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1、第 1 页 共 6 页寻寻找二面角的平面角的方法找二面角的平面角的方法二面角是高中立体几何中的一个重要内容，也是一个二面角是高中立体几何中的一个重要内容，也是一个难难点点对对于于二面角方面的二面角方面的问题问题，学生往往无从下手，他，学生往往无从下手，他们们并不是不会构造三角形并不是不会构造三角形或解三角形，而是没有掌握或解三角形，而是没有掌握寻寻找二面角的平面角的方法找二面角的平面角的方法我我们试们试将将寻寻找二面角的平面角的方法找二面角的平面角的方法归纳为归纳为以下六种以下六种类类型型一、一、根据平面角的定根据平面角的定义义找出二面角的平面角找出二面角的平面角例例 1 在在的二面角的二面角
2、的两个面内，分的两个面内，分别别有有和和两点已两点已o60-aAB知知和和到棱的距离分到棱的距离分别为别为 2 和和 4，且，且线线段段， ，试试求：求：AB10AB（ （1）直）直线线与棱与棱 所构成的角的正弦所构成的角的正弦值值； ；ABa（ （2）直）直线线与平面与平面所构成的角的正弦所构成的角的正弦值值 AB分析：求解分析：求解这这道道题题，首先得找出二面角的平面角，也就是找出，首先得找出二面角的平面角，也就是找出角在哪儿如果解决了角在哪儿如果解决了这这个个问题问题， ，这这道道题题也就解决了一半也就解决了一半o60根据根据题题意，在平面意，在平面内作内作；在平面；在平面内作内作， ，
3、 ，aAD BEEBCD/连结连结、 、可以可以证证明明， ，则则由二面角的平面角的定由二面角的平面角的定义义，可知，可知BCACaCD 为为二面角二面角的平面角以下求解略的平面角以下求解略ADC-a二、二、根据三垂根据三垂线线定理找出二面角的平面角定理找出二面角的平面角例例 2 如如图图，在平面，在平面内有一条直内有一条直线线与平面与平面成成， ，与棱与棱ACo30AC成成，求平面，求平面与平面与平面的二面角的大小的二面角的大小BDo45分析：找二面角的平面角，可分析：找二面角的平面角，可过过作作； ；ABDAF 平面平面， ，连结连结由三垂由三垂线线定理可定理可证证， ，则则为为二面角二面
4、角AEFEEFBD AFE第 2 页 共 6 页的平面角的平面角总结总结：（：（1）如果两个平面相交，有）如果两个平面相交，有过过一个平面内的一点与另一个平一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂面垂直的垂线线，可，可过这过这一点向棱作垂一点向棱作垂线线， ，连结连结两个垂足两个垂足应应用三垂用三垂线线定理可定理可证证明两个垂足的明两个垂足的连线连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角角（ （2）在）在应应用三垂用三垂线线定理定理寻寻找二面角的平面角找二面角的平面角时时，注意，注意“作作”、 、 “连连”、 、“证证”，即，即“作作”、 、 “连结连结”、 、
5、 “证证明明” BDAF EFBDEF 三、三、作二面角棱的垂面，垂面与二面角的两个面的两条交作二面角棱的垂面，垂面与二面角的两个面的两条交线线所构所构成的角，即成的角，即为为二面角的平面角二面角的平面角例例 3 如如图图 1，已知，已知为为内的一点，内的一点，于于点，点，P-CDPAA于于点，如果点，如果， ，试试求二面角求二面角的平面角的平面角PBBonAPB -CD分析：分析：平面平面 CDCDPBPBCDPAPA PAB因此只要把平面因此只要把平面与平面与平面、 、的交的交线线画出来即可画出来即可证证明明PAB为为的平面角，的平面角，（如（如图图 2）AEB-CDoonAEB180注意
