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1、第 1 页 共 13 页1习题五习题五1 求下列各曲线所围图形的面积：（1）与 x2+y2=8(两部分都要计算)；y =12x2解：如图 D1=D2解方程组得交点 A(2，2) y=1 2x2 x2 +y2 = 8)(1)D1 =2 0(8 x2 1 2x2)dx= +2 3 ,D1 +D2 = 2 +4 3D3 +D4 = 8 -(2 +4 3)= 6 -4 3（2）与直线 y=x 及 x=2；y=1 x解： .D1 =2 1(x1 x)dx=12x2 lnx=3 2 ln2(2) （3）y=ex，y=ex与直线 x=1；解：D=1 0(ex e x)dx= e +1 e 2(3) （4）y
2、=lnx，y 轴与直线 y=lna，y=lnb(ba0)；解：D=lnb lnaeydy=ba第 2 页 共 13 页2(4) （5）抛物线 y=x2和 y=x22；解：解方程组得交点 (1，1)，(1，1)y=x2 y= x2 + 2)D=1 1(x2 + 2 x2)dx= 41 0(x2 + 1)dx=8 3(5)（6）y=sinx，y=cosx 及直线；x =4，x =94解：D= 254 4(sinx cosx)dx= 2 cosx sinx= 4 2(6) （7）抛物线 y=x2+4x3 及其在(0，3)和(3，0)处的切线； 解：y=2x+4 y(0)=4，y(3)=2 抛物线在点
3、(0，3)处切线方程是 y=4x3 在(3，0)处的切线是 y=2x+6两切线交点是( ，3)故所求面积为3 2(7)第 3 页 共 13 页333222302332223024343d2643dd69 d9.4Dxxxxxxxxxxxxx （8）摆线 x=a(tsint)，y=a(1cost)的一拱 (0t2)与 x 轴； 解：当 t=0 时，x=0, 当 t=2时，x=2a 所以220022202d1 cosdsin1 cosd3.aSy xata ttatta (8) （9）极坐标曲线 =asin3；解：D= 3D1 = 3a223 0sin23d=3a2 23 01 cos62d=3a
4、2 4 1 6sin6=a24(9) （10） =2acos；解：D= 2D1 = 22 01 24a2cos2d= 4a22 01 + cos22d= 4a212 +1 2sin2= 4a2122= a2(10) 2 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积： （1）r=a(1+cos)及 r=2acos;第 4 页 共 13 页4解：由图 11 知，两曲线围成图形的公共部分为半径为 a 的圆，故 D=a2(11) （2）及r=2cosr2 =3sin2解：如图 12，解方程组r=2cos r2 =3sin2)得 cos=0 或,tan =33即或 =2 =6(12)D=6 01 2 3sin
5、2d +2 61 2(2cos)2d=34cos2+2+ 14sin4=63 已知曲线 f(x)=xx2与 g(x)=ax 围成的图形面积等于 ，求常数 a9 2解：如图 13，解方程组得交点坐标为(0，0)，(1a，a(1a)f(x) =xx2 g(x) =ax)D=1 a 0(xx2 ax)dx=1 2(1 a)x2 13x3=16(1 a)3依题意得16(1 a)3 =9 2得 a=2(13) 4 求下列旋转体的体积： （1）由 y=x2与 y2=x3围成的平面图形绕 x 轴旋转；解： 求两曲线交点得(0，0)，(1，1)y=x2 y2 =x3)第 5 页 共 13 页5V= 1 0(x
6、3 x4)dx= 14x4 1 5x5 （14）=20 （2）由 y=x3，x=2，y=0 所围图形分别绕 x 轴及 y 轴旋转；解：见图 14，Vx= 2 0x6dx=128 7Vy= 8 0(22 y23)dy=64 5（2）星形线绕 x 轴旋转；x2/3 +y2/3 =a2/3解：见图 15，该曲线的参数方程是：，x=acos3t y=asin3t)0t2由曲线关于 x 轴及 y 轴的对称性，所求体积可表示为Vx= 2a 0y2dx= 20 2(asin3t)2d(acos3t)= 6a32 0sin7tcos2tdt=32 105a3(15) 5 设有一截锥体，其高为 h，上、下底均为
7、椭圆，椭圆的轴长分别为 2a，2b 和 2A，2B，求这截锥体 的体积。 解：如图 16 建立直角坐标系，则图中点 E，D 的坐标分别为：E(a，h)， D(A，0)，于是得到ED 所在的直线方程为：y=haA(xA)第 6 页 共 13 页6(16) 对于任意的 y0，h，过点(0，y)且垂直于 y 轴的平面截该立体为一椭圆，且该椭圆的半轴为： ，同理可得该椭圆的另一半轴为： x1 =AAahyx2 =BBbhy故该椭圆面积为A(y) = x1x2 = (AAahy)(BBbhy)从而立体的体积为V=h 0A(y)dy= h 0(AAahy)(BBbhy)dy.=1 6hbA+aB+ 2(a
