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1、1【优化指导优化指导】2015】2015 高考数学总复习高考数学总复习 第第 7 7 章章 第第 5 5 节节 合情推理与演合情推理与演绎推理课时跟踪检测绎推理课时跟踪检测 理（含解析）新人教版理（含解析）新人教版1(2014宝鸡质检)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把 1,3,6,10，这样的数称为“三角形数” ，而把 1,4,9,16，这样的数称为“正方形数” 如图，可以发现，任何一个大于 1 的“正方 形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式是( )13310；25916；361521；491831；642836.A B C D解析：选 C 这些“三角形数”
2、依次是 1,3,6,10,15,21,28,36,45，且“正方形数”是“三角形数”中相邻两数之和，很容易得到：152136,283664，因此只有正确故选 C. 2给出下列三个类比结论：(ab)nanbn与(ab)n类比，则有(ab)nanbn；loga(xy)logaxlogay与 sin()类比，则有 sin()sin sin ；(ab)2a22abb2与(a ab b)2类比，则有(a ab b)2a a22a ab bb b2. 其中结论正确的个数是( )A0 B1 C2 D3解析：选 B 由条件知只有正确故选 B. 3已知f1(x)sin xcos x，fn1(x)是fn(x)的导
3、函数，即f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn1(x)fn(x)，nN N*，则f2 014(x)( )Asin xcos x Bsin xcos xCsin xcos x Dsin xcos x解析：选 C 列举f2(x)f1(x)cos xsin x；f3(x)f2(x)sin xcos x；2f4(x)f3(x)cos xsin x；f5(x)f4(x)sin xcos x；由此归纳得其周期为 4，即fn(x)fn4(x)，所以f2 014(x)f2(x)sin xcos x，故选 C. 4在下图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么xyz
4、的值为( )cos 02sin 6tan 4xyzA1 B2 C3 D4解析：选 A 先算出三角函数值，然后根据每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，填表可得：13 225 231 215 43 21 4x1 21 8y5 161 16z3 16所以xyz 1，故选 A. 1 25 163 165(2012江西高考)观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10( )A28 B76 C123 D199解析：选 C 利用归纳法：3ab1，a2b23，a3b3431，a4b4437，a5b57411，a6b611718，a7b7181129，a8b8291
5、847，a9b9472976，a10b107647123.规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和故选 C.6(2014长沙模拟)定义两个实数间的一种新运算“*”：x*ylg(10x10y)，x，yR R.对于任意实数a，b，c，给出如下结论：(a*b)*ca*(b*c)；a*bb*a；(a*b)c(ac)*(bc)其中正确结论的个数是( )A0 B1 C2 D3解析：选 D 因为a*blg(10a10b)，故(a*b)*clg(10a10b)*clg(10lg(10a10b)10c)lg(10a10b10c)，同理a*(b*c)a*(lg(10b10c)lg(10a10lg(10b10c)
6、lg(10a10b10c)，故“*”运算满足结合律；据定义易知运算符合交换律；(a*b)clg(10a10b)clg(10a10b)lg10clg(10a10b)10clg(10ac10bc)(ac)*(bc)，故结论成立；综上可知均为真命题，故选 D. 7观察下列不等式：1；，请写出第n121216212161123个不等式_解析： 由归纳知第n个式子为12161121nn1n12161121nn1n8(2014黄冈中学月考)在等差数列an中，若a10，s，t是互不相等的正整数，则有等式(s1)at(t1)as0 成立类比上述性质，相应地，在等比数列bn中，若b11，s，t是互不相等的正整数
7、，则有等式_成立解析： 1 通过类比，等比数列的商对等差数列的差，故等式应是1.bs1t bt1sbs1t bt1s9(2014宝鸡质检)已知 2 22 ，3 32 ，442，若2 32 33 83 84 154 159 92 (a，b为正整数)，则ab_.b ab a解析：89 观察分数的分子规律得b9，则ab2180.故ab89. 10(2014龙岩质检)已知函数f(x)(x0)，如下定义一列函数：f1(x)f(x)，x x2f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，fn(x)f(fn1(x)，nN N*，那么由归纳推理可得函数fn(x)的解析式是fn(x)_.4解析：(x0)
8、依题意得，f1(x)，x 2n1x2nx x2f2(x)，x x2 x x22x 3x4x 221x22f3(x)，x 3x4 x 3x42x 7x8x 231x23由此归纳可得fn(x)(x0)x 2n1x2n11(2014莱芜模拟)凸函数的性质定理：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，xn，有ffx1fx2fxn n，已知函数ysin x在区间(0，)上是凸函数，则在ABC中，sin (x1x2xn n)Asin Bsin C的最大值为_解析： 因为f(x)sin x在区间(0，)上是凸函数，且A，B，C(0，)，3 32所以ff，fAfBfC 3(ABC
9、3)( 3)所以 sin Asin Bsin C3sin， 33 32故 sin Asin Bsin C的最大值为.3 3212已知点A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函数yax(a1)的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有结论aax1ax2 2成立运用类比思想方法可知，若点A(x1，sin x1)B(x2，sin x2)是函数ysin x1x2 2x(x(0，)的图象上的不同两点，则类似地有_成立解析：sin 运用类比思想与数形结合思想，可知ysin sin x1sin x2 2x1x2 2x(x(0，)的图象是上凸的，因此线段AB的中
10、点的纵坐标总是小于函sin x1sin x2 2数ysin x(x(0，)图象上点的纵坐标，所以(x1x2 2，sinx1x22)sin成立13平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似sin x1sin x2 2x1x2 25的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S 底1 2高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的 ；1 2请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)四面体的体积V 底面积高；1 3(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积
11、等于第四个面的面积的 . 1 414(2012福建高考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解：(1)方法一：选择式，计算如下：sin215cos215sin 15cos 151 sin
12、301 .1 21 43 4(2)三角恒等式为 sin2 cos2(30)sin cos(30) .3 4证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2 cos2sin cos sin2sin cos 3 4321 432 sin2 sin2 cos2 .1 23 43 43 4方法二：(1)同方法一(2)三角恒等式为 sin2 cos2(30)sin cos(30) .3 4证明如下：6sin2cos2(30)sin cos(30)sin (cos 30cos sin
13、30sin )1cos 2 21cos602 2 cos 2 (cos 60cos 2sin 60sin 2)sin cos 1 21 21 21 2321 2sin2 cos 2 cos 2sin 2sin 2 (1cos 2)1 cos 1 21 21 21 434341 41 42 cos 2 .1 41 43 41对于命题：若O是线段AB上一点，则有|0.将它类比到平面OBOAOAOB的情形是：若O是ABC内一点，则有SOBCSOCASOBA0，将它类比到空间情OAOBOC形应该是：若O是四面体ABCD内一点，则有_解析：VOBCDVOACDVOABDVOABC0 将平面中的相关结论类比OAOBOCOD到空间，通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积，因此依题意可知若O为四面体ABCD内一点，则有VOBCDVOACDVOABDVOABC0. OAOBOCOD2(2014福建质检)观察下列等式： 1；1 32 3 12；7 38 310 311 339；16 317 319 320 322 323 3则当mn且m，nN N 时，_(最后结果用m，n表示)3m1 33m2 33m4 33m5 33n
