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1、高中数学辅导网 http:/京翰教育 1 对 1 家教 http:/ 妙解靠智妙解靠智立体几何客观题重在考查空间想象、推理与计算等逻辑思维，解答应尽量避免“小题 大做”，选择合理的答题途径，熟记相关结论不失为好方法，正所谓“拙解凭力，妙解靠 智”！ 例 1 在三棱柱ABCA B C 中，点EFHK，分别为ACCBA BB C ，的中 点，G为ABC的重心，从KHGB，中取一点作为，使得该棱柱恰有 2 条棱与 平面PEF平行，则为（ ）. （A） （B） （C） （D）B拙解：如图 1，若选B，连结ACEF，是A B C 的中位线，则EFA B ，三棱柱 各棱中，仅有AB面CEF（即B EF），
2、排除（D） 如图 2，若选K，设是A C 的中点，连结FK，和EN，则EFKN为平行四边形， 三棱柱各棱中，有 5 条棱即AABBCCABA B ，都与面EFKN（即平面EFK）平行， 排除（A） 如图 3，若选，连结BC，则已有A CHFABEFA BEF ，等，也不止 2 条棱与面EFH平行，排除（B）只能选（）.点评：这是 2005 年湖北卷第 10 题有一定的难度，在选择题中再设计了“选择”， 有的考生因为选择的层次较多，把选择题所暗示有关信息抛弃了，干脆当成普通题来解， 使得小题变成了实实在在的大题!其实，抓住ABC的重心G，是破解本题的关键 妙解：三棱柱一共有 9 条棱，要从中仅仅
3、选出 2 条棱与平面 PEF 平行，显然 3 条侧棱 是不可能的，因为它们在“平行”上是“整体捆绑”的于是点可以排除符合条件的 2 条棱只能在上下底棱中，而且应在同一个侧面上，应该就是棱ABA B ，它们都平行于 平面PEF内的直线EF由于B在棱A B 上，B被排除又EH平行于BC，点H被排 除只能选（）. 点评：面对着众多的选择对象，往往有两种选择方式：一是随便拿一个来检验，不对时再 换一个；二是考虑“可能性最大”的那一个来检验.后一种办法靠直觉思维，并非“信手拈 来”直觉是建立在积累之上所养成的习惯，积淀既深便是一种“自然行为” 例 2 将半径都为 l 的 4 个钢球完全装入形状为正四面体
4、的容器里，这个正四面体的高的 最小值为（ ）.（A）32 6 3（B）2 623（C）2 643 （D）4 32 6 3说明：这是 2005 年全国卷第 12 题背景简单：四个小球外切并与正四面体相内切；选择支数据都有2 6 3估计计算量会比较大，有人用“重型计算武器”奉献了如下的解法：高中数学辅导网 http:/京翰教育 1 对 1 家教 http:/ O O的距离12 6 3OO （如图 4）然后再求出最上面的小球的球心1O到正四面体的顶点A的距离1O A（如图 5），设ABx，则1136133BOxO AxO B ，由222 11O BO OO B，得2261133xx ，即212 60
5、33xx.12 63xO A，.由题意可知三个球心到正四面体底面的距离为 1，正四面体的高的最小值为2 62 63 1433 .点评：这个结果虽然正确，但所付出的代价太大一个才 5 分的选择题，按这个解法要花 十几分钟的时间，的确是“小题大做”有更好的解法吗?答案是肯定的！ 妙解：“容器四面体”中的四个小球，以球心为顶点构成了一个棱长为 2 的“球心正四面体”，这个四面体的高是“单位正四面体”高的 2 倍，即2 6 3“球心正四面体”的底面到“容器正四面体”底面的距离为小球半径 1，而“球心正四面体”顶点到“容器 正四面体”顶点的距离为 3（小球半径的 3 倍），于是“容器正四面体”的高为2
6、62 63 1433 .要做到“不动一笔”需要两个基础：一是要牢记“单位正四面体”的高为6 3，二是要知道正四面体的中心把高线分成 13对于后者，作正四面体的外接球和内切球，则两 个球的球心与正四面体的中心重合，而中心到顶点的距离是中心到底面距离的 3 倍. 事实上，设球心为，底面积为，内切球与外接球半径分别为r，则高中数学辅导网 http:/京翰教育 1 对 1 家教 http:/ RrSrRr，.再解：“球心正四面体”与“容器正四面体”是同中心的“相似形”，这个公共的中心以 13 的比例分割了“球心正四面体”的高线，那么，这个公共的中心应以 1：3 的比例分 割“容器正四面体”的高线既然球心正四面体的高线向下面的底面延长了 1 个小球半径， 那么，对应的高线应该向上面的顶点延长 3 个小球半径于是容器正四面体的高线比球心 正四面体的高线共延长出 4 个小球半径 点评：想的更比算的好！“妙解”是在三维空间（立体）中想问题，而“再解”却简化到 一维空间（直线）内想问题，确实是“没有最好，只有更好！”
