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1、专题 5 点列、递归数列和数学归纳法 第 1 页（共 10 页）yx专题专题 5 点列、点列、递归递归数列和数学数列和数学归纳归纳法法高考在考什么高考在考什么【考题回放考题回放】 1已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 Sn=2(an -1)，则 a2等于( A ) A. 4 B. 2 C. 1 D. -2 2在数列中，且，则 na121,2aa21 ( 1)nnnaa *()nN10S35 3在数列an中，若 a1=1,an+1=2an+3 (n1),则该数列的通项 an=_2 n+1-3_.4对正整数 n，设曲线在 x2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为，)1 (xxynna则数列的
2、前 n 项和的公式是 2n+1-2 . 1nan5已知 n 次式项式.nnnn naxaxaxaxP 11 10)(L若在一种算法中，计算的值需要 k1 次乘法，计算 P3（x0）), 4 , 3 , 2(0nkxkL的值共需要 9 次运算（6 次乘法，3 次加法），则计算 P10（x0）的值共需要 65 次 运算. 下面给出一种减少运算次数的算法：P0（x）=a0，Pk+1（x）=xPk（x） +ak+1（k=0，1，2，n1）.利用该算法，计算 P3（x0）的值共需要 6 次运算，计算 Pn（x0）的值共需要 2n 次运算. 6已知函数 f (x)=，数列x (x 0)的第一项 x 1，以
3、后各项按如32xx nnn 下方式取定：曲线 x=f (x)在处的切线与)(,(11nnxfx经过（0，0）和（x ,f (x )）两点的直线平行（如图）.nn求证：当 n时，*N() x ;2312 12 nnnnxxx（）.21)21()21(n nnx【专家解答专家解答】(I ) 证明：因为2( )32 ,fxxx所以曲线在处的切线斜率( )yf x11(,()nnxf x12 1132. nnnkxx 即和两点的直线斜率是 以.(0,0)(,()nnxf x2,nnxx22 1132nnnnxxxx（II）因为函数，当时单调递增，2( )h xxx0x 而，22 1132nnnnxxx
4、x2 1142nnxx2 11(2)2nnxx所以，即 因此12nnxx11,2nnxx1121211( ).2nnn nnnxxxxxxx又因为 令 则 122 12(), nnnnxxxx 2,nnnyxx11.2nnyy专题 5 点列、递归数列和数学归纳法 第 2 页（共 10 页）因为 所以2 1112,yxx12 111( )( ).22nn nyy因此 故221( ),2n nnnxxx1211( )( ).22nn nx高考要考什么高考要考什么【考点透视考点透视】 本专题是等差（比）数列知识的综合应用，同时加强数学思想方法的应用，是历 年的重点内容之一，近几年考查的力度有所增加，
5、体现高考是以能力立意命题的原 则 【热点透析热点透析】 高考中常常把数列、极限与函数、方程、不等式、解析几何等等相关内容综合在 一起，再加以导数和向量等新增内容，使数列综合题新意层出不穷常见题型： （1）由递推公式给出数列，与其他知识交汇，考查运用递推公式进行恒等变形、 推理与综合能力 （2）给出 Sn与 an的关系，求通项等，考查等价转化的数学思想与解决问题能 力 （3）以函数、解析几何的知识为载体，或定义新数列，考查在新情境下知识的迁 移能力 理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用，注意不等式型的递推数列突破重难点突破重难点【范例范例 1】已知数列中，对一切自然数，都有且 nan10
6、,an0212 1nnnnaaaa求证：(1)；nnaa21 1(2)若表示数列的前项之和，则nS nan12aSn解析：解析： (1)由已知得，0212 1nnnnaaaa2 11 12 nn naaa又因为，所以, 因此，即10,an1102 1na12nnaannaa21 1(2) 由结论(1)可知 ，即，1122121 21 21aaaannnnL1121aann于是，21211111111 2 11 211222nnnSaaaaaaaa L LL L即12aSn【点睛点睛】从题目的结构可以看出，条件是解决问题的关0212 1nnnnaaaa专题 5 点列、递归数列和数学归纳法 第 3
7、 页（共 10 页）键，必须从中找出和的关系1nana【文文】记).1(0521681111naaaaaannnnn且满足).1(211 n abnn（）求 b1、b2、b3、b4的值；（）求数列的通项公式及数列的前 n 项和nbnnba.nS解析解析（I）, 052168,21121111 nnnn nnnnaaaaba ab代入递推关系得整理得,342, 03641 11 nn nnnnbbbbbb即.320, 4,38, 2, 143211bbbba所以有由（）由, 032 34),34(234,342111bbbbbnnnn所以故的等比数列公比是首项为,2,3234qbn1 12212
