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1、 力学问题中的轻杆和轻绳力学问题中常涉及到“轻杆”、“轻绳”模型，特别是在中学物理竞赛题中，则更是屡见不鲜轻杆、轻绳是由各种实际情况中的杆和绳抽象出来的理想物理模型，作为这一模型，一般情况下，“轻”往往是（相对于其它物体来说）指其质量可以忽略，所受重力可以忽略，而杆和绳则往往是其形体在同一直线上且其长度是不发生变化的由此导致这一模型在运动学和静力学中都有其特有的规律本文拟对此规律及其应用、特别是在解中学物理竞赛题中的应用作一些简单的探讨一、杆、绳上任意两点的速度沿其自身方向上的投影值相等这是杆、绳在运动中的一个重要特征，其原因是由于杆、绳的长度不变，即由所考察的两点间的距离不变而得如图 1 所
2、示，以 vA、vB分别表示杆（或绳）上 A、B 两点的速度，vAl、vBl分别表示 vA和 vB沿杆（或绳）方向的投影，则 vAl表示 A 点相对于 B 点相互远离的速度，而 vBl则表示 B 点相对于 A 点相互靠近的速度，显然，若此两者相等，则 A、B 间的距离不变，即表示此杆（或绳）的长度不变1如图 2 所示，长为 l，不可伸长的棒 A、B 的两端 A 和 B 分别沿直角（顶点为 C）的两边滑动，B 端以速度 v 做匀速运动，以 表示CBA，求：（1）棒 A 端的运动速度；（2）棒的中点 D 运动的加速度解解 （1）棒 A 端沿 AC 方向运动，其速度 vA 满足 vAcos（90）vc
3、os，所以 vAvcot（2）由于 D 点为棒 AB 的中点，故有 （1/2）AB（1/2）l，可见 D 点的运动轨迹为一段圆弧（圆心为 C，半径为（1/2）l），则 D 点的运动速度 vD沿此圆弧的切线方向，如图 3 所示以 表示 vD与 AB 间的夹角，则有 vcosvDcos，由于 （2）/2，即 2/2，则 vDvcos/sin2v/2sin， vD沿 CB 方向的分量为 vDxvDcos（）=vDsinv/2由于 vDx为恒量（v/2），说明 D 点沿 CB 方向的运动为匀速运动，其加速度为零，则D 点的加速度 AD必沿 AC 方向而 AD沿 DC 方向的投影即为 D 点做圆周运动的
4、向心加速度，故有 ADcos（/2）vD2/（l/2），所以 ADv2/2lsin3引申：杆、绳上任意两点的速度沿其自身方向上的投影值之差为其长度的变化率当杆或绳的长度可以变化时（如一条橡皮筋被拉长或者是缩短时），则此杆或绳的两端的速度沿其自身方向的投影值将不相等，这两个投影值之差为其长度的变化率，结合图1 可见，这一变化率应为（vBl-vAl）2两只小环 O 和 O分别套在静止不动的竖直杆 AB 和 AB上，一根不可伸长的绳子一端系在 A点上，并穿过环 O，另一端系在环 O 上，如图 4 所示若环 O以恒定速度 v向下运动，求当AOO 时，环 O 的速度 v?解解 以 OO间的绳为研究对象，
5、其两端的速度分别为 v 和 v，这两个速度分别沿 BA 方向和AB方向，其沿 OO方向的投影值之差为 vlvcos（vcos）vcosvcos，由于 v 和 v沿 OO方向的投影都是导致 O 与 O两点互相靠近，故上述的（vcosvcos）表示的是绳 OO长度缩短的变化率，另一方面，由于环 O向下运动的速度为 v，则单位时间内由环 O中抽走的 OO绳段的长度数值应与 v相等，即 OO间绳的长度的变化率应为 v，故有 vcosvcosv， v（1cos）/cos）v二、当外力只作用于轻杆（或轻绳）的两端时，则作用于一端的外力的合力必与作用于另一端的外力的合力大小相等、方向相反，且此两合外力的作用
6、线为由此杆（或绳）所确定的直线3如图 5 所示，一根均匀细杆 AB，上端 A 处用绞链与天花板相连，下端由绞链与另一均匀细杆 BC 相连，两杆长度相等，且被限制在图示的竖直平面内运动，不计绞链处的摩擦，当在 C 端施加一个适当的外力（在纸面所表示的竖直平面内）时，可使两杆平衡在图示位置处，即两杆间夹角为 90，且 C 端处在 A 点的正下方，试说明：不管两杆的质量如何，此外力只可能在哪个方向范围内？只需要说明道理而不要求计算解以 mAB和 mBC分别表示杆 AB 和 BC 的质量，则若当 mABmBC时，BC 杆的质量可以忽略不计，则作用于 BC 杆 C 端的外力 F 必沿由 C 指向 B 的