6、：注意：这这种种类类型的型的题题，如果，如果过过作作，垂足，垂足为为， ，连结连结， ，ACDAE EEB我我们还们还必必须证须证明明，及，及为为平面平面图图形，形，这样这样做起来比做起来比较较麻麻CDEB AEBP烦烦 图 1图 2第 3 页 共 6 页例例 4 已知斜三棱柱已知斜三棱柱中，平面中，平面与平面与平面构成的二构成的二111-CBAABC1AB1AC面角的平面角面角的平面角为为，平面，平面与平面与平面构成的二面角构成的二面角为为 试试求平求平o301AB1BCo70面面与平面与平面构成的二面角的大小构成的二面角的大小1AC1BC分析：作三棱柱的直截面，可得分析：作三棱柱的直截面，
7、可得 ， ，DEF其三个内角分其三个内角分别为别为斜三棱柱的三个斜三棱柱的三个侧侧面两两面两两构成的二面角的平面角构成的二面角的平面角总结总结： ：对对棱柱而言，其直截面与各个棱柱而言，其直截面与各个侧侧棱的交点所形成的多棱的交点所形成的多边边形形的各个内角，分的各个内角，分别为别为棱柱相棱柱相邻侧邻侧面构成的二面角的平面角面构成的二面角的平面角四四、平移平面法、平移平面法例例 5 如如图图，正方体，正方体中，中，为为的中点，的中点，为为1111-DCBAABCDE1AAH上的点，且上的点，且 设设正方体的棱正方体的棱长为长为 ，求平面，求平面与底与底1CC211：HCCHaEHD1面面构成的
8、构成的锐锐角的正切角的正切1111DCBA分析：本分析：本题题中，中，仅仅仅仅知道二面角棱上的一点知道二面角棱上的一点，在，在这这种情况下，种情况下，寻寻1D找二面角的平面角找二面角的平面角较较困困难难根据平面平移不改根据平面平移不改变变它与另一个平面构成的角的大小的原理，如果能它与另一个平面构成的角的大小的原理，如果能把二面角中的一个平面平移，找出把二面角中的一个平面平移，找出辅辅助平面与另助平面与另一个平面的交一个平面的交线线，就可以作出二面角的平面角有了平面角之后，只，就可以作出二面角的平面角有了平面角之后，只需要需要进进行常行常规规构造三角形和解三角形的构造三角形和解三角形的计计算，就
9、可以解决算，就可以解决问题问题了了如如图图， ，过过点点作作与与相交于相交于点，点，过过点作点作， ，E11/DAEMDD1MM11DCMN 与与相交于相交于点可点可证证平面平面平面平面 这样这样，求平面，求平面HD1N/EMN1111DCBA与平面与平面的二面角的平面角就的二面角的平面角就转转化化为为求平面求平面与平面与平面EHD11111DCBAEHD1的二面角的平面角的二面角的平面角显显然然为这为这两个平面的交两个平面的交线线， ，过过点点作作EMNENM第 4 页 共 6 页， ，为为垂足，垂足，连结连结，可，可证证 则则为为本本题题要要寻寻ENMF FFD1ENFD1FMD1找的二面
10、角找的二面角五、五、找垂面，作垂找垂面，作垂线线例例 6 如如图图，正方体，正方体中，中，为为棱棱的中点，求平面的中点，求平面1111-DCBAABCDMAD和平面和平面所构成的所构成的锐锐二面角的正切二面角的正切CBCB11MBC1分析：平面分析：平面与二面角与二面角的一个的一个ACCBCM-1面面垂直，与另一个平面垂直，与另一个平面相交，相交，过过点点CB11CMBM作作，垂足，垂足为为， ，过过作作，交，交BCMP PPBCPN 1CB于于点，点，连结连结，由三垂，由三垂线线定理可定理可证证， ，NMN1BCMN 则则为为二面角二面角的平面角的平面角MNPCBCM-1总结总结：当一个平面
