非线模型的线化

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1、1非线性回归模型的线性化以上介绍了线性回归模型。但有时候变量之间的关系是非线性的。例如yt = 0 + 1+ ut1 txyt = 0 + uttxe1上述非线性回归模型是无法用最小二乘法估计参数的。可采用非线性方法进行估计。 估计过程非常复杂和困难，在 20 世纪 40 年代之前几乎不可能实现。计算机的出现大大方 便了非线性回归模型的估计。专用软件使这种计算变得非常容易。但本章不是介绍这类模 型的估计。 另外还有一类非线性回归模型。其形式是非线性的，但可以通过适当的变换，转化为 线性模型，然后利用线性回归模型的估计与检验方法进行处理。称此类模型为可线性化的 非线性模型。下面介绍几种典型的可以

2、做线性化处理的非线性模型。 指数函数模型yt = (4.1)ttubxaeb0 和 b 0) 图 4.2 yt =, (b 0 和 b 0) 图 4.4 yt = a + b Lnxt + ut , (b 0 情形的图形见图 4.7。xt和 yt的关系是非线性的。令 yt* = 1/yt, xt* = 1/xt，得yt* = a + b xt* + ut 已变换为线性回归模型。其中 ut表示随机误差项。3图 4.7 yt = 1/ (a + b/xt ), (b 0) 图 4.8 yt = a + b/xt , (b 0)双曲线函数还有另一种表达方式，yt = a + b/xt + ut (4

3、.11)b0 情形的图形见图 4.8。xt和 yt的关系是非线性的。令 xt* = 1/xt，得yt = a + b xt* + ut上式已变换成线性回归模型。 多项式方程模型 一种多项式方程的表达形式是yt = b0 +b1 xt + b2 xt2 + b3 xt3 + ut (4.12)其中 b10, b20, b30 和 b10, b30, b20 和 b1 0 情形的图形分别见图 4.13 和 4.14。美国人口统计学家 Pearl 和 Reed 广0ae泛研究了有机体的生长，得到了上述数学模型。生长模型（或逻辑斯谛曲线，Pearl-Reed曲线）常用于描述有机体生长发育过程。其中 k

4、 和 0 分别为 yt的生长上限和下限。= ttLimyk, = 0。a, b 为待估参数。曲线有拐点，坐标为（,） ，曲线的上下两部分对称 ttLimyaLnb 2k于拐点。图 4.13 yt = k / (1 +) 图 4.14 yt = k / (1 +)tuatbetuatbe为能运用最小二乘法估计参数 a, b，必须事先估计出生曲线长上极限值 k。线性化过程 如下。当 k 给出时，作如下变换，k/yt = 1 + tuatbe移项， k/yt - 1 = tuatbe取自然对数，Ln ( k/yt - 1) = Lnb - a t + ut (4.18)令 yt* = Ln ( k/

5、yt - 1), b* = Lnb, 则yt* = b* - a t + ut (4.19)5此时可用最小二乘法估计 b*和 a。图 4.15 内地 5 月 1 日至 28 日每天非典数据一览 龚伯斯（Gompertz）曲线英国统计学家和数学家最初提出把该曲线作为控制人口增长的一种数学模型，此模型 可用来描述一项新技术，一种新产品的发展过程。曲线的数学形式是，yt = atbeke图 4.15 yt =atbeke曲线的上限和下限分别为 k 和 0，= k, = 0。a, b 为待估参数。曲线有拐点，坐 ttLimy ttLimy标为（,） ，但曲线不对称于拐点。一般情形，上限值 k 可事先估

6、计，有了 k 值，龚aLnb ek伯斯曲线才可以用最小二乘法估计参数。线性化过程如下：当 k 给定时，yt / k = ， k/yt = atbeeatbeeLn (k/yt) = ， LnLn(k/yt) = Lnb - a t atbe令 y*= LnLn(k/yt), b* = Lnb，则6y* = b* - a t 上式可用最小二乘法估计 b* 和 a。Cobb-Douglas 生产函数 下面介绍柯布道格拉斯（Cobb-Douglas）生产函数。其形式是Q = k L C 1- (4.24)其中 Q 表示产量；L 表示劳动力投入量；C 表示资本投入量；k 是常数；0 1，称模型为规模报

7、酬递增型；1 + 2 1，称模型为规模报酬递减型。对于对数线性模型，Lny = Ln0 + 1 Lnxt1 + 2 Lnxt2 + ut ，1和2称作弹性系数。以1 为例，1 = = = = (4.28)1tt LnxLny 11 11tttt xxyy11/tttt xxyy 11tttt xy yx可见弹性系数是两个变量的变化率的比。注意，弹性系数是一个无量纲参数，所以便于在 不同变量之间比较相应弹性系数的大小。 对于线性模型，yt = 0 + 1 xt1 + 2 xt2 + ut ，1和 2称作边际系数。以1为例，1 = (4.29)1tt xy 通过比较(4.28)和(4.29)式，可

