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1、WtuWgifWtuWgif120152015 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）数学（理工类）本试卷分为第本试卷分为第卷（选择题）和第卷（选择题）和第（非选择题）两部分，共（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时分，考试用时 120分钟。第分钟。第卷卷 1 至至 3 页，第页，第卷卷 4 至至 6 页。页。答卷前，答卷前，考生务必将自己的姓名、考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，
2、用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！祝各位考生考试顺利！第第 I I 卷卷注意事项：注意事项：1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2.本卷共本卷共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分参考公式：参考公式：如果事件如果事件 A，B 互斥，那么互斥，那么如果事件如果事件 A，B 相互独立，
3、相互独立，P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)P(B)柱体的体积公式柱体的体积公式 V 柱体柱体=Sh 锥体的体积公式锥体的体积公式 V=V=1/3Sh其中其中 S 表示柱体的底面积其中表示柱体的底面积其中 S 表示锥体的底面积，表示锥体的底面积，h 表示柱体的高表示柱体的高h 表示锥体的高表示锥体的高第第卷注意事项：本卷共卷注意事项：本卷共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.WtuWgifWtuWgif2（1）已知全集）已知全集
4、，集合，集合，集合，集合，1,2,3,4,5,6,7,8U 2,3,5,6A 1,3,4,6,7B 则集合则集合ACuB=（A）（B）（C）（D）2,53,62,5,62,3,5,6,8（2）设变量）设变量满足约束条件满足约束条件，则目标函数，则目标函数的最大值为的最大值为, x y2030230xxyxy 6zxy（A）3（B）4（C）18（D）40（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为的值为（A）（B）6（C）14（D）1810（4）设）设，则，则“”是是“”的的xR21x220xxWtuWgifWtuWgif3（A）充分而
5、不必要条件）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件）必要而不充分条件（C）充要条件）充要条件（D）既不充分也不必要条件）既不充分也不必要条件（5）如图，在圆）如图，在圆中，中，是弦是弦的三等分点，弦的三等分点，弦分别经过点分别经过点.若若O,M NAB,CD CE,M N，则线段，则线段的长为的长为2,4,3CMMDCNNE（A）（B）3（C）（D）8 310 35 2（6）已知双曲线）已知双曲线的一条渐近线过点的一条渐近线过点，且双曲线的一，且双曲线的一222210,0xyabab2, 3个焦点在抛物线个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为的准线上，则双曲线的方程为24 7yx（A）（B）
6、22 12128xy22 12821xy（C）（D）22 134xy22 143xy（7）已知定义在）已知定义在上的函数上的函数（为实数）为偶函数，记为实数）为偶函数，记R 21x mf xm，则，则的大小关系为的大小关系为0.52(log3),log 5 ,2afbfcfm, ,a b c（A）（B）abcacbWtuWgifWtuWgif4（C）（D）cabcba（8）已知函数）已知函数函数函数，其中，其中， 22,2,2,2,xx f x xx 2g xbfxbR若函数若函数恰有恰有 4 个零点，则个零点，则的取值范围是的取值范围是 yf xg xb（A）（B）7,47,4（C）（D）7
7、0,47,24第第 IIII 卷卷注意事项：注意事项：1 1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. .2 2、本卷共、本卷共 1212 小题，共计小题，共计 110110 分分. .二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分.（9） 是虚数单位，若复数是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数是纯虚数，则实数的值为的值为 .i1 2iaia（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：）一个几何体的三视图如图所示（单位：） ，m则该几何体的体积为则该几何体的体积为 .3mWtuWgifWtuWgi
