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1、 赢考试 到大智 专题一：三角与向量的交汇及题型分析解题策略专题一：三角与向量的交汇及题型分析解题策略【命题趋向】 三角函数与平面的向量的综合主要体现为交汇型，在高考中，主要出现在解答题的第 一个试题位置上，其难度中等偏下，分值一般为 12 分，交汇性主要体现在：三角函数恒等 变换公式、性质与图象与平面的向量的数量积及平面向量的平行、垂直、夹角及模之间都 有着不同程度的交汇，考查三角函数的对称性与向量平移，考查两角和与差与向量垂直、 考查三角函数的求值与向量积、考查正余弦定理与向量数量积等.根据 2013 年考纲预计在 13 年高考中解答题仍会涉及三角函数的基本恒等变换公式、诱导公式的运用、三
2、角函数的 图像和性质、向量的数量积、共线(平行)与垂直的充要条件条件主要考查题型：(1)考查 纯三角函数函数知识，即一般先通过三角恒等变换公式化简三角函数式，再求三角函数的 值或研究三角函数的图象及性质；(2)考查三角函数与向量的交汇，一般是先利用向量知识 建立三角函数关系式，再利用三角函数知识求解；(3)考查三角函数知识与解三角形的交汇， 也就是将三角变换公式与正余弦定理交织在一起. 【考试要求】 1理解任意角的正弦、余弦、正切的定义了解余切、正割、余割的定义掌握同角 三角函数的基本关系式掌握正弦、余弦的诱导公式了解周期函数与最小正周期的意 义 2掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式掌握
3、二倍角的正弦、余弦、正切公 式 3能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明 4理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余 弦函数和函数 y=Asin(x+)的简图，理解 A， 的物理意义 5掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形 6掌握向量的加法和减法掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件 7了解平面向量的基本定理.理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运 算 8掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、 角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件 9掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分
4、点和中点坐标公式，并且能熟练运 用掌握平移公式 【考点透视】 向量具有代数运算性与几何直观性的“双重身份”，即可以象数一样满足“运算性质”进 行代数形式的运算，又可以利用它的几何意义进行几何形式的变换.而三角函数是以“角”为 自变量的函数，函数值体现为实数，因此平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联 系.同时在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和 挑战性.主要考点如下： 1考查三角式化简、求值、证明及求角问题. 2考查三角函数的性质与图像，特别是 y=Asin(x+)的性质和图像及其图像变换. 3考查平面向量的基本概念，向量的加减运算及几何意义，此类题一
5、般难度不大，主 要用以解决有关长度、夹角、垂直、平行问题等. 4考查向量的坐标表示，向量的线性运算，并能正确地进行运算. 5考查平面向量的数量积及运算律(包括坐标形式及非坐标形式)，两向量平行与垂直赢考试 到大智 的充要条件等问题. 6考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题. 【典例分析】 题型一题型一 三角函数平移与向量平移的综合三角函数平移与向量平移的综合 三角函数与平面向量中都涉及到平移问题，虽然平移在两个知识系统中讲法不尽相同， 但它们实质是一样的，它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中.解答平移问题主 要注意两个方面的确定：(1)平移的方向；(2)平移的单位.这两个方面就是体现
6、为在平移过 程中对应的向量坐标.山东 2011（17） （本小题满分 12 分）在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 .(1) 求 的值；(2) 若 cosB=1/4，三角形 ABC 周长为 5，求 b 的长.本题考察 正弦定理的应用 -边角的互化解：（）在中，由及正弦定理可得ABCcos2cos2 cosACca Bb，cos2cos2sinsin cossinACCA BB即sinsin2cossin2sincossincosABCBCBAB 则sinsinsincos2sincos2cossinABABCBCB，而，则，sin()2sin()ABCBABCsi
7、n2sinCA即。sin2sinC A另解 1：在中，由可得ABCcos2cos2 cosACca Bbcos2 cos2 coscosbAbCcBaB由余弦定理可得，22222222222222bcaabcacbacb caac整理可得，由正弦定理可得。2casin2sinCc Aa另解 2：利用教材习题结论解题，在中有结论ABC.coscos ,coscos,coscosabCcB bcAaC caBbAcosA-2cosC2c-a=cosBbsin sinC A赢考试 到大智由可得cos2cos2 cosACca Bbcos2 cos2 coscosbAbCcBaB即，则，coscos2