11、与二面角的一个平面垂直，与另一个平面相交：当一个平面与二面角的一个平面垂直，与另一个平面相交时时，往往，往往过这过这个面上的一点作个面上的一点作这这两个垂直平面交两个垂直平面交线线的垂的垂线线，再，再过过垂足作二面角棱的垂垂足作二面角棱的垂线线根据三根据三垂垂线线定理即可定理即可证证明，并找出二面角的平面角明，并找出二面角的平面角再如再如图图，要找，要找所构成的二面角的平面角，可找平面所构成的二面角的平面角，可找平面， ，-a且且， ， ，过过 上任何一点上任何一点作作，垂足，垂足为为， ，过过作作bIlIbAlAB BB，垂足，垂足为为， ，连结连结，可，可证证为为的平面角的平面角BCCAC
12、ACB-a六六、根据特殊、根据特殊图图形的性形的性质质找二面角的平面角找二面角的平面角1三三线线合一合一例例 7 如如图图，空，空间间四四边边形形中，中， ，ABCD3 ADAB， ， ， 试试求求二面角的余弦二面角的余弦4 CDBC2BD5ACCBDA-值值 第 5 页 共 6 页分析：如分析：如图图 1， ， ， ，则则 和和 为为等腰三角等腰三角ADAB CDBC ABDBDC形形过过作作，垂足，垂足为为， ，连结连结根据等腰三角形三根据等腰三角形三线线合一，合一，ABDAE ECE且且为为中点，可中点，可证证， ，则则为为二面角二面角的平面角的平面角EBDBDCE AECCBDA-2全
13、等三角形全等三角形例例 8 如如图图，已知空，已知空间间四四边边形形， ，ABCD， ， ， ， 试试求求6 BCAB4 DCAD8BD6AC的余弦的余弦值值 CBDA-分析：分析：过过作作，垂足，垂足为为， ，连结连结根据已知条件，根据已知条件， ABDAE ECE和和 全等，可全等，可证证， ，则则为为二面角二面角的平面的平面AEDCEDBDCE AECCBDA-角角3 二面角的棱二面角的棱蜕蜕化成一点化成一点例例 9 如如图图，四棱，四棱锥锥中，中，和和与面与面垂直，垂直， BCEDA-DBECABC为为正三角形正三角形ABC（ （1）若）若时时，求面，求面与面与面的的夹夹角；角；BDE
14、CBCADEABC（ （2）若）若时时，求面，求面与面与面的的夹夹角角BDECBC2ADEABC分析：如分析：如图图，面，面与面与面的交的交线蜕线蜕化成化成ADEABC一点，但面一点，但面与面与面与面与面相交如果三个相交如果三个ADEABCDC平面两两相交，它平面两两相交，它们们可能有三种情况：（可能有三种情况：（1）交）交线为线为一点；（一点；（2）一条交）一条交线线；（；（3）三条交）三条交线线互相平行在互相平行在图图 1 中，两条交中，两条交线线与与互相平行，所以肯定有互相平行，所以肯定有过过且平行于且平行于的一条交的一条交线线 BCDEADE可可过过作作，平面，平面与平面与平面的交的交
15、线线即即为为 过过作作ADEAM /ADEABCAMA于于， ，过过作作于于可可证证， ， ，则则DEAN NABCAF FAMAN AMAF 第 6 页 共 6 页为为面面与面与面的的夹夹角角NAFADEABC如如图图， ，与与不平行且相交根据三个平面两两相交可能出不平行且相交根据三个平面两两相交可能出现现DECB的三种情况，的三种情况，这这三个面的交三个面的交线为线为一点延一点延长长、 、ED相交于相交于点，点，连结连结 即即为为平面平面与平面与平面CBGAGAGADE的交的交线线，通，通过过一些关系可一些关系可证证为为平面平面ABCCAE与平面与平面的的夹夹角角ADEABC通通过过以上分析和以上分析和举举例例说说明，明，寻寻找二面角的平面角的方法就比找二面角的平面角的方法就比较较容容易了只要我易了只要我们们勤勤动脑动脑，善，善观观察，多察，多总结总结，抓住，抓住问题问题的特征，找出适当的特征，找出适当的方法，关于二面角的平面角的的方法，关于二面角的平面角的问题问题就会迎刃而解就会迎刃而解
