9+函数问题的题型与方法

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1、星火学习交流会数学素材1函数问题的题型与方法函数问题的题型与方法三、函数的概念、函数的概念 函数有二种定义，一是变量观点下的定义，一是映射观点下的定义复习中不能仅满足对这 两种定义的背诵，而应在判断是否构成函数关系，两个函数关系是否相同等问题中得到深化，更 应在有关反函数问题中正确运用具体要求是： 1深化对函数概念的理解，明确函数三要素的作用，并能以此为指导正确理解函数与其反 函数的关系 2系统归纳求函数定义域、值域、解析式、反函数的基本方法在熟练有关技能的同时， 注意对换元、待定系数法等数学思想方法的运用 3通过对分段定义函数，复合函数，抽象函数等的认识，进一步体会函数关系的本质，进 一步树

2、立运动变化，相互联系、制约的函数思想，为函数思想的广泛运用打好基础 本部分的难点首先在于克服“函数就是解析式”的片面认识，真正明确不仅函数的对应法则， 而且其定义域都包含着对函数关系的制约作用，并真正以此作为处理问题的指导其次在于确定 函数三要素、求反函数等课题的综合性，不仅要用到解方程，解不等式等知识，还要用到换元思 想、方程思想等与函数有关概念的结合 深化对函数概念的认识深化对函数概念的认识 例例 1 1下列函数中，不存在反函数的是 （ ）分析：分析：处理本题有多种思路分别求所给各函数的反函数，看是否存在是不好的，因为过程 太繁琐 从概念看，这里应判断对于给出函数值域内的任意值，依据相应的

3、对应法则，是否在其定义 域内都只有惟一确定的值与之对应，因此可作出给定函数的图象，用数形结合法作判断，这是常 用方法。 此题作为选择题还可采用估算的方法对于 D，y=3 是其值域内一个值，但若 y=3，则可能 x=2(21)，也可能 x=-1(-1-1)依据概念，则易得出 D 中函数不存在反函数于是决定本题 选 D 说明：说明：不论采取什么思路，理解和运用函数与其反函数的关系是这里解决问题的关键 由于函数三要素在函数概念中的重要地位，那么掌握确定函数三要素的基本方法当然成了函 数概念复习中的重要课题例 1 （重庆市）函数的定义域是（ D ）)23(log21xyA、 B、 C、 D、1,)2

4、3( ,)2 3 ,12 3( ,1例 2 （天津市）函数（）的反函数是（ D ）123xy01xA、B、)31(log13xxy)31(log13xxyC、 D、) 131(log13xxy) 131(log13xxy也有个别小题的难度较大，如星火学习交流会数学素材2例 3 （北京市）函数其中P、M为实数集 R R 的两个非空子集，又规定,( ),x xPf xx xM，给出下列四个判断：f Py yf x xP( ) |( ),f My yf x xM() |( ),若，则 若，则PM f Pf M( )() PM f Pf M( )() 若，则 若，则PM R( )()f Pf M RP

5、MR( )()f Pf M R其中正确判断有（ B ）A、 1 个 B、 2 个 C、 3 个 D、 4 个分析：若，则只有这一种可能和是正确的PM 0 MP 系统小结确定函数三要素的基本类型与常用方法系统小结确定函数三要素的基本类型与常用方法 1求函数定义域的基本类型和常用方法 由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表，实际上是求使给定式有意义的 x 的取值范 围它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练这里的最高层次要求是给出的解析式还含 有其他字例例 2 2已知函数定义域为(0，2)，求下列函数的定义域： f x分析：分析：x 的函数 f(x )是由 u=x 与 f(u)这两个函数复合而

6、成的复合函数，其中 x 是自变量，22u 是中间变量由于 f(x)，f(u)是同一个函数，故(1)为已知 0u2，即 0x 2求 x 的取2值范围解：解：(1)由 0x 2， 得 2说明：说明：本例(1)是求函数定义域的第二种类型，即不给出 f(x)的解析式，由 f(x)的定义域求 函数 fg(x)的定义域关键在于理解复合函数的意义，用好换元法(2)是二种类型的综合 求函数定义域的第三种类型是一些数学问题或实际问题中产生的函数关系，求其定义域。 2求函数值域的基本类型和常用方法 函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类：(1) 求常见函数值域；(2)求由常见函数

7、复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而 得函数的值域 3求函数解析式举例 例例3 3已知 xy0，并且 4x -9y =36由此能否确定一个函数关系 y=f(x)？如果能，求出22其解析式、定义域和值域；如果不能，请说明理由分析分析： 4x -9y =36 在解析几何中表示双曲线的方程，仅此当然不能确定一个函数关系22星火学习交流会数学素材3y=f(x)，但加上条件 xy0 呢？所以因此能确定一个函数关系 y=f(x)其定义域为(-，-3)(3，+)且不难得到其值域为 (-，0)(0，) 说明：说明：本例从某种程度上揭示了函数与解析几何中方程的内在联系任何一个函数的解析式 都

