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1、1圆的专项二圆的专项二 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系1 1判断直线与圆的位置关系常用的两种方法判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)(1)几何法：利用圆心到直线的距离几何法：利用圆心到直线的距离d d和圆半径和圆半径r r的大小关系的大小关系d d r r相离相离(2)(2)代数法：代数法：Error!判判别别式式b b2 24 4a ac c2.2.圆的切线方程常用结论圆的切线方程常用结论过圆过圆x x2 2y y2 2r r2 2上一点上一点P P( (x x0 0， y y0 0) )的圆的切线方程为的圆的切线方程为x x0 0x xy y0 0y yr r2 2. .过圆过
2、圆( (x xa a) )2 2( (y yb b) )2 2r r2 2上一点上一点P P( (x x0 0，y y0 0) )的圆的切线方程为的圆的切线方程为( (x x0 0a a)()(x xa a) )( (y y0 0b b)()(y yb b) )r r2 2. .过圆过圆x x2 2y y2 2r r2 2外一点外一点M M( (x x0 0，y y0 0) )作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x x0 0x xy y0 0y yr r2 2. .3 3圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系（1 1）设圆）设圆O O1 1：( (x xa a
3、1 1) )2 2( (y yb b1 1) )2 2r r( (r r1 10)0)，圆，圆O O2 2：( (x xa a2 2) )2 2( (y yb b2 2) )2 2r r( (r r2 20).0).2 2 1 12 2 2 2方法方法位置关系位置关系几何法：圆心距几何法：圆心距d d与与r r1 1，r r2 2的关系的关系代数法：联立两圆方程组成方程组的解代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况的情况外离外离d d r r1 1r r2 2无解无解外切外切d dr r1 1r r2 2一组实数解一组实数解相交相交| |r r1 1r r2 2|d d r r1 1r r2
4、2两组不同的实数解两组不同的实数解内切内切d d| |r r1 1r r2 2| |( (r r1 1r r2 2) )一组实数解一组实数解内含内含00d d|r r1 1r r2 2| |( (r r1 1r r2 2) )无解无解4.4.常用结论常用结论（1 1）公切线的条数：）公切线的条数：内含：内含：0 0 条；条；内切：内切：1 1 条；条；相交：相交：2 2 条；条；外切：外切：3 3 条；条；外离：外离：4 4 条条（2 2）当两圆相交时，两圆方程）当两圆相交时，两圆方程( (x x2 2，y y2 2项系数相同项系数相同) )相减便可得公共弦所在直线的方程相减便可得公共弦所在直
5、线的方程类型一、直线与圆的位置关系类型一、直线与圆的位置关系【典例典例 1】1】设点设点，若在圆，若在圆上存在点上存在点，使得，使得，则，则0,1M x22:+1O xy N45OMN的取值范围是（的取值范围是（ ）0x（A A） （B B） （C C） （D D）1, 1 1 1,2 22,222,22 【一题多解一题多解】已知直线已知直线l l：y ykxkx1 1，圆，圆C C：( (x x1)1)2 2( (y y1)1)2 212.12.(1)(1)试证明：不论试证明：不论k k为何实数，直线为何实数，直线l l和圆和圆C C总有两个交点；总有两个交点；(2)(2)求直线求直线l l
6、被圆被圆C C截得的最短弦长截得的最短弦长【解题技巧与方法总结解题技巧与方法总结】判断直线与圆的位置关系常见的方法判断直线与圆的位置关系常见的方法2(1)(1)几何法：利用几何法：利用d d与与r r的关系的关系(2)(2)代数法：联立方程随之后利用代数法：联立方程随之后利用判断判断(3)(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题类型二类型二 相交、相切、弦长问题相交、相切、弦
7、长问题【典例典例 3】3】过三点过三点，的圆交的圆交y y轴于轴于M M，N N两点，则两点，则 (1,3)A(4,2)B(1, 7)C|MN 【变式训练变式训练 1】1】圆心在直线圆心在直线上的圆上的圆与与轴的正半轴相切，圆轴的正半轴相切，圆截轴所截轴所02 yxCyC得弦的长为得弦的长为，则圆，则圆的标准方程为的标准方程为 . .32C【典例典例 4】4】若点若点(1,2)P在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点 P P 处的切线方程为处的切线方程为_._.【变式训练变式训练 2】1.2】1.若圆若圆 C C：22xy2x2x4y4y3 30 0 关于直线
