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1、直线的倾斜角和斜率(3.1.1) 教学目标:1.正确理解直线的倾斜角和斜率的概念2.理解直线的倾斜角的唯一性.3.理解 直线的斜率的存在性.4.斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式 5.培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力帮助学生进 一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和 求简的数学精神 重点与难点: 直线的倾斜角、斜率的概念和公式. 教学过程： 1.直线的倾斜角的概念 我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点 P 的直线 l 的位置能 确定吗? 如图, 过一点 P 可以作无数多条直线 a,b
2、,c, 易见,答案是否定的.这些直线有 什么联系呢?(1)它们都经过点 P. (2)它们的倾斜程度不同. 怎样 描述这种倾斜程度的不同? 引入直线的倾斜角的概念: 当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准, x 轴正向 与直线 l 向上方向之间所成的角 叫做直线 l 的倾斜角. 特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 规定 = 0. 问: 倾斜角 的取值范围是什么? 0180. 当直线 l 与 x 轴垂直时, = 90. 因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角 来表示平面直角坐标系内的每一条 直线的倾斜程度. 如图, 直
3、线 abc, 那么它们 的倾斜角 相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角 不能确定一条直线. 确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点 P 和一个倾斜角 . (二)直线的斜率: 一条直线的倾斜角 (90)的正切值叫做这条直 线的斜率,斜率常用小写字母 k 表示,也就是k = tan 当直线 l 与 x 轴平行或重合时, =0, k = tan0=0; 当直线 l 与 x 轴垂直时, = 90, k 不存在. 由此可知, 一条直线 l 的倾斜角 一定存在,但是斜率 k 不一定存在. 例如, =45时, k = tan45= 1; =135时, k = tan135= tan(180
4、 45) = - tan45= - 1. 学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度.(三) 直线的斜率公式: 给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2,如何用两点的坐标来表示直线 P1P2 的斜率? 可用计算机作动画演示: 直线 P1P2 的四种情况, 并引导学生如何作辅助线, 共同完成斜率公式的推导.(略) 斜率公式: k=(y1-y2)/(x1-x2 ) PcbaYXOYXcbaO对于上面的斜率公式要注意下面四点： (1) 当 x1=x2 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角 = 90, 直线与 x 轴垂直； (2)k 与 P1、P2 的顺序无关,
5、即 y1,y2 和 x1,x2 在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能交换; (3)斜率 k 可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得; (4) 当 y1=y2 时, 斜率 k = 0, 直线的倾斜角 =0，直线与 x 轴平行或重合. (5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到(四)例题: 例 1 已知 A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线 AB, BC, CA 的斜率, 并判断它们 的倾斜角是钝角还是锐角.(用计算机作直线, 图略) 分析: 已知两点坐标, 而且 x1x2, 由斜率公式代入即可求得 k 的值;而当 k = tan0 时
6、, 倾斜角 是锐角;而当 k = tan=0 时, 倾斜角 是 0. 略解: 直线 AB 的斜率 k1=1/70, 所以它的倾斜角 是锐角;直线 BC 的斜率 k2=-0.50, 所以它的倾斜角 是锐角. 例 2 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为 1, -1, 2, 及-3 的直线 a, b, c, l. 分析:要画出经过原点的直线 a, 只要再找出 a 上的另外一点 M. 而 M 的坐标可以根据 直线 a 的斜率确定; 或者 k=tan=1 是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x 轴的 正半轴为角的一边, 在 x 轴的上方作 45的角, 再把所作的这一边反向延长成直线 即可.
7、 略解: 设直线 a 上的另外一点 M 的坐标为(x,y),根据斜率公式有1=(y0)(x0)所以 x = y可令 x = 1, 则 y = 1, 于是点 M 的坐标为(1,1).此时过原点和点M(1,1), 可作直线 a.同理, 可作直线 b, c, l.(用计算机作动画演示画直线过程)(五)练习: P91 1. 2. 3. 4.(六)小结:(1)直线的倾斜角和斜率的概念(2) 直线的斜率公式.(七)课后作业: P94 习题 3.1 1. 3.(八)板书设计:3.1.1 1直线倾斜角的概念直线倾斜角的概念 3.例例 1 练习练习 1 练习练习 3 2. 直线的斜率直线的斜率4.例例 2 练习练习 2 练习练习 4
