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1、切线长与弦切角专题11切线长定理与弦切角定理切线长定理与弦切角定理一、切线长定理 1、切线长： 我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长 2、切线长定理： 如图：因为 PA、PB 是 O的切线，A、B 是切点， 所以，PA=PB二、弦切角定理及其推论二、弦切角定理及其推论 1、弦切角、弦切角： _。问题： 以下各图中的角哪个是弦切角？2、弦切角定理：_ 3、弦切角定理的推论：_ 【运用举例】 例 1. 如图，PA、PB 是O 的切线，切点分别是 A、B，直线 EF 也是O 的切线，切点为Q，交 PA、PB 为 E、F 点，已知，求PEF 的周长.12PAcm切线长与弦切角
2、专题22例 2. 如图，AD 是 ABC 中BAC 的平分线，经过点 A 的O 与 BC 切于点 D，与 AB，AC 分别相交于 E，F. 求证：EFBC. .拓展提升拓展提升 已知：如图，P 为O 外一点，PA，PB 为O 的切线，A 和 B 是切点，BC 是直径 求证：ACOP课后训练学案课后训练学案 1.在ABC 中，AB=5cm BC=7cm AC=8cm, O 与 BC、AC、 AB 分别相切于 D、 E 、F，则 AF=_, BD=_ 、CF=_2.已知 PA、PB 切O 于A、B，APB=60，PA=4，则O 的半径为 。3.已知O 的半径为，点 P 到圆心 O 的距离为 2，则
3、过点 P 的两条切线的夹角为 33度，切线长为 。4.BC 是O 的弦，P 是 BC 延长线上一点，PA 与O 相切于点 A，ABC=25，ACB=80，则P 的度数为_5.已知O1和O2外切于点 B，PB 是两圆公切线，PA、PB 分别与O1、O2 相切于切线长与弦切角专题33A、C，如果 AP=2X-3,PC=X+3，则 x= 。6.已知：ABC 内接于O，ABC=25，ACB= 75，过 A 点作O 的切线交 BC 的延 长线于 P，则APB 等于( ) A62.5 B55 C50 D40 7.已知：如图 7149，PA，PB 切O 于 A，B 两点，AC 为直径，则图中与PAB 相等的
4、 角的个数为( ) A1 个； B2 个； C4 个； D5 个 8.已知如图 7150，四边形 ABCD 为圆内接四边形，AB 是直径，MN 切O 于 C 点， BCM=38，那么ABC 的度数是（ ） A38； B52； C68；D42 9.已知：如图 6，四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 和O 分别相切于点 L、M、N、P. 想一想： AB+CD 与 AD+BC 之间有什么关系？说明你结论的正确性。10.如图，AB 是O 的弦，CD 是经过O 上的点 M 的切线.求证： 如果 AB/CD，那么 AM=MB； 如果 AM=BM，那么 AB/CD.11.如下图，ABC 的BAC
5、 的平分线交外接圆于 D，交圆的切线 BE 于 E 求证：（1)EBD=DBC； （2）ABBE=AEDCPNMLOC DBA切线长与弦切角专题44切线长定理、弦切角、和圆有关的比例线段切线长定理、弦切角、和圆有关的比例线段定理的掌握。1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度， “切线长” 是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若 已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切 线，连结两个切点可得到一个
6、等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线 的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向 圆引的两条切线所夹的角。3.弦切角、顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。直线 AB 切O 于 P，PC、PD 为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角， “线”切线的性质定理及切线长定理。7.与圆有关的比例线段切线长与弦切角专题55定理图形已知结论证法 相交 弦定 理O 中，AB、CD 为弦，交于 PPAPBPCPD连
7、结 AC、BD，证： APCDPB相交 弦定 理的 推论O 中，AB 为直 径，CDAB 于 PPC2PAPB用相交弦定理切割 线定 理O 中，PT 切 O 于 T，割线 PB 交O 于 APT2PAPB连结 TA、TB，证： PTBPAT切割 线定 理推 论PB、PD 为O 的 两条割线，交 O 于 A、CPAPBPCPD过 P 作 PT 切O 于 T，用两次切割 线定理切线长与弦切角专题66圆幂 定理O 中，割线 PB 交O 于 A，CD 为弦PCPDr2OP2 PAPBOP2r2 r 为O 的半径延长 PO 交O 于 M，延长 OP交 O 于 N，用相交 弦定理证；过 P 作 切线用切割
