勾股定理的论文

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1、勾股定理的论文 关于勾股定理 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛， 其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚 至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复 被人炒作，反复被人论证。1940 年出版过一本名为毕达哥拉斯命题的勾股定理的证明 专辑，其中收集了 367 种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定 理的证明方法已有 500 余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这 是任何定理无法比拟的。 在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的

2、因为证明者身份的特殊 而非常著名。 在国外，尤其在西方，勾股定理通常被称为毕达哥拉斯定理这是由于，他们认为最 早发现直角三角形具有“勾 2+股 2=弦 2”这一性质并且最先给出严格证明的是古希腊的数 学家毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前 580公元前 500） 实际上，在更早期的人类活动中，人们就已经认识到这一定理的某些特例除我国在 公元前 1000 多年前发现勾股定理外，据说古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法则来确 定直角但是，这一传说引起过许多数学史家的怀疑比如，美国的数学史家 M克莱因 教授曾经指出：“我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理我们知道他们有拉绳 人（测量员）

3、 ，但所传他们在绳上打结，把全长分成长度为 3、4、5 的三段，然后用来形成 直角三角形之说，则从未在任何文件上得到证实 ”不过，考古学家们发现了几块大约完成 于公元前 2000 年左右的古巴比伦的泥版书，据专家们考证，其中一块上面刻有如下问题： “一根长度为 30 个单位的棍子直立在墙上，当其上端滑下 6 个单位时，请问其下端离开墙 角有多远？”这是一个三边为 3:4:5 三角形的特殊例子；专家们还发现，在另一块版板上 面刻着一个奇特的数表，表中共刻有四列十五行数字，这是一个勾股数表：最右边一列为 从 1 到 15 的序号，而左边三列则分别是股、勾、弦的数值，一共记载着 15 组勾股数这 说

4、明，勾股定理实际上早已进入了人类知识的宝库 证明方法： 先拿四个一样的直角三角形。拼入一个（a+b）的正方形中，中央米色正方形的面积： c2 。图（1）再改变三角形的位置就会看到两个米色的正方形，面积是（a2 ， b2） 。图 （2）四个三角形面积不变，所以结论是：a2 + b2 = c2 图（1） 图（2） 勾股定理的历史： 商高是公元前十一世纪的中国人.当时中国的朝代是西周,是奴隶社会时期.在中国古代 大约是战国时期 西汉的数学著作 周髀 算经中记录着商高同周公的一段对话.商高说:“故折矩,勾 广三,股修四,经隅五.“商高那段话的意思就是说:当直角三角形的两条直角边分别为 3(短边) 和

5、4(长边)时,径隅(就是弦)则为 5.以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五“.这就是 著名的勾股定理. 关于勾股定理的发现,周髀算经上说:“故禹之所以治天下者,此数之所由生也.“此数“ 指的是“勾三股四弦五“,这句话的意思就是说:勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的. 赵爽： 东汉末至三国时代吴国人 为周髀算经作注,并著有勾股圆方图说. 赵爽的这个证明可谓别具匠心,极富创新意识.他用几何图形的截,割,拼,补来证明代数式 之间的恒等关系,既具严密性,又具直观性,为中国古代以形证数,形数统一,代数和几何紧密结 合,互不可分的独特风格树立了一个典范.以后的数学家大 多继承了这一风格并且代

6、有发展.例如稍后一点的刘徽在 证明勾股定理时也是用的以形证数的方法,只是具体图形 的分合移补略有不同而已. 中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世 界数学史上具有独特的贡献和地位.尤其是其中体现出来 的“形数统一“的思想方法,更具有科学创新的重大意义.事 实上,“形数统一“的思想方法正是数学发展的一个极其重 要的条件.正如当代中国数学家吴文俊所说:“在中国的传 统数学中,数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发 展着的.十七世纪笛卡儿解析几何的发明,正是中国这种 传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续.“中国最早 的一部数学著作周髀算经的开头,记载着一段周 公向商高请教数学知识的对话

7、:周公问:“我听说您对数学非常精通,我想请教一下:天没有梯子 可以上去,地也没法用尺子去一段一段丈量,那么怎样才能得到关于天地得到数据呢?“商高回 答说:“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识.其中有一条原理:当直角三角形矩得到的 一条直角边勾等于 3,另一条直角边股等于 4 的时候,那么它的斜边弦就必定是 5.这个原理 是大禹在治水的时候就总结出来的呵.“ 毕达哥拉斯定理 Pythagoras theorem 在国外，相传勾股定理是公元前 500 多年时古希腊数学家毕达哥拉斯首先发现的。因 此又称此定理为“毕达哥拉斯定理” 。法国和比利时称它为“驴桥定理” ，埃及称它为“埃 及三角形”等。但

