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1、“二倍角的正弦、余弦、正切”教学设计王金城 叶志良设计理念：设计理念：根据皮亚杰的认知发展理论，在个体从出生到成熟的发展过程中，智力发展可以分为具有不同的质的四个主要阶段：激活原有认知结构、构建新的认知结构、尝试新的认知结构、发展新的认知结构。发展的各个阶段顺序是一致的，前一阶段总是达到后一阶段的前提。阶段的发展不是间断性的跳跃，而是逐渐、持续的变化。皮亚杰的认知发展阶段论为发展性辅导中学生智力发展水平的评估和诊断，提供了重要的理论依据。教学内容：教学内容：普通高中课程标准实验教科书（数学）必修 4（人教 A 版），第三章、第一节、第 145148 页。 “二倍角的正弦、余弦、正切”是在研究了
2、两角和与差的三角函数的基础上研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式，它既是两角和的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简和证明提供了非常有用的理论工具，通过对二倍角公式的推导知道：二倍角公式的内涵是“揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律”，通过推导还让学生了解高中数学中由“一般”到“特殊”的化归数学思想，因此这节课也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力都有重要意义。 教学目标：教学目标：根据新课程标准的要求、本节教材的特点和学生对三角函数的认知特点，我们把本节课的教学目标确定为：1、能从两角和的正弦、余弦、正切公式出发推导出二倍
3、角的正弦、余弦、正切公式，理解它们的内在联系，从中体会数学的化归思想和数学规律的发现过程。2、掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，通过对二倍角公式的正用、逆用、变形使用，提高三角变形的能力，以及应用转化、化归、换元等数学思想方法解决问题的能力。3、通过一题多解、一题多变，激发学生的学习兴趣，培养学生的发散性思维、创新意识和数学情感，提高数学素养。学情分析：学情分析：我们的学生从认知角度上看，已经比较熟练的掌握了两角和与差的三角函数的基础上。从学习情感方面看，大部分学生愿意主动学习。从能力上看，学生主动学习能力、探究的能力、较弱。教材分析：教材分析：对公式的引入改变了教材中直接填结果的做法，而是通
4、过提出问题，设置情景对和角公式中的角、的关系特殊情形时的简化，让学生探讨发现、推证得出二倍角公式，这样学生会感到自然，好接受，并可清晰知道和角的三角函数与二倍角公式的联系，同时让学生学会怎样发现数学规律，并体会到化归（这里是将一般化归到特殊）这一基本数学思想在发现中所起的作用，对教材的例题则有所增减，处理方式也有适当改变。教学重点、难点教学重点、难点重点：使学生在掌握了和角、差角公式后如何将和角公式化为二倍角公式，以及公式的两种变形和公式成立的条件；如何学会去发现数学规律，并体会化归、转化等基本数学思想在发现中所起的作用，能正确应用这些公式进行三角化简、求值、证明等。难点：灵活应用二倍角公式变
5、形的态式，熟练解三角综合题。教学过程教学过程 一、复习启发、设置情景、引出正题一、复习启发、设置情景、引出正题1、（复习性提问）：请同学回顾两角和的公式（学生回答，教师板书）2、（探索性提问）当上述公式中角、具有特殊化关系时，公式变为什么形式？请一名学生到黑板上演示简化，其他同学在座位上做。学生板书：3、集体订正后，引导学生观察其结构，并指名回答观察结果（学生回答：左边角均为，右边角均为，具有“二倍”关系）4、引入正题师：肯定学生观察结论准确，并加以说明公式中蕴含着“对称”、“和谐”之美教师板书（放幻灯片）二倍角公式简记为即为我们今天要学习的二倍角公式 【设计计意意图图：复复习习已学公式，已学
6、公式，对对其特殊化。其特殊化。让让学生学会从学生学会从“一般一般”到到“特殊特殊”的化的化归归方法，从而方法，从而达到达到“温故知新温故知新”的教学目的的教学目的】 二、引导探究、深化认识二、引导探究、深化认识1、回忆推导过程，让学生明确二倍角公式是和角公式的特殊情形。知道二者之间的联系2、（探索性提问）对：中的平方联想到，有无其他变式？（学生探索、总结得出两种变式：）3、（深化性提问）：有了这组二倍角公式，我们是否可以放心大胆的应用呢？（学生：不能，要注意公式成立的条件）引导学生联想和角公式的条件，利用类比的方法，探索出二倍角公式的条件指出：尤其注意成立的条件【设计设计意意图图：引：引导导学
