如如: :求函数求函数、的值域的值域. .1422xxy) 10(11)(aaaaxfxx 且(5)(5)配方法配方法: :通过配
12、成完全平方来求解通过配成完全平方来求解. .如如: :求函数求函数的值域的值域. .32xxy(6)(6)图象法（数形结合法）图象法（数形结合法）: :根据函数的图象得到函数值域的求解根据函数的图象得到函数值域的求解. .如：求如：求函数的值域函数的值域)21 (2|;1|3|xxxyxxy钩形函数(7)(7)换元法换元法: :通过换元的方法将无理函数或指对函数式化简来进行求解通过换元的方法将无理函数或指对函数式化简来进行求解.(.(注意变元的取值注意变元的取值范围不能改变范围不能改变) ) 如如: :求函数求函数、的值域的值域. .12xxy2 , 0, 523421 xyxx(8)(8)判
13、别式法判别式法: :借助于二次函数的判别式来求函数的值域借助于二次函数的判别式来求函数的值域. . 如如: :求函数求函数的值的值152222xxxxy域域. .5 函数的单调性函数的单调性: 函数的单调性是一个函数的单调性是一个局部概念局部概念: :单调区间在变换的时候单调区间在变换的时候, ,不能交不能交, ,也不能也不能 并并, ,在写法上一定要注意规范性在写法上一定要注意规范性. .（1 1）判断函数的单调性（利用定义：取值任意）判断函数的单调性（利用定义：取值任意作差变形作差变形判断正负判断正负得出结论）得出结论）（2 2）求复合函数的单调区间（同增异减）求复合函数的单调区间（同增异
14、减）先求定义域先求定义域如：求函数如：求函数，的单调区的单调区3|22xxy23 7 . 02logxxy)423sin(xy间间（3 3）利用函数的单调性解不等式、比较大小、求参数等）利用函数的单调性解不等式、比较大小、求参数等6 函数的奇偶性：（注意定义域是否关于原点对称）函数的奇偶性：（注意定义域是否关于原点对称）是偶函数是偶函数对于任意的对于任意的恒成立恒成立的图像关于的图像关于轴对轴对)(xf)()(,xfxfDx)(xfy称称是奇函数是奇函数对于任意的对于任意的恒成立恒成立的图像关于原点的图像关于原点)(xf)()(,xfxfDx)(xf（0，0）轴对称，）轴对称， 奇函数若在奇函
15、数若在处有意义则处有意义则；有时用；有时用0x0)0(f来判断奇偶性来判断奇偶性0)()(xfxf奇（偶）函数在关于原点对称的两个区间上具有相同（相反）的单调性奇（偶）函数在关于原点对称的两个区间上具有相同（相反）的单调性7 函数的周期性：（主要是针对抽象函数及三角函数）函数的周期性：（主要是针对抽象函数及三角函数）或或是周期为是周期为 2T 的周期函数的周期函数)()2(xfTxf)()(TxfxTf高中数学重要知识点及典型例题函数第 5 页 共 6 页 如：如：等等)(1)();()(xfaxfxfaxf8 反函数反函数 (1) 的定义域与值域互换的定义域与值域互换 )(),(1xfxf (2) ）mnfnmf)()(1（3）y