8、41142 ,2(1).3333 111,12 2 1()2 1(1 2 )513(251).1 233nn nnnnnnnnnnnnnbbnba bb aSaba ba bbbbnnn LL即即即即【范例范例 2】设数列的前项的和， nan14122333n nnSa1,2,3,n g g g（）求首项与通项；1ana（）设，证明：2nn nTS1,2,3,n g g g13 2ni iT解析解析 ()由 Sn= an 2n+1+ , n=1,2,3， 431323得 a1=S1= a1 4+ 所以 a1=2.431323再由有 Sn1= an1 2n+ , n=2,3，4,431323专题
9、 5 点列、递归数列和数学归纳法 第 4 页（共 10 页）将和相减得: an=SnSn1= (anan1) (2n+12n), n=2,3, 4313 整理得: an+2n=4(an1+2n1),n=2,3, , 因而数列an+2n是首项为 a1+2=4,公比为 4 的等比数列，即 an+2n = 44 n1= 4 n, n=1,2,3, , 因而 an=4n2n, n=1,2,3, () Sn= (4n2n)2n+1 + = (2n+11)(2n+12) = (2n+11)(2n1) 4313231323Tn= = = ( )2nSn322n(2n + 11)(2n1)3212n112n
10、+ 11所以 = ) = ( ) 0 为常数，x1=1, x2=2.1nnPP（1）设 an=xn+1xn，求数列a n的通项公式； （2）设 f ()=x n，当 变化时，求 f ()的取值范围. nlim解析解析 （1）由题得 11 2121,111nnnnn nnnnxxxxaxaxx an是首项为 1，公比为的等比数列，1211,axx即1 111()1n na 121321121(2)()()()1.11230, | 1.lim1.11211nnnnnnxxxxxxxxaaax QKK即当 0 时 2(2) 113( )2( ,2)222f (文) 设曲线与一次函数 yf（x）的图象
11、关于直线 yx 对称，若 f (-1)=0，且点 在曲线上，又 a1= a21(1,)n n naP na（1）求曲线 C 所对应的函数解析式； （2）求数列a nd 的通项公式 解析：（1）yx-1 (2) a n（n1）！8（理）过 P（1，0）做曲线 C：y=xk(x(0,+),kN+，k1)的切线，切点为 Q1，设 Q1在 x 轴上的投影为 P1，又过 P1做曲线 C 的切线，切点为 Q2，设 Q2在 x 轴 上的投影为 P2，依次下去得到一系列点 Q1、Q2、Q3、Qn的横坐标为 an，求 证： （）数列an是等比数列；（）；11knan（） nininiiaaaakkai121 1
12、2).:(L注专题 5 点列、递归数列和数学归纳法 第 9 页（共 10 页）解：（）若切点是，,1kkxy),(k nnnaaQ则切线方程为).(1 nk nk naxkaay当时，切线过点 P（1，0）即得1n).1 (011 11akaakk.11kka当时，切线过点即得1n)0 ,(11nnaP).(011 nnk nk naakaa .11kk aann数列是首项为，公比为的等比数列. 6 分na1kk 1kk .)1(n nkka（）nn nnnnnn nkCkCkCCkkka)11()11(11)111 ()1(2210 L.111110 kn kCCnn（）记，nnnan an
13、 aaS12121L则.1211132nnnan an aaSkkL两式相减nnnnaaaaan aaaaSkk11111111)11 (3211321LL. 11, 1,.)1(1)1(11)1(1 1 12kkSkSkkNkkkkkkkk kkSknnnnnQ（文）已知曲线 C：xy=1，过 C 上一点作一斜率为的),(nnnyxA21 nnxk直线交曲线 C 于另一点，点列的横坐标构成数列),(111nnnyxA),3,2,1(LnAn，其中nx7111x（1）求与的关系式； （2）求证：是一等比数列.nx1nx31 21nx解析：（1）过 C：上一点作斜率为的直线交 C 于另一点xy1),(nnnyxAnk，1nA则，于是 2111111111 nnnnnnnnnnn nxxxxxxx xxyyk 21nnnxxx专题 5 点列、递归数列和数学归纳法 第 10 页（共 10 页）（2）记，则31 21nnxa，n nnnnnax xxxa2)31 21(231221 31 2111 因为，0231 21,711111xax而因此数列是等比数列31 21nx