8、关于直线 2ax2axbyby6 60 0 对称，对称，则由点（则由点（a a，b b）向圆所作的切线长的最小值是）向圆所作的切线长的最小值是_。2.2.已知过点已知过点且斜率为且斜率为k k的直线的直线l l与圆与圆C C：交于交于M M，N N两两1,0A22231xy点点. .（I I）求）求k k的取值范围；的取值范围；（IIII），其中，其中O O为坐标原点，求为坐标原点，求. .12OM ONuuuu r uuu r MN【解题技巧与方法总结解题技巧与方法总结】1 1处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长
9、一半、弦心距、半径构成直角三角形2 2 求圆的切线方程的常用方法：求圆的切线方程的常用方法：(1)(1)设出切线方程，由几何性质确定参数值设出切线方程，由几何性质确定参数值(2)(2)过圆外一点过圆外一点( (x x0 0，y y0 0) )求切线，既可采用几何法也可采用代数法求切线，既可采用几何法也可采用代数法几何方法：当斜率存在时，设为几何方法：当斜率存在时，设为k k，切线方程为，切线方程为y yy y0 0k k( (x xx x0 0) )，由圆心到直线的距离等于半径求解，由圆心到直线的距离等于半径求解代数方法：当斜率存在时，设切线方程为代数方法：当斜率存在时，设切线方程为y yy
10、y0 0k k( (x xx x0 0) )，即，即y ykxkxkxkx0 0y y0 0，代入圆方程，得一个关于，代入圆方程，得一个关于x x的一元二次方程，由的一元二次方程，由0 0，求得，求得k k，切线方程即可求出，切线方程即可求出类型三、圆与圆的位置关系类型三、圆与圆的位置关系【典例典例 5】5】已知圆已知圆C C：( (x x3)3)2 2( (y y4)4)2 21 1 和两点和两点A A( (m m，0)0)，B B( (m m，0)0)3( (m m0)0)若圆若圆C C上存在点上存在点P P，使得，使得APBAPB9090，则，则m m的最大值为的最大值为 【变式训练变式
11、训练】1.1.已知圆已知圆O O1 1：( (x xa a) )2 2( (y yb b) )2 24 4，O O2 2：( (x xa a1)1)2 2( (y yb b2)2)2 21(1(a a，b bR)R)，则两圆的位置关系是则两圆的位置关系是 2.2.已知直线已知直线l l:x+y-2=0:x+y-2=0 和圆和圆 C:xC:x2 2+y+y2 2-12x-12y+54=0,-12x-12y+54=0,则与直线则与直线l l和圆和圆 C C 都相切且半都相切且半径最小的圆的标准方程是径最小的圆的标准方程是 . .3 3已知半径为已知半径为 2 2，圆心在直线，圆心在直线y yx x
12、2 2 上的圆上的圆C C. .(1)(1)当圆当圆C C经过点经过点A A(2,2)(2,2)，且与，且与y y轴相切时，求圆轴相切时，求圆C C的方程；的方程；(2)(2)已知已知E E(1,1)(1,1)，F F(1(1，3)3)，若圆，若圆C C上存在点上存在点Q Q，使，使| |QFQF| |2 2| |QEQE| |2 23232，求圆心的，求圆心的横坐标横坐标a a的取值范围的取值范围【解题技巧与方法总结解题技巧与方法总结】1 1两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半
13、径之间的关系，一般不采用代数法法2 2若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到圆的专项二圆的专项二 强化训练强化训练41 1已知直线已知直线l l：x xayay1 10(0(a aR)R)是圆是圆C C：x x2 2y y2 24 4x x2 2y y1 10 0 的对称轴过点的对称轴过点A A( (4 4，a a) )作作圆圆C C的一条切线，切点为的一条切线，切点为B B，则，则| |ABAB| |( ( ) )A A2 2 B B4 4 C C6 6 D D2 22 21 10 02 2若动点若动点A A，
14、B B分别在直线分别在直线l l1 1：x xy y7 70 0 和和l l2 2：x xy y5 50 0 上运动，则上运动，则ABAB的中点的中点M M到原到原点的距离最小值为点的距离最小值为( ( ) )A.A. B B2 2 C C3 3 D D4 42 22 22 22 23 3一条光线从点一条光线从点( (2 2，3)3)射出，经射出，经y y轴反射后与圆轴反射后与圆( (x x3)3)2 2( (y y2)2)2 21 1 相切，则反射光线相切，则反射光线所在直线的斜率为所在直线的斜率为( ( ) ) A A 或或 B B 或或 C C 或或 D D 或或5 5 3 33 3 5 53 3 2 22 2 3 35 5 4 44 4 5 54 4 3 33 3 4 44 4两圆两圆x x2 2y y2
