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1、206习题十习题十1. 根据二重积分性质，比较与的大小，其中：ln()d Dxy2ln() d Dxy（1）D 表示以（0，1） ， （1，0） ， （1，1）为顶点的三角形；（2）D 表示矩形区域.( , )|35, 02x yxy解：（1）区域 D 如图 10-1 所示，由于区域 D 夹在直线 x+y=1 与 x+y=2 之间， 显然有图 10-112xy从而 0ln()1xy故有 2ln()ln()xyxy所以 2ln()dln() d DDxyxy（2）区域 D 如图 10-2 所示.显然，当时，有.( , )x yD3xy图 10-2 从而 ln(x+y)1故有 2ln()ln()x
2、yxy所以 2ln()dln() d DDxyxy2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值：（1）;4d ,( , )|02,02 DIxyDx yxy（2）;22sinsind ,( , )|0,0 DIxyDx yxy（3）.2222(49)d ,( , )|4 DIxyDx yxy207解：（1）因为当时，有, ( , )x yD02x02y因而 .04xy从而 242 2xy故 2d4d2 2d DDDxy即2d4d2 2d DDDxy而 （为区域 D 的面积） ，由=4d D得 .84d8 2 Dxy(2) 因为，从而220sin1, 0sin1xy220sinsin1xy故 220
3、dsinsind1d DDDxy即220sinsindd DDxy而2所以2220sinsind Dxy（3）因为当时，所以( , )x yD2204xy22229494()925xyxy故 229d(49)d25d DDDxy即 229(49)d25 Dxy而 2 24所以 2236(49)d100 Dxy3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：（1）22222()d ,( , )|; DaxyDx yxya（2）222222d ,( , )|. DaxyDx yxya208解：（1）在几何上表示以 D 为底，以 z 轴为轴，以22()d , Daxy（0，0，a）为顶点的圆锥的体积
4、，所以2231()d3Daxya（2）在几何上表示以原点（0，0，0）为圆心，以 a 为半径222dDaxy的上半球的体积，故22232d.3Daxya4. 设 f(x，y)为连续函数，求.222 00201lim( , )d ,( , )|()()Drf x yDx yxxyyrr 解：因为 f(x，y)为连续函数，由二重积分的中值定理得，使得( , ),D 2( , )d( , )( , ) Df x yfrf 又由于 D 是以（x0，y0）为圆心，r 为半径的圆盘，所以当时，0r 00( , )(,),xy 于是：002 2200000( , )(,)11lim( , )dlim( ,
5、)lim( , ) lim( , )(,)Drrrxyf x yr ffrr ff xy 5. 画出积分区域，把化为累次积分：( , )d Df x y（1）;( , )|1,1,0Dx yxyyxy(2) 2( , )|2,Dx yyxxy(3) 2( , )|,2 ,2Dx yyyx xx解：（1）区域 D 如图 10-3 所示，D 亦可表示为.11,01yxyy 所以1101( , )dd( , )dyDyf x yyf x yx(2) 区域 D 如图 10-4 所示，直线 y=x-2 与抛物线 x=y2的交点为（1，-1） ，（4，2） ，区域 D 可表示为 .22,12yxyy 20
6、9图 10-3 图 10-4所以2221( , )dd( , )dyDyf x yyf x yx（3）区域 D 如图 10-5 所示，直线 y=2x 与曲线的交点(1，2)，与 x=2 的2yx交点为(2，4),曲线与 x=2 的交点为（2，1） ，区域 D 可表示为2yx22 ,12.yxxx图 10-5所以.2221( , )dd( , )dxDxf x yxf x yy6. 画出积分区域，改变累次积分的积分次序：（1）; (2) ;2220d( , )dyyyf x yxeln10d( , )dxxf x yy(3) ; (4) ;13 20d( , )dyyyf x yxsin0sin
7、2d( , )dxxxf x yy (5) .12330010d( , )dd( , )dyyyf x yyyf x yx解：（1）相应二重保健的积分区域为 D：如图 10-6 所202,2 .yyxy示.图 10-6D 亦可表示为： 04,.2xxyx所以2224002d( , )dd( , )d .yxxyyf x yxxf x yy210(2) 相应二重积分的积分区域 D：如图 10-7 所示.1e,0ln .xyx图 10-7D 亦可表示为： 01,ee,yyx所以eln1e100ed( , )dd( , )dyxxf x yyyf x yx(3) 相应二重积分的积分区域 D 为：如图