8、他们发现的时间都比我国要迟得多。美國總統的證明 伽菲尔德（James A. Garfield； 1831 - 1881）1881 年成為美國第 20 任總統 1876 年提出有關證明 总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好 者？答案是否定的事情的经过是这样的； 在 1876 年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德他走着走 着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争 论，时而小声探讨由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到 底在干什么只见一

9、个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形于是伽菲尔 德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两 条直角边分别为 3 和 4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是 5 呀 ”小男孩又问 道：“如果两条直角边分别为 5 和 7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔 德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于 5 的平方加上 7 的平方 ”小男孩又说道： “先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。 于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的 思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，

10、并给出了简洁的证明方法。他是这样分析的，如图所示：1876 年 4 月 1 日，伽菲尔德在新英格兰教育日志上发表了他对勾股定理的这一证 法。 1881 年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简 捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统。 ”证法。中国最早的一部数学著作周髀算经的开头，记载着一段周公向商高请教数学 知识的对话： 周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没 法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？” 商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体饿认识。其中有一条原理：当直角 三角形矩得到的一条直角

11、边勾等于 3，另一条直角边股等于 4 的时候，那么 它的斜边弦就必定是 5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。 ” 从上面所引的这段对话中，我们可以清楚地看到，我国 古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一 重要懂得数学原理了。稍懂平面几何饿读者都知道，所谓勾 股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。如图所示，我们图 1 直角三角形用勾（a）和股（b）分别表示直角三角形得到两条直角边，用弦（c）来表示斜边， 则可得： 勾 2+股 2=弦 2亦即： a2+b2=c2勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉 斯于公元前 55

12、0 年首先发现的。其实，我国古代得到人民对这一数学定理的发现和应用， 远比毕达哥拉斯早得多。如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商 高的对话则可以确定在公元前 1100 年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其 中所说的勾 3 股 4 弦 5，正是勾股定理的一个应用特例（32+42=52） 。所以现在数学界把它 称为勾股定理，应该是非常恰当的。在稍后一点的九章算术一书中，勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书 中的勾股章说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以 得到弦。 ”把这段话列成算式，即为： 弦=（勾 2+股 2）(1/2)亦即： c=（

13、a2+b2）(1/2)中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定 理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制 了一幅“勾股圆方图” ，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股 圆方图”中，以弦为边长得到正方形 ABDE 是由 4 个相等的直角三角形再加上中间的那个 小正方形组成的。每个直角三角形的面积为 ab/2；中间懂得小正方形边长为 b-a，则面积为 （b-a）2。于是便可得如下的式子：4（ab/2）+（b-a）2=c2化简后便可得： a2+b2=c2亦即： c=（a2+b2）(1/2)图 2 勾股圆方图勾股

14、定理趣事学过几何的人都知道勾股定理它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛迄 今为止，关于勾股定理的证明方法已有 400 多种其中，美国第二十任总统伽菲尔德的证 法在数学史上被传为佳话 总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是否定 的事情的经过是这样的； 勾股的发现 在 1876 年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏 黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德他走着走着，突然发现附近 的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探 讨由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到

15、底在干什么只 见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形于是伽菲尔德便问他们在干 什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为 3 和 4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是 5 呀 ”小男孩又问道：“如果两条直 角边分别为 5 和 7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答 到：“那斜边的平方一定等于 5 的平方加上 7 的平方 ”小男孩又说道：“先生，你能说出 其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。 于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的 思考与演算，终于弄清

16、楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。 1876 年 4 月 1 日，伽菲尔德在新英格兰教育日志上发表了他对勾股定理的这一证 法。 1881 年，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来， 勾股的证明人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总 统”证法。 勾股定理同时也是数学中应用最广泛的定理之一。例如从勾股定理出发逐渐发展了开 平方、开立方；用勾股定理求圆周率。据称金字塔底座的四个直角就是应用这一关系来确定的至今在建筑工地上，还在用它来放线，进行“归方” ，即放“成直角”的线。正因为这样，人们对这个定理的备加推崇便不足为奇了。1955 年希腊发行了一张邮 票，图案是由三个棋盘排列而成。这张邮票是纪念二千五百年前希腊的一个学派和宗教团 体 毕达哥拉斯学派