8、b+AB)6 计算底面是半径为 R 的圆，而垂直于底面一固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积.见图 17.(17) 解：以底面上的固定直径所在直线为 x 轴，过该直径的中点且垂直于 x 轴的直线为 y 轴，建立平面 直角坐标系，则底面圆周的方程为：x2+y2=R2 过区间R，R上任意一点 x，且垂直于 x 轴的平面截立体的截面为一等边三角形，若设与 x 对应 的圆周上的点为(x，y)，则该等边三角形的边长为 2y，故其面积等于A(x)=34(2y)2 =3y2 =3(R2 x2) (RxR)从而该立体的体积为V=R RA(x)dx=R R3(R2 x2)dx=4 33R37 求下列曲线段
9、的弧长： （1），0x2；y2 = 2x第 7 页 共 13 页7解：见图 18，2yy=2 y =1 y从而1 +y2 = 1 +1 y2(18)l= 22 01 +y2dx= 22 01 +1 y2dx= 22 01 y1 +y2dy22= 22 01 +y2dy=y1 +y2 + ln(y+1 +y2)|20)= 2 5 + ln(2 + r(5)（2）y=lnx，；3 x 8解：l=8 31 +y2dx=8 31 +1 x2dx=8 31 +x2xdx=1 +x2 ln1 +1 +x2x8 3= 1 +1 2ln3 2（3）；y=x 2costdt 2t2解：l=2 21 +y2dx=
10、2 21 + cosxdx=2 22cosx2dx= 4 22 0cosx2dx 2=4.= 4 2sinx2|2 0)8 设星形线的参数方程为 x=acos3t，y=asin3t，a0 求 （1）星形线所围面积； （2）绕 x 轴旋转所得旋转体的体积； （3）星形线的全长解：(1)D= 4a 0ydx= 40 2asin3td(acos3t)第 8 页 共 13 页8= 12a22 0sin4tcos2tdt= 12a22 0(sin4tsin6t)dt=3 8a2(2)Vx= 2a 0y2dx= 20 2(asin3t)2d(acos3t)= 6a32 0sin7tcos2tdt=32 1
11、05a3(3)xt=3acos2tsint yt=3asin2tcost xt2+yt2=9a2sin2tcos2t，利用曲线的对称性，l= 42 0xt2 + yt2dt= 42 03asin2tcos2tdt= 12a2 01 4sin22tdt= 6a2 0sin2tdt=3a( cos2t)2 0= 6a9 求对数螺线 r=ea相应 =0 到 = 的一段弧长解：l= 0r2 +r2d= 0e2a +a2e2ad=1 +a2a(ea 1)10 求半径为 R，高为 h 的球冠的表面积解：D= 2R Rhx1 +x2dy= 22 arcsinRhRRcos(Rcos)2 +(Rsin)2d第
12、 9 页 共 13 页9= 22 arcsinRhRR2cosd= 2R2sin2arcsinRhR=2Rh 11 求曲线段 y=x3(0x1)绕 x 轴旋转一周所得旋转曲面的面积解：D= 21 0y1 +y2dx= 21 0x3 1 + 9x4dx=182 3(1 + 9x4)3 2|1 0)=27(10 10 1) 12 把长为 10m，宽为 6m，高为 5m 的储水池内盛满的水全部抽出，需做多少功？ 解：如图 19，区间x，x+dx上的一个薄层水，有微体积 dV=106dx(19) 设水的比重为 1， ，则将这薄水层吸出池面所作的微功为 dw=x60gdx=60gxdx 于是将水全部抽出
13、所作功为w=5 060gxdx=60g 2x2|50)= 750g(KJ)13 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长 10m 和 6m，高为 20m，较长的底边与水面相齐，计算闸门 的一侧所受的水压力 解：如图 20，建立坐标系，直线 AB 的方程为y= x 10+ 5压力元素为第 10 页 共 13 页10dF=x2ydx= 2x(x 10+ 5)dx所求压力为F=20 02x(x 10+ 5)dx=1467(吨) =14388(KN)=5x2 1 15x320 014 半径为 R 的球沉入水中，球的顶部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取离水面，问 做功多少？ 解：如图 21，以切点
14、为原点建立坐标系，则圆的方程为 (xR)2+y2=R2将球从水中取出需作的功相应于将0，2R区间上的许多薄片 都上提 2R 的高度时需作功的和的极限。取深度 x 为积分变量，典型小薄片 厚度为 dx，将它由 A 上升到 B 时，在水中的行程为 x；在水上的行程为 2Rx。因为球的比重与水相同，所以此薄片所受的浮力与其自身的重力之 和 x 为零，因而该片在水中由 A 上升到水面时，提升力为零，并不作功，由 水面再上提到 B 时，需作的功即功元素为22222d(2) ( )d (2)() d (2)(2)dwRx g yxxgRxRxRxgRxRxxx所求的功为220222302 223404 (2)(2)d(44)d41234 4(KJ).3RRRwgRxRxxxgR xRxxxgR xRxxR g 15 设有一半径为 R，中心角为 的圆弧形细棒，其线密度为常数 ，在圆心处有一质量为 m 的质点， 试求细棒对该质点的引力。 解：如图 22，建立坐标系，圆弧形细棒上一小段 ds 对质点 N 的引力的近似值即为引力元素（图 22）22dd(
