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1、2.2.2 等差数列的前n项和一二三一、等差数列的前n项和公式 【问题思考】 1.填空:2.如何选用上述两个公式进行求和? 四一二三四3.做一做:(1)在等差数列an中,已知a1=-1,a10=11,则S10等于( ) A.30 B.40C.50 D.60 (2)已知等差数列an中,a1=-5,d=3,则S8=( ) A.44 B.40C.15 D.5 答案:(1)C (2)A一二三四二、等差数列的前n项和公式与函数的关系 【问题思考】 1.填空:因此,由二次函数的性质可以得出结论 :当d0时,Sn有最小值;当 d0, 数列an中所有非负项的和最大. 又当且仅当n=8时,Sn取最大值,一二三四
2、三、等差数列前n项和的性质 【问题思考】 1.填空: 等差数列的依次连续 每k项之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k成等差数列.解法一:利用等差数列的性质, 一二三四四、有关等差数列中奇数项和、偶数项和的问题 【问题思考】 1.填空:一二三四一二三四2.做一做:一个等差数列前20项和为75,其中奇数项和与偶数项 和之比为12,则公差d等于 . 一二三四思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“”,错误 的打 “”. (1)公式an=Sn-Sn-1对任意的nN+均成立. ( ) (2)等差数列的前n项和一定是关于n的二次函数. ( ) (3)若Sn是等差数列an的前n项和,则数列
3、 为等差数列. ( ) (4)在等差数列an中,若a10,则该 数列的前n项和存在最大 值. ( ) (5)若数列an的前n项和Sn=an2+bn+c,则该 数列一定不是等差 数列. ( ) 答案:(1) (2) (3) (4) (5)探究一探究二探究三一题多解当堂检测等差数列的前n项项和公式的直接应应用 【例1】 在等差数列an中, (1)已知a10=30,a20=50,Sn=242,求n; (2)已知S8=24,S12=84,求a1和d; (3)已知a6=20,S5=10,求a8和S8; (4)已知a16=3,求S31. 思路分析:在等差数列的前n项和公式中有五个基本量a1,an,d,n,
4、Sn, 只要已知任意三个量,就可以求出其他两个量.探究一探究二探究三一题多解当堂检测探究一探究二探究三一题多解当堂检测反思感悟在等差数列an中,首项a1与公差d是两个最基本的元素 ,有关等差数列的问题,均可化成有关a1,d的方程或方程组求解.解题 过程中,要注意:(1)选择适当的公式;(2)合理利用等差数列的有关性 质.探究一探究二探究三一题多解当堂检测变式训练1设Sn为等差数列an的前n项和,S4=14,S10-S7=30,则S9=. 解析:设等差数列an的首项为a1,公差为d,答案:54 探究一探究二探究三一题多解当堂检测Sn与an的关系问题问题 【例2】 (1)若数列an的前n项和Sn=
5、n2-1,则a4= ( ) A.7B.8C.9D.17 (2)已知数列an的前n项和Sn=3n2+5n,则数列an的通项公式为. (3)已知an的前n项和为Sn,且满足a1=1,Sn= an,则an的通 项公式为 . 解析:(1)a4=S4-S3=(42-1)-(32-1)=7. (2)当n2时,an=Sn-Sn-1 =3n2+5n-3(n-1)2+5(n-1) =6n+2, 当n=1时,a1=S1=8适合上式, 所以an=6n+2.(nN+)探究一探究二探究三一题多解当堂检测(3)由已知2Sn=(n+1)an, 2Sn-1=nan-1(n2), 两式相减,得2an=(n+1)an-nan-1
6、, 即(n-1)an=nan-1,以上各式相乘可得an=na1=n(n2). 又a1=1也适合上式,an=n(nN+). 答案:(1)A (2)an=6n+2(nN+) (3)an=n(nN+)探究一探究二探究三一题多解当堂检测反思感悟1.如果知道了数列an的前n项和Sn,可由公式来求解an的通项公式,求解时注意要分类 讨论,对n=1的情况进行验证,能写成统一的形式就将a1合进来,否则 保留分段函数形式. 2.如果给出的已知条件是含有Sn与an的递推关系,也往往利用Sn- Sn-1=an(n2)来转化.探究一探究二探究三一题多解当堂检测1.将本例2(2)中的“Sn=3n2+5n”改为“Sn=3