8、知线性模型中的回归系数（边际系数）是对数线性回归模型 中弹性系数的一个分量。例 1：此模型用来评价台湾农业生产效率。用台湾 1958-1972 年农业生产总值（yt） ， 劳动力（xt1） ，资本投入（xt2）数据（见表 4.1）为样本得估计模型，= -3.4 + 1.50 Lnxt1 + 0.49 Lnxt2 (4.30)tLny(2.78) (4.80) R2 = 0.89, F = 48.45 还原后得，= 0.713 xt11.50 xt20.49 (4.31)ty 因为 1.50 + 0.49 = 1.99，所以，此生产函数属规模报酬递增函数。当劳动力和资本投入都 增加 1%时，产出

9、增加近 2%。7例 2：用天津市工业生产总值（Yt） ，职工人数（Lt） ，固定资产净值与流动资产平均余 额（Kt）数据 (1949-1997) 为样本得估计模型如下：Ln Yt = 0.7272 + 0.2587Ln Lt + 0.6986 LnKt(3.12) (3.08) (18.75) R2 = 0.98, s.e. = 0.17, DW = 0.42, F = 1381.4因为 0.2587 + 0.6986 = 0.9573，所以此生产函数基本属于规模报酬不变函数。例 3：硫酸透明度与铁杂质含量的关系（摘自数理统计与管理1988.4, p.16） 某硫酸厂生产的硫酸的透明度一直达不

10、到优质指标。经分析透明度低与硫酸中金属杂 质的含量太高有关。影响透明度的主要金属杂质是铁、钙、铅、镁等。通过正交试验的方 法发现铁是影响硫酸透明度的最主要原因。测量了 47 个样本，得硫酸透明度（y）与铁杂 质含量（x）的散点图如下(file:nonli01)：（1） y = 121.59 - 0.91 x(10.1) (-5.7) R2 = 0.42, s.e. = 36.6, F= 32（2） 1/y = 0.069 - 2.37 (1/x)(18.6) (-11.9)R2 = 0.76, s.e. = 0.009, F= 142（3）y = -54.40 + 6524.83 (1/x)(

11、-7.2) (16.3)R2 = 0.86, s.e. = 18.2, F= 266（4）Lny = 1.99 + 104.5 (1/x)(22.0) (21.6)R2 = 0.91, s.e. = 0.22, F= 468还原，Lny = Ln(7.33) + 104.5 (1/x)y = 7.33 )1(5 .104xe（5）非线性估计结果是 y = 8.2965 )1( 1 .100xeR2 = 0.96,EViews 命令 Y=C(1)*EXP(C(2)*(1/X)8例 4 中国铅笔需求预测模型（非线性模型案例，file:nonli6） 中国从上个世纪 30 年代开始生产铅笔。1985

12、 年全国有 22 个厂家生产铅笔。产量居世 界首位（33.9 亿支） ，占世界总产量的 1/3。改革开放以后，铅笔生产增长极为迅速。1979- 1983 年平均年增长率为 8.5%。铅笔销售量时间序列见图 4.21。1961-1964 年的销售量平稳 状态是受到了经济收缩的影响。文革期间销售量出现两次下降，是受到了当时政治因素的 影响。1969-1972 年的增长是由于一度中断了的中小学教育逐步恢复的结果。1977-1978 年 的增长是由于高考正式恢复的结果。1981 年中国开始生产自动铅笔，对传统铅笔市场冲击 很大。1979-1985 年的缓慢增长是受到了自动铅笔上市的影响。 初始确定的影

13、响铅笔销量的因素有全国人口、各类在校人数、设计人员数、居民消费 水平、社会总产值、自动铅笔产量、价格因素、原材料供给量、政策因素等。经过多次筛 选、组合和逐步回归分析，最后确定的被解释变量是 yt（铅笔年销售量，千万支） ；解释变 量分别是 xt1（自动铅笔年产量，百万支） ；xt2（全国人口数，百万人） ；xt3（居民年均消费 水平，元） ；xt4（政策变量） 。因政策因素影响铅笔销量出现大幅下降时，政策变量取负值。 例如 1967、1968 年的 xt4值取-2，1966、1969-1971、1974-1977 年的 xt4值取-1） 。 由图 4.22 知中国自生产自动铅笔起，自动铅笔产

14、量与铅笔销量存在线性关系。由图 4.23 知全国人口与铅笔销量存在线性关系。说明人口越多，对铅笔的需求就越大。由图 4.24 知居民年均消费水平与铅笔销量存在近似对数的关系。散点图说明居民年均消费水平 越高，则铅笔销量就越大。但这种增加随着居民消费水平的增加变得越来越缓慢。图 4.25 显示政策变量与铅笔销量也呈线性关系。50100150200250300350626466687072747678808284Y铅笔销售量时间序列（1961-1985） （文件名 nonli6）90100200300400010203040X1Y010020030040060070080090010001100X2YY, X1 散点图 Y, X2 散点图0100200300400100200300400500X3Y0100200300400-2.5-2.0-1.5-1.0-0.50.0X4YY,