7、方向（即 CB 方向）。（F 不可能沿 BC 方向，因为若沿 BC 方向，则 AB 杆将绕 A 点顺时针方向转动而不能平衡）若当 mBCmAB时，则 AB 杆的质量可以忽略不计，故 AB 杆作用于 BC 杆的力 FA必沿BA 方向（FA不能沿 AB 方向，否则 BC 杆将绕 C 点沿顺时针方向转动），而 BC 杆的重力GBC作用于 BC 之中点，GBC与 FA的作用线交于 AB 的中点 D，如图 6 所示，此时杆 BC 受三力作用（GBC、FA和作用于 C 端的外力 F）而平衡，由杆 BC 的平衡条件知，此三力必交汇于一点，故知 F 应沿 CD 方向以上讨论的是两种临界情况，由于实际情况应为
8、0mAB/mBC，故满足题述要求的作用于 C 端处的外力应介于上述两种临界情况之间，即作用于 C 端的外力的方向应在图 6中的DCB 范围之内，且这一区间为一开区间4如图 7 所示的屋架由多根无重杆连接而成，其中支点 8 可无摩擦地水平滑动，点9、2、5、7、8 位于同一水平线上，各点间沿水平方向和竖直方向的距离标示如图，点 3和点 1 各承受有压力 P/2 和 P，求连接点 3 和点 4 的杆的内力解 由于点 8 可水平无摩擦地滑动，则外界对点 8 的作用力 N8必沿竖直向上的方向，由于整个屋架可绕点 9 转动，则平衡条件为 Pl（P/2）2lN84l，所以 N8P/2设想隔离出由点 5、6
9、、7、8 组成的部分，由于杆 15、47、36 互相平行，故此三杆作用于这一部分的合力 F143必与此三杆方向平行，即沿与水平成角 45方向，再以 T25表示杆25 对这部分的作用力（即为杆 25 的内力，它必沿水平方向）则这部分相当于受三力（F143、T25、N8）作用而平衡，此三力的合力应为零，由于 N8的方向竖直向上，F143只能沿与图中杆 47 平行的方向，则 T25只可能沿图中水平向左的方向（如水平向右，则此三力不能平衡），如图 8 所示，由此易得 T25N8P/2，即杆 25 中的内力为张力，其大小为 P/2同上解法，设想将点 9 隔离出来，便可得到杆 29 中的内力 T29为张力
10、，其大小为 P取点 2 为研究对象，由其水平方向上的受力平衡（以 T24表示杆 24 的内力）有T29T25T24cos45，所以 T24（T29T25）/cos45（/2）P 2由于 T24沿杆 25 方向的投影由 2 指向 5，可见杆 24 对点 2 的作用力为拉力，即杆 24的内力为张力，其大小为P/22取点 4 为研究对象，由其在垂直于杆 74 方向上的合力为零（以 T34表示杆 34 的内力）的条件有 T24T34cos45，所以 T34T24/cos45P杆 34 对点 4 的作用力为拉力，即得杆 34 的内力为张力，其大小为 P引申：由轻杆（或轻绳）相连的两物体在同一过程中分别受
11、到同一杆（或绳）对它们的冲量必沿杆（或绳）本身的方向，且此两冲量的大小相等，方向相反由于在任何时刻轻杆（或轻绳）两端的物体作用于此杆（或绳）的力应大小相等方向相反，以 F1和 F2分别表示此两力，则对于任一小段时间 t 均有 F1t=-F2t，进而有F1t=-F2t，这就是上面的结论5质量分别为 m1、m2和 m3的三质点 A、B 和 C，位于光滑水平桌面上，用已拉直的、不可伸长的柔软轻绳 AB 和 BC 连结，ABC-， 为一锐角，如图 9 所示今有一冲量为 I 的冲击力沿 BC 方向作用于质点 C，求质点 A 开始运动时的速度解 设在外力冲量 I 作用的瞬间内，AB 和 BC 两条细绳内出现的张力对其两端的质点作用的冲量大小分别为 I1和 I2，又以 v 表示质点 A 起动时的速度，显然 v 的方向应沿由 A 指向 B 的方向，对于质点 A 则有 I1m1v， 则质点 B 运动的速度沿 AB 方向的分量也为 v，对于质点 B 则有 I2cosI1m2v 又设质点 B 运动的速度沿 BC 方向的分量为 v，则有 I2I1cosm2v， v也就是质点 C 的起动速度，于是对于质点 C 有 II2m3v， 联立、各式可解得质点 A 开始运动时的速度为vIm2cos/m2（m1m2m3）m1m3sin2文/彭大斌
