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1、第六章狭义相对论1、证明牛顿定律在伽利略交换下是协变的，麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的。证明：根据题意， 不妨分别取固着于两参考系的直角坐标系，且令 t=0时，两坐标系对应轴重合，计时开始后，系沿系的 x轴以速度 v作直线运动，根据伽利略变换有：xxvt，yy，zz，ttI、牛顿定律在伽利略变换下是协变的，以牛顿第二定律22ddxFm trr 为例。在 系下，22ddxFm trr在 系下，xxvt，yy，zz，tt于是，22222222dd ,d ,d ddddxxvtyzx y zxFmmmmF ttttrrrrII 、麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的，以真空中的麦氏方程BE t
2、r r 为例。设有一正电荷q位于O点并随系运动。在系中 q是静止的故 : 20 4rqEe rrr，0Br ；于是方程0BE tr r 成立在中有：3332222222222220 4()()()xyzqxvtyzEeee xvtyzxvtyzxvtyzrrrr于是方程3222203()()() 4()xyzqEyz ezxvt exvty e xvtyzrrrr不一定为 02、设有两根互相平行的尺，在各自静止的参考系中的长度均为,它们以相同速率v 相对于某一参考系运动,但运动 方向相反 ,且平行于尺子。求站在一根尺上测量另一根尺的长度。解：根据相对论速度交换公式可得2 系相对于1的速度大小是
3、222211ccuvvvuvvcc在1 系中测量2系中静长为l0的尺子的长度为：222002221 11v vclll vcc 3、静止长度为l0的车厢，以速度v 相对于地面S 运行，车厢的后壁以速度u0向前推出一个小球，求地面观察者 看到小球从后壁到前壁的运动时间。解：根据题意取地面为参考系S，车厢为参考系S，于是相对于地面参考系S，车长为2021vll c车速为 v，球速为：0021uv uu vc所以，utvtl；0 0220211u vl lct uvvu c4、一辆以速度v 运动的列车上的观察者，在经过某一高大建筑物时，看见其避雷针上跳起一脉冲电火花，电光 迅速传播， 先后照亮了铁路
4、沿线上的两铁塔。求列车上观察者看到的两铁塔被电光照亮的时刻差。设建筑物及两铁塔都在一直线上，与列车前进方向一致。铁塔到建筑物的地面距离都是l0。 解：取地面为静止的参考系，列车为运动的参考系。 取x轴与x轴平行同向， 与列车车速方向一致，令t= 0时刻为列车经过建筑物时，并令此处为系与的原点。在系中光经过0l t c的时间后同时照亮左右两塔。在系中观察两塔的位置坐标为：0022221 1/1/lvtlvx cvcvc右0022221 1/1/lvtlvx cvcvc左于是，时间差为：022221/xxvl t cccvc右左5、有一光源 S与接收器 R相对静止，距离为0l,S-R装置浸在均匀无
5、限的液体介质（静止折射率n）中。试对下列三种情况计算光源发出讯号到接收器收到讯号所经历的时间。(1)液体介质相对于S-R装置静止；(2)体沿着 S-R连线方向以速度v运动；(3)液体垂直于 S-R连线方向以速度v运动。解： (1)液体介质相对于S-R装置静止时，0 1nl t c(2)液体沿着 S-R连线方向以速度v运动时， 取固着于介质的参考系为 ， 系沿 x轴以速度 v运动 ,在 系中测得光速在各个方向上均是c/n,由速度变换关系得在系中沿介质运动方向的光速为：21cvccnvnvvcnvcnR接收到讯号的时间为：0 2(1/)/vcn lt cnv(3)液体垂直于 S-R连线方向以 v运
6、动，取相对于S-R装置静止的参考系为 系,相对于介质静止的系为 系。在 系中：xuv，22(/)yucnv在系中测得 y方向上的速度为：2222222222221/(/)1/(/)1/1()/1/yyxuvccnvvccnv u u vcv vcvc220 3221/(/)lvct cnv6、在坐标系中，有两个物体都以速度u 沿 x 轴运动，在系看来，它们一直保持距离l 不变，今有一观察者 以速度 v 沿 x 轴运动，他看到这两个物体的距离是多少？ 解：取固着于观察者上的参考系为系。系相对于系以速度 v沿-x轴运动于是物体相对于的运动速度为2 1uv v uvc所以，在系中看到两物体相距222
7、220/1/1/1 cuvcvlcvll7、一把直尺相对于坐标系静止，直尺与x 轴交角 ，今有一观察者以速度v 沿 x 轴运动，他看到直尺与x 轴 交角有何变化？ 解：取固着于观察者上的参考系为在系中：cosllx，sinlly在系中：22221/cos1/xxllvclvc，sinyylllOOSx xy yyuvuxncR22tantan 1/yxllvc 8、两个惯性系和中各放置若干时钟，同一惯性系的诸时钟同步。相对于以速度 v沿x轴方向运动。设两系原点相遇时，000tt。 问处于系中某点 (x,y,z)处的时钟与系中何处时钟相遇时,指示时刻相同?读数多少 ? 解：设系中(,)P x y
8、z点与系中的(,)Qxyz点相遇时 ,两系的钟读数分别为t和 t。首先 ,要相遇必定满足：yy，zz；在系看来，相遇时：221/xxvcvt在系看来，相遇时：221/xxvcvt由tt，得：222(/)(11/)xcvvct222(/)(1/1)xcvvctx从而， P、Q相遇的时刻为：22(/)(11/)ttxvvc9、火箭由静止状态加速到0.9999vc，设瞬时惯性系上加速度为2|20ms-v &,问按照静止系的时钟和按火箭内的时钟加速火箭各需要多少时间?解： (1)令静止系为系,瞬时惯性系为系,且相对于系的速度为 u,v是火箭相对于系的速度由题意可知,v v u&同向 ,令此方向为 x轴
9、方向 ,得到火箭相对于系的速度为：21/vu v uvc所以，在系中火箭的加速度为：322222d/ d(1/)(1/)avtaucuvc，d/ davt本题中-220msa，而系相对于火箭瞬时静止，即uv ，0v，得3222d/ d(1/)vtavc从而322200(1/)ddvtvcvat ，于是 22 1/v a t vc得到 221000.999947.56 201/vct avc年在系看来， 火箭相对于系的加速度为：22 2222d(1/)(1/) d (1/)vaucavc tuvc于是22100(1/)ddvtvcvat，ln 2ccva t cv得到10.9999lnln2.52 2210.9999ccvct acva年OOx xy y),(zyxP),(zyxQv