8、线定理 勾股定理证8.圆幂定理：过一定点 P 向O 作任一直线，交O 于两点，则自定点 P 到两交点的两条线段之积为常数|（R 为圆半径） ，因为叫做点对于O 的幂， 所以将上述定理统称为圆幂定理。【典型例题典型例题】例1.如图1，正方形 ABCD 的边长为1，以 BC 为直径。在正方形内作半圆 O，过 A 作半 圆切线，切点为 F，交 CD 于 E，求 DE：AE 的值。图1例2.O 中的两条弦 AB 与 CD 相交于 E，若 AE6cm，BE2cm，CD7cm，那么 CE_cm。点拨：点拨：相交弦定理是较重要定理，结果要注意两种情况的取舍。图2例3.已知 PA 是圆的切线，PCB 是圆的割
9、线，则_。点拨：点拨：利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结论。切线长与弦切角专题77例4.如图3，P 是O 外一点，PC 切O 于点 C，PAB 是O 的割线，交O 于 A、B 两 点，如果 PA：PB1：4，PC12cm，O 的半径为10cm，则圆心 O 到 AB 的距离是 _cm。图3例5.如图4，AB 为O 的直径，过 B 点作O 的切线 BC，OC 交O 于点 E，AE 的延长线交 BC 于点 D， （1）求证：；（2）若 ABBC2厘米，求 CE、CD 的长。点悟：点悟：要证，即要证CEDCBE。有切线，并需寻找角的关系时常 添辅助线，为利用弦切角定理创造条件。图4例6.如
10、图5，AB 为O 的直径，弦 CDAB，AE 切O 于 A，交 CD 的延长线于 E。求证：切线长与弦切角专题88图5例7.如图6，PA、PC 切O 于 A、C，PDB 为割线。求证：ADBCCDAB点悟：点悟：由结论 ADBCCDAB 得，显然要证PADPBA 和PCD PBC图6例8.如图7，在直角三角形 ABC 中，A90，以 AB 边为直径作O，交斜边 BC 于 点 D，过 D 点作O 的切线交 AC 于 E。 求证：BC2OE。 点悟：点悟：由要证结论易想到应证 OE 是ABC 的中位线。而 OAOB，只须证 AECE。图7例9.如图8，在正方形 ABCD 中，AB1，是以点 B 为
11、圆心，AB 长为半径的圆的一段弧。点 E 是边 AD 上的任意一点（点 E 与点 A、D 不重合） ，过 E 作所在圆的切线，切线长与弦切角专题99交边 DC 于点 F，G 为切点。 当DEF45时，求证点 G 为线段 EF 的中点；图8【模拟试题模拟试题】 （答题时间：40分钟）一、选择题1.已知：PA、PB 切O 于点 A、B，连结 AB，若 AB8，弦 AB 的弦心距3，则 PA（ ）A. B. C. 5 D. 82.下列图形一定有内切圆的是（ ）A.平行四边形 B.矩形C.菱形 D.梯形3.已知：如图1直线 MN 与O 相切于 C，AB 为直径， CAB40，则MCA 的度数（ ） 图
12、1 A. 50 B. 40 C. 60 D. 55 4.圆内两弦相交，一弦长8cm 且被交点平分，另一弦被交点分为1：4，则另一弦长为（ ）A. 8cm B. 10cm C. 12cm D. 16cm5.在ABC 中，D 是 BC 边上的点，AD，BD3cm，DC4cm，如果 E 是 AD 的延长线与ABC 的外接圆的交点，那么 DE 长等于（ ）A. B. C. D. 6. PT 切O 于 T，CT 为直径，D 为 OC 上一点，直线 PD 交 O 于 B 和 A，B 在线段 PD 上，若 CD2，AD3，BD4，则 PB 等于（ ）A. 20 B. 10 C. 5 D. 二、填空题7. A
13、B、CD 是O 切线，ABCD，EF 是O 的切线，它和 AB、CD 分别交于 E、F，则 EOF_度。8.已知：O 和不在O 上的一点 P，过 P 的直线交O 于 A、B 两点，若切线长与弦切角专题1010PAPB24，OP5，则O 的半径长为_。9.若 PA 为O 的切线，A 为切点，PBC 割线交O 于 B、C，若BC20，则 PC 的长为_。10.正ABC 内接于O，M、N 分别为 AB、AC 中点，延长 MN 交O 于点 D，连结BD 交 AC 于 P，则_。 三、解答题三、解答题11.如图2，ABC 中，AC2cm，周长为8cm，F、K、N 是ABC 与内切圆的切点，DE 切O 于点 M，且 DEAC，求 DE 的长。图212.如图3，已知 P 为O 的直径 AB 延长线上一点，PC 切O 于 C，CDAB 于 D，求 证：CB 平分DCP。图313.如图4，已知 AD 为O 的直径，AB 是O 的切线，过 B 的割线 BMN 交 AD 的延长线于 C，且 BMMNNC，若 AB，求O 的半径。图4
