反证法在数学解题中的应用

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1、1反证法在数学解题中的应用我们在解决数学问题时，一般是从正面入手，这就是所谓的正向思维，但往往也会遇到从正面入手困难，或出现一些逻辑上的困境的情形，这时就要从辩证思维的观点出发，运用逆向思维克服思维定势的消极面，从习惯思路的反方向去分析问题，运用反证法解决问题。 一、反证法的逻辑基础 证明命题“AB”时如果用这种方法：假设AB为真，在A 且 B的条件下，合乎逻辑地推出一个矛盾的结果(不论是与 A 矛盾还是与其他已知正确的结论矛盾或自相矛盾)，从而 B 成立(即AB成立)，这种方法就是反证法。 二、反证法的解题步骤 第一步审题，弄清命题的前提和结论； 第二步否定原命题，由假设条件及原命题构成推理

2、的基础； 第三步由假设出发，根据公理、定义、定理、公式及命题的条件，正确逻辑推理，导出逻辑矛盾； 第四步肯定原命题的正确性。 三、什么情况下考虑应用反证法 1待证命题的结论是唯一存在性命题 例 1 设方程x=psinx+a 有实根(0p1，a 是实数)，求证实根唯一。 证明：假设方程存在两个不同实根 x1，x2，则有 x1=psinx1+a，x2=psinx2+a x1x2=psinx1sinx2=2pcosx1+x22sinx1x22 由于cosx1+x221，从而有x1x22psinx1x22又sinx1x22x1x22，故x1x2px1x2，但x1x2，于是 p1，与 0p1 矛盾。所以

3、方程若有实根，则根唯一。 2采取直接证法，无适宜的定理作为根据，甚至无法证明。 例 2 已知 A、B、C、D 是空间的四点，ABGNCD 是导向直线，求证 AC 和 BD、AD 和 BC 也都是异面直线。 分析：证 AC 和 BD 是异面直线，即证明 AC 和 BD 不在同一平面内，考虑反证法。 证明：假定 AC 和 BD 不是异面直线，那么 AC 和 BD 在同一平面内，因此 A、B、C、D 不是异面直线，这与已知条件矛盾。所以 AC 和 BD 是异面直线。 3待证命理的结论是以“至少存在”的形式出现的， “至少存在”的反面是“必定不存在”，所以只要证明“必定不存在”不成立即可。 例 3 设

4、p1p2=2(q1+q2)求证方程 x2+p1x+q1=ox2+p2x+q2=0中至少有一个方程有实根。 证明：假设两方程都无实根，则 p124q10，p224q20，两式相加，有 p21+p224(q1+q2)(1) 而p1p2=2(q1+q2)代入(1)得p21+p222p1p2，这与p21+p222p1p2矛盾。 故假设不成立，原命题正确。 4待正命题含有涉及各种“无限形式”的结论，由于中学没有直接证明“无限”的手段。而结论的反面却是“有限”，故常常借助于反证法。 例 4 证明实数 lg3 是无理数。 证明：假设 lg3 是有理数。则它可以表示成 lg3=mn(m，n是互质的正整数，由对

5、数的定义，得210=3)。但10是偶数，而3是奇数，矛盾。因此实数 lg3 是无理数。 5待证命题的结论是以否定形式出现的，而否定的对象又是具体的，则结论的反面是肯定判断。 四、反证法的应用 1在代数中的应用 例 5 设x为任一实数证明：x，2x，nx中必有一个数，它与某整数之差的绝对值不大于 1n+1。 分析：如果能够证明x，2x，nx中的每个数与某整数之差的绝对值的和不大于 1n+1。则x，2x，nx中必有一个数，它与某整数之差的绝对值不大于 1n+1。但由于某整数不确定要么是ix ，或者是ix+1，对于这些差的绝对值求和要是分类讨论情况太多，直接处理不太好入手，不妨考虑反证法。 证明略。

6、 2在数论中的应用 例 6 已知 p 是一个三位数，且是质数，又 p 的百位数是 a，十位数是 b，个位数是 c。证明：关于 x 的一元二次方程ax2+bx+c=0无整数解。 分析：若用一元二次方程的求根公式bb24ac2a验证该式不是整数，已知条件不好用；若直接验证，将所有的三位质数罗列出来，太麻烦。可考虑用反证法。证明略。 3在几何中的应用 例 7 平面上有n(n3)个点，若经过其中任意两个点的直线必过这 n 个点中的第三个点，则这 n 个点都在同一条直线上。 分析：直接利用条件不知如何建构解题思路，若换个角度，用反证法，在有了 n 个点不共线这个条件以后，情况就大不一样了。 反证法的难点