7、生学生应应用用联联想、想、类类比的教学思想、得出公式成立的条件比的教学思想、得出公式成立的条件】4、（探索性提问）在中，当左边的时，虽然右边的不存在，但左边的存在，能否用求？该怎样求？引导学生：改用诱导公式：【设计设计意意图图：引：引导导学生学生对对特殊情形，另辟蹊径，特殊情形，另辟蹊径，寻寻找求解依据，培养学生找求解依据，培养学生细细致、灵活的探致、灵活的探索索习惯习惯】5、二倍角公式中的倍数关系是相对的，为深化对二倍角公式的理解，出示一组填空题（放幻灯片）（1）填角（2）（填号）一般情况下：【设计设计意意图图：通：通过过填空，填空，让让学生灵活理解学生灵活理解“二倍角二倍角”的含的含义义，
8、根据学生易混点，根据学生易混点，类类比公式，比公式，展开展开训练训练，达到，达到“跨越障碍、突破跨越障碍、突破难难点点”之目的之目的】三、巩固公式，学习应用三、巩固公式，学习应用出示四道例题，学生分组训练，每组一题，做完后组内交流，订正答案，最后教师引导学生小结方法、技巧、要点、解题规范等。放幻灯片（第一组学生做）例 1、不查表,求下列函数值【设计设计意意图图：通：通过过直接直接应应用公式、用公式、间间接接应应用公式、一用公式、一题题多解多解,巩固二倍角公式巩固二倍角公式】(第二组学生做)例 2、已知，求的值。讲评：此题目中对角有范围限制,做题中应注意什么?仅知道值,欲求二倍角正弦、余弦、正切
9、,先需要知道什么? 在求值时,要灵活应用三种等价形式,并注意在求解过程中要尽量使用已知的原始数据,减少错误的可能性【设计设计意意图图：由浅入深：由浅入深,巩固公式巩固公式,培养学生培养学生规规范、科学解范、科学解题题的能力的能力,教教给给学生小学生小结结解解题经题经验验,做后反思做后反思】(第三组学生做)例 3、证明 讲评：证法 1：等价证：证法 2：等价证：证法 3：巧妙应用“1”，即用“”代换，后略。【设计设计意意图图： ：让让学生学会等价学生学会等价证证明、明、转转化化证题证题及一及一题题多多证证，以培养学生数学思，以培养学生数学思维维的灵活的灵活性、散性、散发发性及性及创创造性思造性思
10、维维，加深巩固二倍角公式和，加深巩固二倍角公式和综综合合应应用已学用已学过过的技巧的技巧证题证题】(第四组学生做)例 4、利用三角公式化简讲评：此题技巧是：先将“切化弦”，然后用已学过的知识和二倍角公式化简【设计设计意意图图：复：复习应习应用所学知用所学知识识解解简单简单三角三角综综合合问题问题，培养学生，培养学生综综合解合解题应题应用能力用能力】四、提炼总结四、提炼总结放幻灯片放幻灯片（1）在两角和的三角函数公式中，当时，就可得到二倍角的三角函数公式。说明：后者是前者的特例。（2）中角没有条件限制，而中，只有时才成立。（3）二倍角公式不仅限于是的二倍形式，其他如是的二倍，是的二倍，是的二倍等
11、等都适用，要熟悉这些多形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活应用公式的关键。有三种形式：。要依据条件灵活应用公式，另外逆用此公式时更要注重结构形式。【设计设计意意图图：使学生：使学生对对本本节课节课所学知所学知识识的的结结构有一个清晰的构有一个清晰的认识认识，抓住重点、，抓住重点、难难点，关点，关键键进进行行课课后复后复习习巩固巩固】五、作业布置：五、作业布置：必做：教科书 P150 习题 3.1A 组 14、15【设计设计意意图图：培养学生自：培养学生自觉觉学学习习的的习惯习惯， ，检查检查学学习习效果，及效果，及时时反反馈馈，插漏，插漏补补缺缺】选做：（1）用、表示、
12、（即推导三倍角公式）（2）已知：。【设计设计意意图图： ：对对学有余力的学生留出自我学有余力的学生留出自我发发展的空展的空间间， ，尝试尝试能力，拓展能力，拓展创创新新】设计思路：设计思路：1、本节公式比较多，首先要搞清楚各公式之间的内在联系，也就是要很好地理解上面的知识结构图，其次理解如何由和角公式推导倍角公式，然后明确倍角的含义，熟练地运用倍角公式进行求值、化简等三角运算及恒等变形。2、在三角式的运算及恒等变形过程中，除了倍角公式外，也离不开前面所学的同角三角函数关系、诱导公式以及和角公式等，它们是一个有机整体。在解题过程中要求学生先分析条件与求解目标之间的差异，选择恰当的公式进行转化沟通，然后明确解题思路，设计解题步骤，完善解答过程，培养逻辑思维能力。3、我们通过一题多解，使我们学会数学思考与推理，训练发散性思维，培养创造新意识，提高数学素养。4、以公式特殊情形化简为切入点以学生探索、推导、应用为主线以学生发展能力为目的板书设计：板书设计：