7、n2+5n-2”结果又如何? 解析:当n=1时,a1=S1=6. 当n2时,an=Sn-Sn-1=(3n2+5n-2)-3(n-1)2+5(n-1)-2=6n+2. 当n=1时,a1=6不适合an=6n+2.探究一探究二探究三一题多解当堂检测探究一探究二探究三一题多解当堂检测等差数列前n项项和的性质质的应应用 【例3】 (1)等差数列an中共有3m项,前2m项的和为100,后2m 项的和为200,求中间m项的和. (2)项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,求 这个数列的中间项 及项数. 思路分析:(1)本题考查等差数列前n项和的性质及前n项和公式的 应用.(2)已知等差数
8、列的奇、偶数项的和,求特殊项与项数,可从整 体上直接考虑奇、偶数项的和与特殊项及项数的关系.探究一探究二探究三一题多解当堂检测解:(1)法一:由已知得 探究一探究二探究三一题多解当堂检测(2)设等差数列an共有(2n+1)项,则奇数项有(n+1)项,偶数项有n 项,中间项是第(n+1)项,即an+1.2n+1=7. 又S奇=(n+1)an+1=44,an+1=11. 故这个数列的中间项为11,共有7项.探究一探究二探究三一题多解当堂检测反思感悟等差数列前n项和的性质主要有以下两类: (1)在等差数列an中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,成等差数列; (2)在等差数列an中,若项数为2n+
9、1(nN+),则 ,其 中S奇=(n+1)an+1,S偶=nan+1;若数列项数为2n(nN+),则S偶-S奇 =nd.探究一探究二探究三一题多解当堂检测变式训练2(1)已知某等差数列an共有10项,其奇数项之和为15, 偶数项之和为30,则其公差为( ) A.5B.4C.3D.2 (2)等差数列an的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m 项和为( ) A.130 B.170 C.210D.260(2)令m=1,则Sm=S1=a1=30,S2m=S2=a1+a2=100, 则有a1=30,a2=70,d=40,则a3=110, 故S3m=S3=S2+a3=100+110=210.
10、答案:(1)C (2)C探究一探究二探究三一题多解当堂检测等差数列前n项和的最值问题 【典例】 在等差数列an中,a1=25,S17=S9,求Sn的最大值. 名师点拨本题可用二次函数求最值或由通项公式求n,使 an0,an+10,a130,a140,且d0时,满足an0的最大的n的值,使Sn最小.探究一探究二探究三一题多解当堂检测变式训练等差数列an中,|a3|=|a9|,公差d0,a90,因此|a3|=|a9|可化为a3+a9=0,即a6=0, S5=S6,故使an的前n项和Sn最大,n的值为5或6. 答案:C探究一探究二探究三一题多解当堂检测1.等差数列an的前n项和为Sn,若a3+a17
11、=10,则S19的值为 ( ) A.55B.95C.100D.不能确定 答案:B 2.在等差数列an中,a9= a12+6,则数列an的前11项和S11=( ) A.24B.48C.66 D.132 解析:由a9= a12+6,得2a9-a12=12. 由等差数列的性质得,a6+a12-a12=12,a6=12,答案:D 探究一探究二探究三一题多解当堂检测3.设数列an是等差数列,且a2=-6,a8=6,Sn是数列an的前n项和,则 ( ) A.S4S5B.S4=S5 C.S6S5D.S6=S5 解析:法一:设该等差数列的首项为a1,公差为d,从而有S4=-20,S5=-20,S6=-18.从
12、而有S4=S5. 法二:由等差数列的性质知a5+a5=a2+a8=-6+6=0,所以a5=0,从而 有S4=S5. 答案:B探究一探究二探究三一题多解当堂检测4.设数列an的前n项和为Sn=2-23n,则通项公式an= . 解析:当n=1时,a1=S1=2-231=-4. 当n2时,an=Sn-Sn-1=(2-23n)-(2-23n-1)=-43n-1. 此时对n=1,有a1=-431-1=-4,也适合an=-43n-1. 综上,对nN+,an=-43n-1. 答案:-43n-1 5.等差数列an的前n项和记为 Sn.已知a10=30,a20=50. (1)求通项an; (2)若Sn=242,求n. 解:(1)由an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50,