8、 10-8 所示.01,32 ,yyxy图 10-8 D 亦可看成 D1与 D2的和，其中D1：201,0,xyxD2：113,0(3).2xyx所以.2113 213(3)2 00010d( , )dd( , )dd( , )dyxxyyf x yxxf x yyxf x yy(4) 相应二重积分的积分区域 D 为：如图 10-9 所0,sinsin .2xxyx示.图 10-9 D 亦可看成由 D1与 D2两部分之和，其中D1：10,2arcsin;yyx D2：01,arcsinarcsin .yyxy211所以sin01 arcsin0sin12arcsin0arcsin2d( , )
9、dd( , )dd( , )dxyxyyxf x yyyf x yxyf x yx(5) 相应二重积分的积分区域 D 由 D1与 D2两部分组成，其中D1： D2：01,02 ,yxy13,03.yxy如图 10-10 所示.图 10-10D 亦可表示为：02,3;2xxyx所以123323001002d,dd( , )dd( , )dyyxxyf x yxyf x yxxf x yy7. 求下列立体体积： （1）旋转抛物面 z=x2+y2,平面 z=0 与柱面 x2+y2=ax 所围； （2）旋转抛物面 z=x2+y2,柱面 y=x2及平面 y=1 和 z=0 所围. 解：（1）由二重积分的
10、几何意义知，所围立体的体积V=其中 D：22()d d Dxyx y22( , )|x yxyax由被积函数及积分区域的对称性知，V=2，122()d d Dxyx y其中 D1为 D 在第一象限的部分.利用极坐标计算上述二重积分得.coscos34444222 000001132dd2dcosd4232a aVrrraa (2) 由二重积分的几何意义知，所围立体的体积22()d d , DVxyx y其中积分区域 D 为 xOy 面上由曲线 y=x2及直线 y=1 所围成的区域，如图 10-11 所示.图 10-11D 可表示为：211,1.xxy 212所以21122221()d dd()
11、d DxVxyx yxxyy 2111232461111188d()d.333105xx yyxxxxx 8. 计算下列二重积分：（1）221d d ,:12,; Dxx yDxyxyx(2) D 由抛物线 y2=x,直线 x=0 与 y=1 所围；e d d ,x yDx y（3） D 是以 O(0,0)，A(1，-1)，B(1，1)为顶点的三角形;22d d ,Dxyx y(4) .cos()d d ,( , )|0, Dxyx yDx yxxy解：（1）2222223 1221111d dddddx xDx xxxxx yxyxxxxyyy2 421119.424xx(2) 积分区域 D
12、 如图 10-12 所示.图 10-12D 可表示为：201,0.yxy所示22110000e d dde dde d( )xxxyyyyyDxx yyxy yy211110000 0ed(e1)de ddyx yyyyyyyyyy y1111120000011dedee d.22yyyyy yyyy(3) 积分区域 D 如图 10-13 所示.213图 10-13D 可表示为：01,.xxyx所以21122222200d dddarcsind22x xDx xxyyxyx yxxyyxyxx 112300 1d.22 36xxx00000(4)cos()d ddcos()dsin() dsi
13、n()sin2 d( sinsin2 )d11.coscos222xDxxyx yxxyyxyxxxxxxxxx 9. 计算下列二次积分：10112111 224sin(1)dd ;(2)de dde d .yyyyyyxx yxyxxyxyx解：（1）因为求不出来，故应改变积分次序。sindxxx积分区域 D：0y1, yx，如图 10-14 所示。y图 10-14 D 也可表示为：0x1,x2yx. 所以21421112000111000111 000sinsinsindddd()d(sinsin )dsin dsin dsin dcos d1 sin1.cosyxyxxxxyxxyxxxxxxxxxxx xxx xx xx xxx (2)因为求不出来，故应改变积分次序。积分区域 D 分为两部分，其中e dy xx1211 11:,:1,.42 22DyxyDyyxy 如图 10-15 所示：图 10-15 积分区域 D 亦可表示为：211,.2xxyx 于是：2 21111211111 222241112 111222de dde dde dde3eee(e