7、在于提出与结论相反的假设后，如何合理地展开思路。 “特殊化”有时是反证法得以成功的一个重要突破口。 五、反证法中常用手法 1特殊位置 (1)极端位置 例 8 能否在平面上放置 2008 条线段，使得每一条线段的端点都严格地位于其他线段的内部？ 证明：假设可以放置 2008 条线段，使得它们的 4016 个端点全部严格地位于其他线段的内部，现取一定点 O，并找出 4016 个端点中离点 O 最远的点 A，于是，平面上再没有比点 A 到点 O 的距了更远的点了，由于点 A 严格位于另一线段 BC 内部，从而，点 A 是的边OBC的边 BC 上的点，故OAmaxOB， OC与点 A 是离O 最远的点

8、矛盾，故平面上不能放置满足题目要求的 2008 条线段。 (2)典型位置 例 9 将正整数 1 至 100 随意填入 1010 的方格表中，且生个方格填一个数。证明：必有某两个相邻方格(即具有公共边的方格)中所填数字之差不小于 6。 证明：假设可以找到一种填法使每两个相邻方格中所填数字之差都不超过 5，观察与 1 在同一行、与 100 在同一列的方格内的数字 a，由于 a 与 1 之间至多间隔 8 个方格，故a10095=46 又 a 与 100 之间也于多间隔 8 个方格，故a10095=55与式矛盾，从而原命题成立。2特殊值特殊的数字，个性化的特征，看似偶然，却蕴含着正确解释。 例 10

9、设f(x)、g(x)是0，1上的函数。证明：存在x0、y00，1，使得 x0y0f(x0)g(y0)14 分析：要找出具体的x0、y0，难以下手，不妨考虑用反证法。 证明：设这样的x0、y0不存在，取特殊值x0=0，y0=0，得f(0)+g(0)14 同理，f(0)+g(1)14，f(1)+g(0)14，1f(1)+g(1)14 故1=1f(1)g(1)+f(1)+g(0)+f(0)+g(1)f(0)+g(0)14+14+14+14=1 这不可能，故原命题成立。 3特殊运算相对独立的某些对象各有各的特点，不足以发现问题的本质，而通过特殊运算使之形成一个整体，矛3盾便暴露无遗了，如求和、求积、求

10、商等。 例 11 今有有限个砝码，它们的总重量是 1kg，将它们分别编号为 1，2，证明：从这有限个的砝码中必可找出一个编号为 n 的砝码，它的重量大于12nkg 证明：假设不存在这样一个编号 n，使得相应的砝码重量f(n)12n，假设共有 m 个砝码，m0，从而，有f(1)12，f(1)122，f(1)12m 累加求和得：1=f(1)+f(2)+L+f(m)112m矛盾。因此，所证命题成立。 4特殊图形图形是文字语言与符号语言的一种直观反映，而特殊图形所蕴含的直观特征，往往有助于对解题方向作出正确而迅捷的判断，如特殊点、特殊三角形、特殊四边形等。 例 12 空间中给出了 8 个已知点，其中任

11、意四点都不共面，现知以它们为端点连有 17 条线段。求证：这些线段至少形成了一个三角形。 分析：无法具体找出一个三角形，因此从反面来考虑为宜。 证明：假设这 17 条线段都没有形成三角形，并设点 A 是这 8 个点中连出线段条数最多的点，令从点 A 共连出 n条线段：AB1，AB2，ABn，于是，在 B1，B2，Bn 中的任意两点之间都没有线段相连(否则，易发现，它们就会形成三角形)。这样一来，即使其余的 7n 个点中的每个点也都连出了 n 条线段，但线段的总条数为n+(7n)n=n(8n)(n+8n2)2=16，其最在值仅为 16，与已知条件的 17 条相矛盾。 因此，这些线段至少形成了一个三角形。 参考文献 1陈凤仁：谈谈反证法 ， 大庆高等专科学校学报2000 年第 4 期。 2王明魁：浅谈反证法 ， 开封教育学院学报1988 年第 1 期。 3吴玮：高等数学中反证法的证题技巧 ， 青岛远洋船员学院学报2000 年第 2 期。