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1、 1 / 52.2.12.2.1 综合法与分析法综合法与分析法( (二二) )一、基础过关 1已知 a0，b0，且 ab2，则( )Aa Bab Ca2b22 Da2b231 21 22已知 a、b、c、d正实数，且 b1，P，Q (lg alg b)，Rlg()，则 ( )lg alg b1 2ab 2AR0；|5；|2，|2.以其中的两个论断22为条件，另一个论断为结论，你认为正确的命题是_10如果 a，b 都是正数，且 ab，求证：.abbaab11已知 a0，求证： a 2.a21 a221 a2 / 512已知 a、b、cR R，且 abc1，求证：( 1)( 1)( 1)8.1 a
2、1 b1 c13已知函数 f(x)x2 aln x(x0)，对任意两个不相等的正数 x1、x2，证明：当 a0 时，f(2 xfx1fx22)x1x2 2三、探究与拓展14已知 a，b，c，dR R，求证：acbd.(你能用几种方法证明？)a2b2c2d23 / 54 / 5答案答案1C 2A 3C 4C 5abc 6EFSC AE平面 SBC AESB ABBC 7C 8B 910证明 方法一 用综合法0，abbaaba ab ba bb aabab a bab a b2 a bab. 方法二 用分析法 要证， 只要证2ab2，abbaababbaaba2 bb2 aabab即要证 a3b3
3、a2bab2， 只需证(ab)(a2abb2)ab(ab)， 即需证 a2abb2ab， 只需证(ab)20，因为 ab，所以(ab)20 恒成立， 所以成立abbaab11证明 要证 a 2， 只要证 2a .a21 a221 aa21 a21 a2a0，故只要证 22， 即 a24 4a2222，(a21 a22)(a1 a 2)1 a2a21 a21 a22(a1 a)从而只要证 2， 只要证 42，a21 a22(a1 a)(a21 a2)(a221 a2)即 a22，而该不等式显然成立，故原不等式成立1 a212证明 方法一 (分析法) 要证( 1)( 1)( 1)8 成立， 只需证
4、8 成立1 a1 b1 c1a a1b b1c c因为 abc1， 所以只需证8 成立，abcaaabcbbabccc即证8 成立 而8 成立bc aac bab cbc aac bab c2 bca2 acb2 abc( 1)( 1)( 1)8 成立1 a1 b1 c方法二 (综合法) ( 1)( 1)( 1) (1)(1)(1) 1 a1 b1 cabc aabc babc cbc aac bab c 8， 当且仅当 abc 时取等号，所以原不等式成立bcacababc2 bc2 ac2 ababc13证明 由 f(x)x2 aln x， 得 (x x )() (ln x1ln x2)2
5、xfx1fx221 22 12 21 x11 x2a 2 (x x )aln . f()()2aln ， x1x2且都为正数，1 22 12 2x1x2 x1x2x1x2x1x2 2x1x2 24 x1x2x1x2 2有 (x x ) (x x )2x1x2()2. 又(x1x2)2(x x )2x1x24x1x2， .1 22 12 21 42 12 2x1x2 22 12 2x1x2 x1x24 x1x2f(x1x2x1x2 2x1x2x1x2 2x1x2x1x2 2fx1fx22)x1x2 214证明 方法一 (用分析法) 当 acbd0 时，显然成立5 / 5当 acbd0 时，欲证原
6、不等式成立，只需证(acbd)2(a2b2)(c2d2)即证 a2c22abcdb2d2a2c2a2d2b2c2b2d2.即证 2abcdb2c2a2d2.即证 0(bcad)2.因为 a，b，c，dR R，所以上式恒成立故原不等式成立，综合知，命题得证方法二 (用综合法)(a2b2)(c2d2)a2c2a2d2b2c2b2d2(a2c22acbdb2d2)(b2c22bcada2d2)(acbd)2(bcad)2(acbd)2.|acbd|acbd.a2b2c2d2方法三 (用比较法)(a2b2)(c2d2)(acbd)2(bcad)20，(a2b2)(c2d2)(acbd)2，|acbd|acbd.a2b2c2d2方法四 (用放缩法)为了避免讨论，由 acbd|acbd|，可以试证(acbd)2 (a2b2)(c2d2)由方法一知上式成立，从而方法四可行方法五 (构造向量法)设 m m(a，b)，n n(c，d)，m mn nacbd，|m m|，a2b2|n n|.c2d2m mn n|m m|n n|.a2b2c2d2故 acbd.a2b2c2d2