8、可看作一个方程，在一定条件下，方程也可转化为表示函数的解析式求函数解析式还有两类 问题： (1)求常见函数的解析式由于常见函数(一次函数，二次函数，幂函数，指数函数，对数函 数，三角函数及反三角函数)的解析式的结构形式是确定的，故可用待定系数法确定其解析 式这里不再举例 (2)从生产、生活中产生的函数关系的确定这要把有关学科知识，生活经验与函数概念结 合起来，举例也宜放在函数复习的以后部分 四、函数的性质、图象四、函数的性质、图象( (一一) )函数的性质函数的性质 函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容在复习中要肯于在对定义的 深入理解上下功夫 复习函数的性质，可以从“数”和

9、“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入 手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用 问题的过程中得以深化具体要求是： 1正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间 的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性 2从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用， 归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法 3培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方 法解决问题的能力 这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解 函数的单调性只能在函数的

10、定义域内来讨论函数 y=f(x)在给定区间上的单调性，反映了 函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整 体性质函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制 对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在 f(-x)=f(x)和 f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确 对定义域内任意一个 x，都有 f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对 称这是函数具备奇偶性的必要条件稍加推广，可得函数 f(x)的图象关于直线 x=a 对称的充要 条件是对定义域内的任意 x，都有 f(x+a)=f(a-x)成立函数的奇偶性是其相应

11、图象的特殊的对星火学习交流会数学素材4称性的反映 这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用根据已知条件，调动相关知识，选择恰 当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求 1 1对函数单调性和奇偶性定义的理解对函数单调性和奇偶性定义的理解 例例4 4下面四个结论：偶函数的图象一定与 y 轴相交；奇函数的图象一定通过原点； 偶函数的图象关于 y 轴对称；既是奇函数又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(xR)，其中正确命 题的个数是 （ ） A1 B2 C3 D4 分析：分析：偶函数的图象关于 y 轴对称，但不一定相交，因此正确，错误 奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此不正确 若 y

12、=f(x)既是奇函数，又是偶函数，由定义可得 f(x)=0，但不一定 xR，如例 1 中的(3)， 故错误，选 A 说明：说明：既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零 2 2复合函数的性质复合函数的性质 复合函数y=fg(x)是由函数 u=g(x)和 y=f(u)构成的，因变量 y 通过中间变量 u 与自变量 x 建立起函数关系，函数 u=g(x)的值域是 y=f(u)定义域的子集 复合函数的性质由构成它的函数性质所决定，具备如下规律： (1)单调性规律 如果函数 u=g(x)在区间m，n上是单调函数，且函数 y=f(u)在区间g(m)，g(n) (或 g(n)，g(m)上也

13、是单调函数，那么 若 u=g(x)，y=f(u)增减性相同，则复合函数 y=fg(x)为增函数；若 u=g(x)，y= f(u)增减 性不同，则 y=fg(x)为减函数 (2)奇偶性规律 若函数 g(x)，f(x)，fg(x)的定义域都是关于原点对称的，则 u=g(x)，y=f(u)都是奇函数 时，y=fg(x)是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= fg(x)是偶函 数例例5 5若 y=log (2-ax)在0，1上是 x 的减函数，则 a 的取值范围是（ ）a A(0，1) B(1，2) C(0，2) D2，+) 分析：分析：本题存在多种解法，但不管哪种方法，

14、都必须保证：使 log (2-ax)有意义，即a a0 且 a1，2-ax0使 log (2-ax)在0，1上是 x 的减函数由于所给函数可分解为a y=log u，u=2-ax，其中 u=2-ax 在 a0 时为减函数，所以必须 a1；0，1必须是a y=log (2-ax)定义域的子集a 解法一解法一：因为 f(x)在0，1上是 x 的减函数，所以 f(0)f(1)， 即 log 2log (2-a)aa解法二解法二：由对数概念显然有 a0 且 a1，因此 u=2-ax 在0，1上是减函数，y= log u应为增函数，得a1，排除 A，C，再令a故排除D，选 B 说明：说明：本题为 199

15、5 年全国高考试题，综合了多个知识点，无论是用直接法，还是用排除法 都需要概念清楚，推理正确 3 3函数单调性与奇偶性的综合运用函数单调性与奇偶性的综合运用星火学习交流会数学素材5例例6 6甲、乙两地相距 Skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过 c kmh，已知汽 车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v(kmh)的平方 成正比，比例系数为 b；固定部分为 a 元 (1)把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(kmh)的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶 分析分析：(1)难度不大，抓住关系式：全程运输成本=单位时间运输成本全程运输时间，而 全程运输时间=(全程距离)(平均速度)就可以解决故所求函数及其定义域为但由于题设条件限制汽车行驶速度不超过ckmh，所以(2)的解决需要论函数的增减性来解决由于v v 0，v -v 0，并且122