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1、 人教版高中数学第二册（上）8.38.3 双曲线及其标准方程（一）双曲线及其标准方程（一）甘肃省白银市实验中学 高波教学目标：教学目标：（1） 知识与技能：与椭圆定义类比，深刻理解双曲线的定义并能独立推导出双曲线标准方程；（2） 过程与方法：通过定义及标准方程的深刻挖掘与探究 ，使学生进一步体验类比发现及数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力；（3） 情感态度与价值观：通过教师指导下的学生交流探索活动，发学生的学习兴趣，培养学生用联系的观点认识问题。教学重点：教学重点：双曲线的定义、标准方程及其简单应用奎屯王新敞新疆教学难点：教学难点：双曲线定义中关于绝对值，2a0） 。21FF师
2、： 在椭圆里到两个定点的距离的和这个常数是正数到两个定点的距离的和这个常数是正数，那么，平面内到两定点的差这个常数还一定是正数吗到两定点的差这个常数还一定是正数吗生：不一定。师：可能是什么数呢？（学生甲回答：是正数，负数或零） 师：当常数是零时动点的轨迹是什么？生：是线段 F1F2的中垂线。老师做出的中垂线。21,FF师：当常数是正数时的点的位置在什么地方？生：在线段 F1F2的中垂线的右侧。师：当常数是负数时的点的位置在什么地方？生：在线段 F1F2的中垂线的左侧。 师：平面内与两个定点与两个定点的距离之差等于非零常数的距离之差等于非零常数的点的轨迹到21,FF底是是什么呢？我们一起做一个实
3、验来探索。2、实验：（师生共同完成）道具：一根拉链具体做法：老师在拉开的拉链两侧各取一点打结（实验前已经测量好，使两结之间的距离小于两定点间的距离） ，请两位同学协助将两点分别固定在定点 F1，F2处，使拉链头在的上方。将拉链头看作动点 M,21,FF使 M 到 F1的距离比 M 到 F2的距离远。 师：|MF1|比|MF2|长多少？ 请同学观察，将其中一侧拉链拉过来比较，学生可以很清楚的看到长出的部分。在|MF1|比|MF2|长出的地方用颜色鲜艳的小夹子做记号，在三次演示可以清楚的看到，在拉链的拉合中拉链头 M 到 F1的距离与到F2的距离差始终是夹子到 F1的距离，距离差记为 2a（2a0
4、） ，当拉链头在的下方时，两次演示在拉链的拉合中，动点拉链头 M 到 F1的距离21,FF与到 F2的距离差始终是夹子到 F1的距离，即 M 到两定点的差始终是夹子到 F1的距离 2a。同学们通过演示观察得出,拉链头 M 到 F1的距离与它到F2的距离的差始终是正常数.将粉笔放在拉链头处,随着拉链的开合做出一条曲线(在作图过程中要保持将拉链拉直),老师在图的下方板书：|MF1|-|MF2|=2a(a0);调换两拉链的固定点，仍然请两位同学协助将两点分别固定在定点F1，F2处，这时拉链头 M 到 F1的距离比 M 到 F2的距离短，使拉链头在的上方。同样在两次演示过程中提问：|MF1|比|MF2
5、|短多少？让同21,FF学们观察，在拉链的拉合中,|MF1|始终比|MF2|短夹子到 F2的距离，记为2a（2a0） ，当拉链头在的下方时结果相同.同学们很容易观察到在21,FF拉链的拉合过程中，拉链头到 F1的距离与它到 F2的距离的差始终是负常数,这个常数是 2a 的相反数，记为-2a。将粉笔放在拉链头处,随着拉链的合开做出一条曲线(在作图过程中要保持将拉链拉直),画出中垂线的左侧的一条曲线。在图的下方板书：|MF1|-|MF2|=-2a(a0)。师：我们将这两条曲线叫双双曲线,其中的一条叫双曲线的一支. 在黑板上板书课题： 8.3 双曲线的定义及其标准方程。师：比较每条曲线满足的条件，这
6、两支曲线，即双曲线上的动点 M 满足的条件是什么？ 生：。aMFMF221老师板书 （2a0） 。aMFMF2213、研究 2a 和 2c 的关系.师:平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数的动点的轨迹21,FF一定是双曲线吗?(原以为双曲线定义已经得到的同学们又开始思考)师:与椭圆类比,在椭圆里,到两个定点的距离之和等于常数 2a,21,FF只有这个常数 2a 大于两定点的距离时,动点的轨迹才是椭圆,当两个定点的距离之和等于两定点的距离时,动点的轨迹是之间的线段。21,FF21,FF在双曲线里,到两个定点的距离差 2a 与两定点的距离 2c 之间21,FF21,FF是否也有大小关系呢? (同