8、 cos2 cosbAaBcBbC2ca由正弦定理可得。sin2sinCc Aa（）由及可得2ca1cos,24Bb则，22222242cos44,caacBaaaa1a 2c S，即。21115sin1 21 cos224acBB 15 4S 2011 高考山东文高考山东文17 （本小题满分 12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知cosA-2cosC2c-a=cosBb（I）求sin sinC A的值；（II）若 cosB=1 4，5bABCV的周长为，求的长.2011 高考山东理高考山东理17 （本小题满分 12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分
9、别为 a，b，c已知cosA-2cosC2c-a=cosBb（I）求sin sinC A的值； （II）若 cosB=1 4，b=2，的面积 S。ABC2012 高考山东文高考山东文(17)(本小题满分 12 分)在ABC 中，内角所对的边分别为，已知., ,A B C, ,a b csin(tantan)tantanBACAC()求证：成等比数列；, ,a b c()若，求的面积 S.1,2acABC2012 高考山东理高考山东理（17） （本小题满分 12 分）已知向量 m=（sinx，1），函数 f（x）=mn 的最大 值为 6. （）求 A；赢考试 到大智（）将函数 y=f（x）的图象
10、像左平移个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原12来的倍，纵坐标不变，得到函数 y=g（x）的图象。求 g（x）在上的值域。1 2（11 文）文）17解：（I）由正弦定理，设,sinsinsinabckABC则22 sinsin2sinsin,sinsincakCkACA bkBB所以cos2cos2sinsin.cossinACCA BB即，(cos2cos)sin(2sinsin)cosACBCAB化简可得sin()2sin().ABBC又，ABC 所以sin2sinCA因此sin2.sinC A（II）由得sin2sinC A2 .ca由余弦定得及得1cos4B 22222222cos
11、 1444 4.bacacBaaaa所以2 .ba又5,abc从而1,a 因此 b=2。（11 理）理）17解：（I）由正弦定理，设,sinsinsinabckABC则22 sinsin2sinsin,sinsincakCkACA bkBB所以cos2cos2sinsin.cossinACCA BB赢考试 到大智即，(cos2cos)sin(2sinsin)cosACBCAB化简可得sin()2sin().ABBC又，所以ABCsin2sinCA因此sin2.sinC A（II）由得sin2sinC A2 .ca由余弦定理22222212coscos,2,4 144.4bacacBBbaa及得
12、4=a解得 a=1。 因此 c=2又因为 所以1cos,.4BGB且15sin.4B 因此111515sin1 2.2244SacB （12 文）文）(17)(I)由已知得：，sin(sincoscossin)sinsinBACACAC ，sinsin()sinsinBACAC，2sinsinsinBAC 再由正弦定理可得：，2bac所以成等比数列., ,a b c(II)若，则，1,2ac22bac，2223cos24acbBac，27sin1cos4CC的面积.ABC1177sin1 22244SacB （12 理）理）解析：（）， 62sin2cos22sin232cos2sincos3
13、)(xAxAxAxAxxAnmxf则;6A（）函数 y=f（x）的图象像左平移个单位得到函数的图象，126)12(2sin6xy赢考试 到大智再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数1 2.)34sin(6)(xxg当时，.245, 0x 1 ,21)34sin(,67,334xx6 , 3)(xg故函数 g（x）在上的值域为.6 , 3另解：由可得，令， )34sin(6)(xxg)34cos(24)(xxg0)( xg则，而，则，)(234Zkkx245, 0x24x于是，367sin6)245(, 62sin6)24(, 333sin6)0(ggg故，即函数 g（x）
14、在上的值域为.6)(3xg6 , 3命题方向命题方向 1： 三角函数平移与向量平移的综合三角函数平移与向量平移的综合【例例 1】 把函数 ysin2x 的图象按向量( ，3)平移后，得到函数 a6yAsin(x)(A0，0，| )的图象，则和 B 的值依次为（ 2）A ，3B，3C，3D，3123312【点评点评】 此类题型将三角函数平移与向量平移有机地结合在一起，主要考查分析问 题、解决问题的综合应用能力，同时考查方程的思想及转化的思想.本题解答的关键，也是 易出错的地方是确定平移的方向及平移的大小.命题方向命题方向 2： 三角函数与平面向量平行三角函数与平面向量平行(共线共线)的综合的综合此题型的解答一般是从向量平行(共线)条件入手，将向量问题转化为三角问题，然后 再利用三角函数的相关知识再对三角式进行化简，或结合三角函数的图象与民性质进行求 解.此类试题综合性相对较强，有利于考查学生的基础掌握情况，因此在高考中常有考查. 【例例 2】 已知 A、B、C 为三个锐角，且 ABC.若向量 (22sinA，cosAsinA)与向量(cosAsinA，1sinA)是共线向量. p q（）求角 A；（）求函数 y2sin2Bcos的最大值.C3B2赢考试 到大智 【分析分析】 首先利用向量共线的充要条件建立三角函数等式，由于可求得 A 角的正弦 值，再根据角的范围即可解