8、f5（11）曲线）曲线与直线与直线所围成的封闭图形的面积为所围成的封闭图形的面积为 .2yxyx（12）在）在的展开式中，的展开式中，的系数为的系数为 .61 4xx2x（13）在）在中，内角中，内角所对的边分别为所对的边分别为，已知，已知的面积为的面积为ABC, ,A B C, ,a b cABC，则则的值为的值为 .3 1512,cos,4bcA a（14）在等腰梯形）在等腰梯形中中,已知已知,动点动点和和ABCD/ /,2,1,60ABDC ABBCABCoE分别在线段分别在线段和和上上, .FBCDC1,9BEBC DFDCAE AFuuu ruuu r uuu ruuu ruuu r
9、 uuu rg且则的最小值为三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤骤15.（本小题满分（本小题满分 13 分）已知函数分）已知函数， 22sinsin6f xxxRx(I)求求最小正周期；最小正周期；( )f x(II)求求在区间在区间上的最大值和最小值上的最大值和最小值.( )f x,3 4 16.（本小题满分（本小题满分 13 分）分）WtuWgifWtuWgif6为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动
10、员组队参加.现有来自甲现有来自甲协会的运动员协会的运动员 3 名，其中种子选手名，其中种子选手 2 名；乙协会的运动员名；乙协会的运动员 5 名，其中种子选手名，其中种子选手 3 名名.从这从这 8名运动员中随机选择名运动员中随机选择 4 人参加比赛人参加比赛.(I)设设 A 为事件为事件“选出的选出的 4 人中恰有人中恰有 2 名种子选手，且这名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一个协会名种子选手来自同一个协会”求事件求事件 A 发生的概率；发生的概率；(II)设设 X 为选出的为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量人中种子选手的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望的分布列和数学
11、期望.17.（本小题满分（本小题满分 13 分）分）如图，在四棱柱如图，在四棱柱中，侧棱中，侧棱,1111ABCDABC D-1A AABCD 底面ABAC1AB =,且点且点 M 和和 N 分别为分别为的中点的中点.12,5ACAAADCD=11CDBD和(I)求证：求证：MN平面平面 ABCD(II)求二面角求二面角的正弦值；的正弦值；11DACB-(III)设设 E 为棱为棱上的点，若直线上的点，若直线 NE 和平面和平面 ABCD 所成角的正弦值为所成角的正弦值为，求线段，求线段11AB1 3的长的长1EA18.（本小题满分（本小题满分 13 分）分）已知数列已知数列满足满足，且，且n
12、a* 212(q)nN ,1,2nnaqaaa为实数，且q1，WtuWgifWtuWgif7成等差数列成等差数列.233445,aa aa aa+(I)求求 q 的值和的值和的通项公式；的通项公式；na(II)设设，求数列，求数列的前的前 n 项和项和.*2221log,n n nabnNanb19.（本小题满分（本小题满分 14 分）已知椭圆分）已知椭圆的左焦点为的左焦点为,离心率离心率2222+=1(0)xyababF-c（, 0）为为，点，点 M 在椭圆上且位于第一象限，直线在椭圆上且位于第一象限，直线 FM 被圆被圆截得的线段的长为截得的线段的长为 c，3 34 22+4bxy =.4
13、 3|FM|=3(I)求直线求直线 FM 的斜率；的斜率；(II)求椭圆的方程；求椭圆的方程；(III)设动点设动点 P 在椭圆上，若直线在椭圆上，若直线 FP 的斜率大于的斜率大于，求直线，求直线 OP（O 为原点）的斜率为原点）的斜率2的取值范围的取值范围.20.（本小题满分（本小题满分 14 分）分）已知函数已知函数，其中，其中.( )n,nf xxxxR*n,n2N(I)讨论的单调性；( )f x(II)设曲线与轴正半轴的交点为 P，曲线在点 P 处的切线方程为,求( )yf x=x( )yg x=证：对于任意的正实数，都有；x( )( )f xg x(III)若关于的方程有两个正实根
14、，求证：x( )=a(a)f x为实数12xx，.21|-|21ax xn+-绝密启用前WtuWgifWtuWgif82015 年普通高等学校招生全套统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 5 分，满分分，满分 4040 分。分。（1 1）A A（2 2）C C（3 3）B B（4 4）A A（5 5）A A（6 6）D D（7 7）C C（8 8）D D二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 5 分，满分分，满分 3030 分。分。（9
15、9）-2-2（1010）（1111）8 31 6（1212）（1313）8 8（1414）15 1629 18三、解答题三、解答题（1515）本小题主要考查两角差的正弦公式和余弦公式、二倍角的正弦公式和余弦公式，）本小题主要考查两角差的正弦公式和余弦公式、二倍角的正弦公式和余弦公式， 三角函数的最小正周期、单调性等基础知识。考查基本运算能力。满分三角函数的最小正周期、单调性等基础知识。考查基本运算能力。满分 1313 分。分。（I I）解：由已知，有）解：由已知，有= =1 cos(2)1 cos23( )22xxf x1 131cos2sin2cos22 222xxx311sin2cos2sin 24426xxx所以，所以，的