7、学们的视线又回到刚才作出的双曲线图形上)师:在刚才所做的双曲线上任取一点 M,它与构成了三角形, 21,FF|MF1|与|MF2|的差也就是三角形两边的差,同学们欣喜的喊到:三角形两边的差小于第三边，2a2c 时，动点有轨迹吗？(若动点在之间,到 F1与 F2的21,FF距离的差在变化,不是定值,并且的总长为 2c,动点到 F1与 F2的距离21FF的差的绝对值 2a 不可能大于 2c.生:当 2a2c 时，动点没有轨迹.师:现在请同学们给出双曲线的准确定义.生(自信地):平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于21,FF）的动点的轨迹叫双曲线奎屯王新敞新疆 用投影仪展示双曲线图形及其定义
8、,焦21FF点,焦距概念。三、新课讲解三、新课讲解1、双曲线定义： 平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数21,FF（小于）的动点的轨迹叫双曲线奎屯王新敞新疆即， （2a2c）21FFaMFMF221叫双曲线的焦点，=2c(2c0)叫做焦距。21,FF21FF强调：“平面内” 、 “距离的差的绝对值” 、 “常数 2a 小于” 奎屯王新敞新疆 21FF2、双曲线的标准方程：师：与求椭圆的标准方程类似，我们根据双曲线的定义推导双曲线的标准方程。求曲线方程的基本步骤是什么？生：（1）建系；（2）设点；（3）列式;（4）化简老师在投影仪上演示求双曲线标准方程的过程中，同学们在练习本上书写求双曲线标准
9、方程的过程。提醒同学们需要注意（1）牢牢抓住双曲线定义列式；（2）在化简到 ，结合双曲线定义中 2a 0 0 ) )21FF(2a0)(2a0)aMFMF2212a 2c 呢?四、教学特点和预期效果分析四、教学特点和预期效果分析 1、通过实验，让学生主动参与、积极体验 。教材中虽然有拉链，有双曲线的图像, 但那是静态的，为什么在拉链的拉合过程中拉链头到两个定点的距离之差的绝对值为定值,学生对本质并没有一个直观的理解; 本人用几何画板或动画去做双曲线，不如直接实验得心应手，经过多次考虑决定用拉链画出双曲线的图像，变抽象为直观。（1）通过实验中的多次演示，以小夹子作为参照物，让学生清楚的看到在拉链
10、的拉合中拉链头 M 到 F1的距离与到 F2的距离差始终是定值，并且这个定值随着拉链固定点的调换，可正可负，互为相反数。（2）把拉链头看作动点 M,先使 M 到 F1的距离比 M 到 F2的距离远，即|MF1|-|MF2|=2a(a0);将粉笔放在拉链头处,随着拉链的开合做出中垂线右侧一条曲线。调换两拉链的固定点，这时拉链头 M 到 F1的距离比 M 到 F2的距离短，即|MF1|-|MF2|=-2a(a0)，将粉笔放在拉链头处,随着拉链的合开画出中垂线的左侧的一条曲线。这两条曲线叫双双曲线,其中的一条叫双曲线的一支. 这两支曲线，即双曲线上的动点 M 满足的条件是 （2a0） 。对定义中绝对
11、值的理解就非常直观了。aMFMF221（3）研究 2a 和 2c 的关系.在实验的过程中，能用拉链画出双曲线，实际上是需要条件的。在画图之前，我已经将两定点的距离以及差的绝对值的大小关系21,FF定好了，即 2a2c 时，动点没有轨迹.2、以类比发现思维作为教学的主线 (1) 双曲线的定义与椭圆定义类比, (2)双曲线的标准方程与椭圆的标准方程类比(3)双曲线和椭圆中,2a 与 2c 的意义及大小关系的类比(4)焦点在 x 轴上的方程与焦点在 y 轴上的方程类比。3、 结合投影仪等形式，加大一堂课的信息容量，提高教学的直观性和趣味性，提高课堂效益。4、教师创设和谐、愉悦的环境进行引导，用激发兴
12、趣、自主探究的讲解讨论相结合，使学生始终处于问题探索研究状态之中，促进学生说、想、做，鼓励学生发现问题，大胆分析问题和解决问题.进行主动探究学习，形成师生互动的教学氛围。 老师捕捉住学生发言中的闪光点和思维的火花，对学生的积极表现给予鼓励和肯定。预期教学实效：预期教学实效：1、学生对双曲线的定义中的关键词：差，绝对值，2a2c 有非常清晰的理解，对双曲线的标准方程及其标准方程中 a，b，c 的关系有了深刻的认识，对例 1 和例2 的解决水到渠成。2、对椭圆的定义和双曲线的定义的区别和联系有深刻的理解；对椭圆的两个标准方程与双曲线的两个标准方程的形式有了清晰的认识。能结合各自定义说出各自标准方程中的 a，b，c 的关系。3、加强了学生的代数运算能力的培养，使学生更深层次到体验了类比发现法、化归、数形结合、分类讨论及分析与综合等数学思想方法，为双曲线的定义及其标准方程（2）的学习打下了坚实的基础，为下一节双曲线的几何性质的学习即“由数到形“作了坚实铺垫和准备。
